2022年数字信号处理-原理实现及应用第章时域离散信号和系统.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 1章 时域离散信号和系统1.1 引 言本章内容是全书的基础；同学从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理,要建立 很多新的概念,数字信号和数字系统与原先的模拟信号和模拟系统不同,特别是处理方法上 有本质的区分；模拟系统用很多模拟器件完成,数字系统用运算方法完成；假如对本章中关 于数字信号与系统的如干基本概念不清晰,那么在学习数字滤波器时,会感到不好把握,因 此学好本章是很重要的；1.2 本章学习要点1 关于信号 模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区分；如何由模拟信号产生时域离散信号；常用的时域离散信号；如何判定信号是周期性的,其周

2、期如何运算；2 关于系统 什么是系统的线性、时不变性,以及因果性、稳固性；如何判定；线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法、列表法、 解析法,以及用 MA TLAB 工具箱函数求解；线性常系数差分方程的递推解法；用 MA TLAB 求解差分方程；什么是滑动平均滤波器,它的单位脉冲响应是什么；1.3 习题与上机题解答1.1 用单位脉冲序列及其加权和表示图P1.1 所示的序列；3 n3n42 n6解：x n n2n12 n12 n22n4,4n11.2 给定信号x n 4,0 40,其他1 画出 xn的波形,标上各序列值；2 试用推迟的单位脉冲序列及其加权和表示xn序列；13

3、令x 1 2 x n2,画出x n 的波形；4 令x2 x 2n ,画出x 2 n 的波形；名师归纳总结 第 1 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1 画出 xn的波形,如图S1.2.1 所示；图 S1.2.1 图 P1.1 2 x n -4 n42 n32 n14 4 n14 n24 n34 n4；3 画出x n 1 2 x n2的波形,如图S1.2.2 所示；4 画出x2 x 2n 的波形,如图S1.2.3 所示；1.3 判定以下信号中哪一个是周期信号,假如是周期信号,求出它的周期；图 S1.2.2 图 S1.2.3 a si

4、n1.2nn/7b sin9.73nn8c ej1.6nf ej1nd con3e Acos87解： a sin1.2n 是非周期信号；b sin9.7 n 是周期信号,2 M 2 M 20 M,取 M = 97,周期为 20；9.7 97c e j1.6 n 是周期信号,2 M 2 M 5 M ,取 M = 4,周期为 5；1.6 42 2 14d con3 n /7 是周期信号,M M M,周期为 14；3/ 7 3e A cos 7 3n8 是周期信号,周期为 14；j 1 nf e 8 是非周期信号；总结以上,假如数字频率 不是 的函数,就肯定是非周期序列；1.4 对图 P1.1 给出

5、的 xn,要求：2第 2 页,共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 画出 x n的波形；2 运算x e 1 x n,并画出x e n 的波形；xn 的波形,如23 运算xo 1 xn ,并画出x o n 的波形；24 令x 1 xe xo n ,将x n 和 xn进行比较,你能得出什么结论？解： 1 画出 x n的波形如图S1.4.1 所示；2 将图 P1.1 所示波形和图S1.4.1 所示波形相加再除以2,得到xe 1 2图 S1.4.2 所示；图 S1.4.1 图 S1.4.2 3 将图 P1.1 所示波形和图S1.4.1

6、 所示波形相减,再除以2,得到x o 1 x n 的波形,如图2S1.4.3 所示；图 S1.4.3 4 令 x n x e x o n ,画出波形,得到 x n x e x o x n ；另外,由波形得到 x e 1 x n 是 xn的偶对称序列,x o 1 x n 是xn的奇对称序列；这是一个详细例子,但可2 2以推广到一般情形,结论是对于一般实序列可以分解成偶对称序列 x e n 和奇对称序列 x o n ,即 x n x e x o n ,式中 x e 1 x n ,x o 1 x n ；2 21.5 以下序列是系统的单位脉冲响应 hn,试说明系统是否是因果的和稳固的；1 n 12 u

7、 n 2 n 1.u n 3 3 nu n 4 3 nu n 5 0.3 nu n 6 0.3 n u n 1 7 n 4解： 1 12 u n ,系统是因果、不稳固；2 1u n ,系统是因果、稳固的；n n .3 3 nu n ,系统是因果的,但不稳固；4 3 n u n ,系统是非因果、稳固的；3名师归纳总结 第 3 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 0.3 nu n ,系统是因果、稳固的；6 0.3 n u n1,系统是非因果的,不稳固；1.6 假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示,试分别分析系统是否是线性时不变系统

8、；y n1 y n 3 82 y n x n118,因此3 y n x n 0.5 x n14 y n nx n 解： 1 y n 3 8将上式中的 n 用nn 代替, 得到y nn03 x nn 08；令y n T x nn0 3 x nn 0n 0T x nn0,系统是时不变系统；8 令系统的输入信号为两个信号的线性组合x n ax n bx2 n ,就输出为y n T ax n 1 bx 2 3 ax n 1 3 bx2 8,T ax n 1 3 ax n 1 8, T bx2 3 bx2 由于T ax n bx2 T ax n T bx2 ,因此该系统不听从线性叠加原理,是非线性系统；

9、2 y n x n11分析方法同上,该系统是时不变非线性系统；3 y n x n 0.5 x n 1由上式有 y n n 0 x n n 0 0.5 x n n 0 1T x n n 0 x n n 0 0.5 x n n 0 1因此 y n n 0 T x n n 0 ,该系统是时不变系统；令系统的输入信号为两个信号的线性组合 x n ax n bx 2 n ,就输出为y n T ax n bx 2 ax n 0.5 ax n 1 bx 2 0.5 bx 2 n 1T ax n ax n 0.5 ax n 1, T bx 2 bx 2 0.5 b x 2 由于 T ax n 1 bx 2 T

10、 ax n 1 T bx 2 ,因此该系统听从线性叠加原理,是线性系统；4 y n nx n 由上式得到 y n n 0 n n 0 x n n 0 T x n n 0 nx n n 0 这样 y n n 0 T x n n 0 ,该系统不是时不变系统；依据差分方程,可把系统看成是一个放大器,放大器的放大量是 n,由于该放大量随 n 转变,从物理概念上讲,该系统也是一个时变系统；令系统的输入信号为两个信号的线性组合 x n ax n bx 2 n ,就输出为y n T ax n 1 bx 2 n ax n 1 bx 2 n 1,T ax n 1 nax 1 , T bx 2 nbx 2 由于

11、T ax n bx 2 T ax n T bx 2 ,因此该系统听从线性叠加原理,是线性系统；1.7 依据图 P1.7 完成下面各题；图 P1.7 1 依据串并联系统的原理直接写出总的系统单位脉冲响应hn；第 4 页,共 18 页4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 设h n 1 4n 0.5 u n3,h n h n n1 ,h 4 n1,h 5 4 n3试求总的系统单位脉冲响应hn,并推出 yn和输入 xn之间的关系；解： 1 h n h n h 2 h n h n h n ；2 在下面的推导中,用一些常用的公式,会使推导简便,它们

12、是x n x n ,x n nnx nn 0；nu n nu n1,u n1u n 在1式中,h n h 4 n1 n1nu n1nu n 1n2h 2 h n h 4 n1 nu n u n h n 1 4n 0.5 u n34n 0.5 n1n24 2 nh n h n h n h 4 4 2 n1n2u n 4 6 n17 u n2h n h n h 2 h n h 4 h 5 7 u n24 6 n1 4 n37 u n25 6 n14 n3或者h n 7 2 n14n3y n x n h n 7 u n 2 x n14 x n31.8 由三个因果线性时不变系统串联而成的系统如图P1.

13、8a所示,已知分系统h 2 u n u n2整个系统的单位脉冲响应如图P1.8b所示；1 求分系统单位脉冲响应h n ；2 假如输入x n n1,求该系统的输出yn；图 P1.8 解： 1 依据图 P1.8a写出系统的单位脉冲响应如下：式中,h 2 u n u n2R 2 h n h n h 2 h n 2 n1n225 n1；n1h 2 h 2 n1 名师归纳总结 h n h n h2 h n h n 2 n1n2h n 2 h n1h nh 1 h n 2 h n1h n2第 5 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知 hn,求h

14、n ；上式是一个递推公式,用递推法求解；求解时留意系统是一个因果系统；32；n0, h 1 0h01；n1, h 1 1h12 h 1 0523；n2, h 1 2h22h 11h 1 010613；n3, h 1 3h32 h 12h 11116n4, h 1 4h42h 1 3h 1 28431；n5, h 15h 52 h 14h 134220；n6, h 1 6h62h 1 5h 14110；n7, h 17h72 h 1 6h 150；最终得到当 n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 时,h n 1 1 3 3 2 1 0 0, L n1n2n32 y n x n

15、h n h2 h2 h n x n h 2 h 2 y n h n n1 2 n1n2h n h n 1 h n 11h n 12h n 131, 0, 0,L；将已求出的h n 代入上式,得到当 n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 时 , y n 1, 4, 5, 3, 3, 4, 5, 1.9 运算并画出图P1.9 所示信号的卷积x n h n ；图 P1.9 6a x n h n L,0,0,6,11,15,18,14,10,6,3,1,0,0,L,原点在 6 处,波形如图S1.9.1a所示；b x n h n L,0,0,6,11,15,18,14,10,6,3,1

16、,0,0,L,原点在 18 处,波形如图S1.9.1b所示；c x n h n L,0,0,1,2,2,2,1 ,0,0,L,原点在第一个2 处,波形如图S1.9.1c所示；d x n h n L,0,0,1,2,2,2,1,0,0,L,原点在第一个1 处,波形如图S1.9.1d所示；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 S1.9.1 1.10 证明线性卷积听从交换率、结合率和安排率,即证明如下等式成立：1 x n h n h n x n h n x n h2 2 x n h n h 2 h n h 2 3 x n

17、 h n h2 x n 解： 证明如下：1 由于x n h n x m h nm m令 mnmx n h n x nm h mh n x n m2 利用上面已证明的结果,得到x n h n h 2 x n h 2 h n mx m h 2nm h nmmx mkh k h nmk交换求和号的次序,得到x n h n 1 h 2 h k 2 x m h n 1mkh 2 x nkh n 1k 7kmkx n h2 h 2 h n h n h 2 3 x n h n h n x mh nmh 2nm mx m h nm x m h2 nmx n h n mm2, 2R 41.11 已知系统的输入x

18、n和单位脉冲响应hn,试求系统的输出yn；1 x n R n , R 4 2 x n n3 x n n2, n 0.5R 3 4 x n R n , 0.5nu n 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 , 0n 6 1, 2n 25 x n 3 h n 0, 其他 0, 其他a n , 3n 5 1, 0n 46 x n h n 0, 其他 0, 其他解： 1 y n R n 5 R n 4 L ,0,1,2,3,4,4,3,2,1 ,0 L ,原点在第一个 1 处；2 y n n 2 2 R n 2 R 4 2

19、 R 4 n 2 L ,0,2,2,0,0, 2, 2,0, L ,原点在第一个 2 处；n n 2 n3 y n n 2 0.5 R n 0.5 R n 2 4 0.5 R n 2；4 该题解的方法和主教材中的例题 1.3.3 相同,y n h n x n R 5 m a n mu n m；mn , 0m 4,n0,yn = 0 m0n 4,非零值范畴为 0mn ,因此n n 1n m n 1 ay n a a 1m 0 1 a5 n ,非零区间为 0m 4,因此4 5y n a n ma n 1 a1m 0 1 a0, n 0n 1结果为 y n a n 1 a1 , 0n 41 a5n

20、1 aa 1 , 5n1 a15 y n x n h n nR n R n 2；3为了运算便利,将上式写成采纳列表法,运算过程如表3 3 *h n nR 7 *R 5n2S1.11.1 所示；表 S1.11.1 m 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 3y0 = 3 3xm 1 1 0 1 2 3 4 5 6 hm 1 1 1 h m1 1 1 1 1 1 1 h1 m1 1 1 1 1 3y1 = 61 h2 m1 1 1 1 3y2 = 10h3 m1 1 1 1 3y3 = 15h4 m1 1 1 1 3y4 = 21 8第 8 页,共 18 页名师归纳总结 - - - - -

21、- -精选学习资料 - - - - - - - - - h 1 m L1 1 1 1 1 3y 1 = 1 h 2 m 1 1 1 1 1 3y 2 = 0 y n 1 3,0,1,3,6,10,15,21,20,18,15,11,6,0,L,原点在 3 处；6 x n an,3n 5h n 1,0 40,其他0,其他x n n a R 9n3,h n R n y n m a R m3 R 5nmm由R 9 m3得到n3m 5； min5,n ；3 1n a4；由R nm 得到4mn ；max 3,n4 m3 0,y n nama1am31 5,y n naman41a5 a；1m n46n

22、9,y n n a4110 an；5am1am n4最终得到y n a3an1,3n 01an a4n a11 5n a1 4a 6 aa,6n 910,其他1.12 假如线性时不变系统的输入和输出分别为1 x n 0, 0, 3,n0, 1, 2y 1 0, 1, 0, 2,n0, 1, 2, 30,其他0,其他2 x 2 0, 0, 0, 1,n0, 1, 2, 3y2 1, 2, 1,n1, 0, 10,其他0,其他试求出相应的系统单位脉冲响应；解： 这是一个简洁的解线性卷积的题目,可用递推法求解；21 y 1 x 1 h n 1 x m h n 1 1mx 1 2h n 121, 13

23、 h 1 1, 1 21；9m00；nn0, 03h 1 2, h 1 2 3名师归纳总结 n2, 03 0, h 10 0；n3, 23 h 11, 1 13第 9 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得到h n 1 0, , 0, 32,n2, 1,0,130,其他32 y2 x 2 h 2 m0x 2 m h 2nmx 23h 2n3h 2n3h 2 1, 2, 1,n4, 3, 20,其他1.13 已知因果系统的差分方程为y n 0.5 y n 1 x n 0.5 x n 1求系统的单位脉冲响应 hn；解： 用递推法求解,令 x

24、n n , y 1 = 0, yn = hn,1 1h n h n 1 n 12 21 1n 0, h 0 h 1 0 1 1；2 21 1 1 1n 1, h 1 h 0 1 0 1；2 2 2 2n 2, 2 1 h 1 1；2 221 1n 3, 3 h 22 2n 1归纳起来,结果为 h n 1u n 1 n；21.14 设系统的差分方程为 y n ay n 1 x n , 0a 1,y 1 = 0 ；分析系统是否是线性、时不变系统；解： 分析的方法是让系统输入分别为 n ,n1, n1时,求它的输出,再检查是否满足线性叠加原理和非时变性；1 x n n ,系统的输出用 y n 表示：

25、y n ay n 1 该情形在主教材例题 1.5.21.4.1 中已求出,系统的输出为 y 1 a u n ；n2 x n n 1,系统的输出用 y 2 n 表示：y 2 ay 2 n 1 n 1n 0, y 2 0 a y 2 1 1 0n 1, y 2 1 a y 2 0 0 1n 2, y 2 2 a y 2 1 1 aL L10第 10 页,共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 最终得到 n1n, y 2 an11；n1aaa2a3y 2 an1u n3 x n ,系统的输出用y3 n 表示： y 3 ay 3n10 11

26、n0, y 30a y 3 110a1n1, y 31a y 30211a an2, y 32a y 31n3, y 33a y 3232a2 aa2L Ln, y 3 ann a1最终得到 由1和2得到因此,可断言这是一个时不变系统；情形y 3 an1u n1n a u n ；y n 1 T , y2 T n1y 1 y 2n13的输入信号是情形1和情形 2的输入信号的相加信号,因此y 3 T n1；观看y 1 ,y2 ,y 3 ,得到y3 y n 1 y2 n ,因此该系统是线性系统；最终得到结论： 用差分方程y n ay n1x n , 0a1描述的系统, 起初始条件为零时, 是一个线性

27、时不变系统；1.15 习题 1.6 和习题 1.14 都是由差分方程分析系统的线性时不变性质,为什么习题 1.6没给初始条件,而习题 1.14 给了初始条件？解：系统用差分方程描述时,分析其线性时不变性质,需要给定输入信号求输出,因此需要已知差分方程的初始条件, 是几阶差分方程就需要几个初始条件,而习题 1.14 是一阶的,因此需要一个初始条件；习题 1.6 的差分方程是零阶的, 因此不需要初始条件,x 1 ,x 21.16 设系统的单位脉冲响应为h n 3/80.5nu n ,系统的输入xn是一些观看数据,设x n x 0,L,x k, L,试用递推法求系统的输出yn；递推时设系统的初始状态

28、为零；xmn m 0.5u nm3n0xmn m 0.5, 0解：y n x n h n 3m88mn0, y n 3x030.5x0x 1 8n1, y n 3m10x m1 0.5m8830.52x 00.5 x 1x 2n2, y n 3m20x m2 0.5m88L L最终得到y n 3n0m 0.5xn m；8m1.17 假如线性时不变系统的单位脉冲响应为 11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - h n n a u n , a 1求系统的单位阶跃响应；解：单位阶跃响应是系统输入单位阶跃序列时系统的零状态响应,的响应；系统的单位阶跃响应用yn表示,即m a u m u nm y n n a u n u n m非零值区间为0 m ,mn ,；xn分别为最终得到y n n0m a11an1ma1.18 已知系统的单位脉冲响应hn和输入信号因此该题即是求系统对单位阶跃序列h n n a u