2022年数列求和方法大全例题变式解析答案强烈推荐.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1.7 数列前 n 项和求法学问点一 倒序相加法特点描述：此种方法主要针对类似等差数列中a n a 1 a n 1 a 2 ,具有这样特点的数列摸索：你能区分这类特点吗？学问点二 错位相减法特点描述：此种方法主要用于数列 a nb n 的求和,其中 a n 为等差数列, b n 是公比为 q的等比数列,只需用 S n qS 便可转化为等比数列的求和,但要留意争论 q=1 和 q 1 两种情形摸索：错位时是怎样的对应关系？学问点三 分组划归法特点描述：此方法主要用于无法整体求和的数列,例如 1,1 1,1 1 1, ,2 2 4

2、1 1 1+ + 1n 1,可将其通项写成等比、等差等我们熟识的数列分别进行求和,再综2 4 2合求出全部项的和摸索：求出通项公式后如何分组？学问点四 奇偶求合法特点描述：此种方法是针对于奇、偶数项,要争论的数列例如S n1357n 112n1,要求 Sn,就必需分奇偶来争论,最终进行综合摸索：如何争论？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点五裂项相消法学习必备欢迎下载特点描述：此方法主要针对121a n1a n这样的求和,其中an是等差数列a aa a 31摸索：裂项公式你知道几个？学问点六 分类争论法特点描述

3、： 此方法是针对数列a 的其中几项符号与另外的项不同,而求各项肯定值的和的问题,主要是要分段求. 摸索：如何表示分段求和？考点一 倒序相加法例题 1： 等差数列求和S na 12a 2a n1 Cnn1 2n变式 1： 求证：C03 C1 n5 C2 nnnn变式 2： 数列求和2 sin 12 sin 22 sin 32 sin 89考点二 错位相减法例题 2： 试化简以下和式：2,S n12xn3x20 n nx1x0变式 1： 已知数列3,1a ,5 a,2n1 a1a,求前 n 项和；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - -

4、- - - 变式 2： 求数列a,2a2,3a3,nan,学习必备欢迎下载；的前 n 项和变式 3： 求和：S n123naa2a3an考点三：分组划归法例三： 求数列 1,11,111, ,111+ +11的和 . 224242n变式 1： 5,55,555, 5555, ,510 9n1, ；变式 2： 1 3,24,35, n n2,；变式 3： 数列 1,1+2,1+2+22, 1+2+2 2+ +2 n1, 前 n 项的和是（）n A2 B2 n2 C2 n+1n2 Dn2n 考点四：奇偶求合法名师归纳总结 例四：S n1357n 112n1第 3 页,共 13 页- - - - -

5、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 1： 求和：S n学习必备欢迎下载）nNn 1 （-1 ）（ 4 n-3变式 2： 已知数列 an中 a1=2,an+an+1=1,Sn 为an前 n 项和,求 Sn变式 3：已知数列 an中 a1=1,a2=4,an=an-2+2 （n3）,Sn为an前 n 项和,求 Sn考点五：裂项相消法例五： an为首项为 a1,公差为 d 的等差数列,求S n12114an1ana aa a 3a a1变式 1：1 ,1 3 211 ,4 3 5,12,；n n变式 2： 数列通项公式为ann1n1；求该数列前n 项和变式 3：求和Sn2

6、2422n2n21 13351 2 n名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点六：分类争论法 例六： 在公差为 d 的等差数列 an中,已知 a110,且 a1,2a22,5a3 成等比数列1 求 d,an；2 如 d0,求 |a1| |a2| |a3| |an|. 变式 1： 在等差数列an中,a 16a 17a 18a936,其前 n 项和为S . （1）求S 的最小值,并求出S 的最小值时 n 的值；n1, 已 知 存 在 常 数p,q使 数 列（2）求T na 1a2an. 变 式2： 设

7、数 列an满 足a1,5an12an3anpnq 为等比数列 .求a 1a 21 ,设 2a n. a ,求数列 |b | 的前 n 项和S . 变式 3：已知等比数列 a 中,a =64,q=b =log2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案及解析 考点一例一：等差数列求和S na 1a 1a 2da na 1n1 a 1把项的次序反过来,就：S na na nda n n1 d +得：2S na 1a na 1n 个a 1a na nn a 1a nS nn a 1a n2变式 1：思路分析

8、：由CmCnm可用倒序相加法求和； 1 2n2Cnnn证：令S nC03 C15 C22n1 Cnnnnn3 C1C02 就S n2 n1 Cn2 n1 Cn15C2nnnnnCm nCn nm2n2C21 2 有:2 S n2 n2C02 n2C1nnnnS nn1 C0C1C2Cnn1 2n等式成立nnnn变式 2：设S2 sin 12 sin 22 sin 32 sin 872 sin 89,又S2 sin 892 sin 882 sin 1 2 S89,S892考点二 例二：名师归纳总结 S n12x3x2nxn1x0第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 -

9、- - - - - - - - 解：如 x=1,就 Sn=1+2+3+ +n = 学习必备欢迎下载n n12如 x 1,就S nx212x3x2nxnnxn1xS nx23x3两式相减得：1x S n1x2 x + +xn1nxnS n1xnnx n1xn nx1xn 1x2 1x变式 1：思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5, 2n-1 与等比数列a0,a,a2,an1对应项积,可用错位相减法求和；解n1aa3 a2：2 n1 an22Sn13a25 a22n1 an111 anaS5 a32 an1n2: 1aS n12a2 a2a3S n当a 2 n1an 2 n1an1a1 时

10、1,aS n12 a 1an12 n1n1a 21当1 时,S n1a 2n2变式 2：名师归纳总结 S na2a23 a31n na ,nn n1,n1a1annan1,第 7 页,共 13 页当a1时,S n232 n na,当a1时,S na2a23a3a22 a33 a4nan1,aS n两式相减得1a S naa2a3anna1a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S nnan2n1 an1a学习必备欢迎下载1a2变式 3：S n123naa2a3an解：a1 时,Sn123nnnn1 2a1 时,由于a0nnS n123aa2a3an1S n

11、121aa2a3anan1由得： 11 a S n111an1aa2ann所以S n1 111n1aa 1nan11 an aa anana12综上所述,S na ann n11 a1 2 1n aa1 ana12考点三名师归纳总结 例三： 求数列 1,11,111, ,111+ +11的和 . 第 8 页,共 13 页224242n解：a n11112422n111 121n1n 21211 4S n111122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11111学习必备欢迎下载24n 22n2121 221222 n2111n 2111 2142 n212

12、 n1变式 1：S n555555n 个55 9 999999n个n n755999n 101510 9110213 1015010n1551010210310nn9819变式 2：n22n ,23nn n12n n22 12 232n 2 21 原式6变式 3： C 考点四例四：名师归纳总结 解：当 n = 2k kN+ 时 , k11第 9 页,共 13 页S nS 2k1 3574k342kn 4k当n2k1 kN 时 ,S nS 2k1S 2ka 2k2 k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2k1学习必备欢迎下载n综合得：S nn 11n变式

13、1：解：当 n 为偶数时： S n1 5913n1nn4n 24nn当 n 为奇数时：nS1 59 13nn（4 -3）n-1 2（4 - ）变式 2：S na 1a2a 3a4a na n解：当 n 为偶数时：当 n 为奇数时：a 1a2a3a 4an1an1n 22S na 1 a 2a 3 a 4a 5 a n1a n变式 3：2n1n232解： an- an-2=2 （n3）a1,a 3,a 5, ,a 2n-1 为等差数列； a2,a 4,a 6, ,a 2n为等差数列当 n 为奇数时：a nn 1 24 n211 2nn n1n1当 n 为偶数时：a n1 2n2即 nN +时,a

14、 nn1 1 n n 为奇数时：S n1 23n n2122n 为偶数时：S n1 23nn2n n1n22考点五例五：解：名师归纳总结 11aka1d1a kdak第 10 页,共 13 页a akkd a kakd- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11ak1d1 1d a k学习必备欢迎下载1da ka k1S n111111111da 1a2da2a31 1d a n111 a 3a n1111da 1a 2a2ana n1 1d a 11 a nn1a a 1n1 变式 1：1 n n21 1 2 n12,111n12111n11n12nS n

15、1 211 31 21435n22变式 2：解：an21n11nnn1nnn1n1nn11S n13121nn1n121 32n1n变式 3：名师归纳总结 思路分析 :分式求和可用裂项相消法求和. 12k12k1 11211211: 12n n1 解1a k2 k2k21 2k211 2 k2k1 2k11 2kkS na1a2ann111 31121211n1121235n1n2n2 n1第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 :求S n123n学习必备欢迎下载an n1 naaa1 1 答案 : S nan2aa2a3an

16、1 1 ana1 2考点六 例六：解： 1由题意得 a15a32a 222,即 d23d40. 所以 d 1 或 d4. 所以 an n11,n N *或 an4n6,n N *. 2 设数列 a n 的前 n 项和为 Sn. 由于 d0,由 1 得 d 1,an n 11,就 当 n11 时, |a1| |a2| |a3| |an| 1 2n221 2 n. 1| |a 2| |a 3| |a n| Sn2S111 2n 221 2 n 110. 当 n12 时, |a综上所述, |a1| |a2| |a3| |an| 变式 1：1 212n 22 n,n11,1 2n 221 2 n110

17、,n12.解：（1）当n20或 21 时,S 的最小值为 -630. 3n23n2123n ,nn21（ 2）Tn2212321n1260 ,22变式 2：a 1a2an3 n211 n42n1,n32 3 n22n111 n60,n32变式 3：名师归纳总结 解：an=a1qn1=27n第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b = log2an=7n学习必备欢迎下载名师归纳总结 （1）当 n 7 时,b 0 第 13 页,共 13 页此时,S =12 n +13 n 22（2）当 n 7 时,b 0 此时,S =12 n 13 n +42（ n 8）2212 n +13 n （ n 7）22S = 12 n 13 n +42（ n 8）22- - - - - - -