2022年数学系二年级本科数学分析期末考试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学系二年级本科数学分析期末考试题一、 单项挑选题 （从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每道题 2 分,共 20 分）名师归纳总结 1、 函数fx在 a,b 上可积的充要条件是（）第 1 页,共 5 页A 0,0 和 0 使得对任一分法,当 （） 时,对应于i的那些区间xi长度之和 xi0,0,0 使得对某一分法,当（） 时,对应于i的那些区间xi长度之和 xi0,0 使得对任一分法,当 （） 时,对应于i的那些区间xi长度之和 xi0,0,0 使得对任一分法,当（） 时, 对应于i的那些区间xi长度之和 xi0, N（ ）0

2、,使mn N 有an1x amxB 0, N0,使mn N 有an1x amxC 0, N（ ）0,使mn N 有a n1x amx D 0, N（ ）0,使 mn N 有a n1xamx 8、n11x1 n的收敛域为（）nA -1,1 B 0,2 C 0,2 ）D -1,1 ）9、重极限存在是累次极限存在的（）A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件10、fx,y| x 0,y0（）xAlim x 0fx0x ,y 0xyfx 0,y0Blim x0fx0xClim x0fx0x ,y 0yfx 0x,y0D lim x0fx0x ,y0xx二、 运算题 ：（每道题6 分,共 3

3、0 分）1、1sinxcosx1 dx11x22、运算由曲线yx,1y0,xy2和xe2围成的面积3、求ex 2的幂级数绽开4、 已知zfxy,xy,fu,v可微,求2zxy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、 求fx,yxy在（ 0,0）的累次极限xy三、 判定题 （每道题 10 分,共 20 分）1、 争论n3lncosn的敛散性2、 判定n11xnn的肯定和条件收敛性x2四、 证明题 （每道题 10 分,共 30 分）名师归纳总结 1、设 fx是-a,a上的奇函数,证明afx dx0第 3 页,共 5 页a2、证明级数yn0x4n满意方程 y4

4、y4 n .3、 证明 S为闭集的充分必要条件是S c是开集；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案一、 1、D 2、B3、 D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、 1、解：1sinxcosx1 dx=1sinxcosxdx1112dx（2 分）由于sinxcosx为1cos1x211x21x1x2奇函数1sinxxdx=0（2 分）112dx=arctanx1 |12（2 分）所以积分值为2（111x211x分）2、 解：两曲线的交点为（1,2）（2 分）x21x2x41 nx2n所求的面积为：1/2 2 2+e22dx6（ 4 分

5、）1x3、解：由于ex1xx2xn（3 分）,e.2n .2 .n .（3 分）4、解：z=f1f2yz=f 1f2x（3 分）2zf 11f2xyf12xyf22（3xyxy分）5、解：xlim 0 y0xylim y 0y1,（3 分）ylim 0 x0xylim y 0x1（3 分）xyyxyx三、 1、解：由于lncosn2（6 分）,又n11收敛（ 2 分）2 n2n24 分）所以原级数收敛（2 分）2、解：当| x|1时,有xxn1|xn |,所以级数肯定收敛（4 分）,2x当| x|1时,xxn11,原级数发散（2 分）2 x2当| x|1时,有n11xn2nn111 x 1xn

6、2n,由上争论知级数肯定收敛（x四、 证明题 （每道题 10 分,共 30 分）1、证明：afx dx0fx dxafx dx（1）（4 分）aa00fx dxxtaftdtaftdt（2）（ 4 分）a00将式（ 2）代入（ 1）得证（ 2 分）名师归纳总结 2 、 证 明 ： 所 给 级 数 的 收 敛 域 为, 在 收 敛 域 内 逐 项 微 分 之 , 得第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yn1x4n1yn1x4n2yn1x4n3y4n1x4n4（8 分）代入得 4 n1 . 4 n2 .4 n3 .4 n4 .证（ 2 分）3、证明：必要性如 S 为闭集,由于S 的一切聚点都属于S,由于,对于任意的x ,xSc；x不是 S 的聚点,也就是说,存在x 的邻域Ox,使得Ox ,S,即Oc S,因此 S c 是开集；名师归纳总结 充分性对任意的xSc,由于 S c是开集,因此存在x 的邻域Ox ,使得Ox ,Sc,第 5 页,共 5 页即 x 不是 S的聚点；所以假如S有聚点,它就肯定属于S.- - - - - - -