2022年数学一轮考点归纳集训《导数的实际应用》.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十三节 备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1. 能利用导数争论函数的单调 性、极值或最值,并会解决与之有关的不等式问题2. 会利用导数解决某些简洁的实 际问题 . 1生活中的优化问题1. 利用极值或最值求解参数的取值范畴,如 20XX年浙江T22 等2. 利用导数争论方程根的分布情形、两曲线交点的个数等,如 20XX年福建 T20 等3. 利用导数证明不等式,解决有关不等式问题,如 20XX年天津 T20 等. 归纳2学问整合 生活中常遇到求利润最大,用料最省、 效率最高等一些实际问题,这些问题通常称为优化问题2利用导数解决生活中的优化问

2、题的一般步骤 探究 1. 求实际问题中的最大、最小值,与求一般函数的最值有什么区分？提示： 在实际问题中要留意函数的定义域应使实际问题有意义最值时,假如区间内只有一个极值点,就是最值点2如何求实际问题中的最值问题？另外, 在求实际问题的提示： 有关函数最大值、最小值的实际问题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中, 假如遇到函数在区间内只有一个极值点,那么不与区间端点比较,就可以知道这个极值点就是最大 小 值点名师归纳总结 自测2牛刀小试 第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 教材习题改编 已知某生产厂家的年利润y 单位：万

3、元 与年产量x 单位：万件 的函数关系式为y1 3x381x234,就使该生产厂家猎取最大年利润的年产量为 A13 万件B11 万件C9 万件 D 7 万件解析：选 C y1 3x 381x234,y x 281,令 y 0,就 x9. 2 教材习题改编 从边长为 10 cm316 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,就盒子容积的最大值为 x cm. 就 y10 2x16 2x x4x 3A12 cm3B72 cm3C144 cm3D160 cm3解析：选 C 设盒子容积为y cm3,盒子的高为52x2160 x0 x5 ,y 12x 2104x160. 令 y 0

4、,得 x2 或20 3 舍去 ,ymax631232144 cm 3 3 教材习题改编 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8 r 2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. 就瓶子半径为 _时,每瓶饮料的利润最大,瓶子半径为_时,每瓶饮料的利润最小30.8 r2解析：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是yf r 0.234 3 r0.8 3 r 3r2 ,0r 6.f x 0令 f r 0.8 r22r 0,就 r 2. 当 r 0,2时, f r 0. 就 f r 的最

5、大值为f 6 ,最小值为f 2 答案： 6 2 4函数 f x ax3x 恰有三个单调区间,就a 的取值范畴是 _解析： f x ax 3x 恰有三个单调区间,即函数f x 恰有两个极值点,即有两个不等实根名师归纳总结 f x ax3x, f x 3ax21. 第 2 页,共 23 页要使 f x 0 有两个不等实根,就a0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： , 0 利用导数争论函数的零点或方程的根 例 1 20222福建高考 已知函数 f x exax2ex,aR. f x 的单调区间；1 如曲线 yf x 在点 1 , f 1 处的切线平

6、行于x 轴,求函数2 试确定 a 的取值范畴, 使得曲线 yf x 上存在唯独的点 曲线只有一个公共点 P. P,曲线在该点处的切线与 自主解答 1 由于 f x ex2axe,曲线 yf x在点 1 ,f 1 处的切线斜率k2a0,所以 a0,即 f x e xex. 此时 f x e xe,由 f x 0 得 x 1. 当 x , 1 时,有 f x 0；当 x1 , 时,有 f x 0. , 1 ,单调递增区间为 1 , 所以 f x 的单调递减区间为2 设点 P x0,f x0 ,曲线 yf x 在点 P 处的切线方程为yf x0 xx0 f x0 ,令 g x f x f x0 xx

7、0 f x0 ,故曲线 yf x 在点 P处的切线与曲线 yf x只有一个公共点 P 等价于函数 g x 有唯独零点由于 g x0 0,且 g x f x f x0 e 如 a0,当 xx0 时, g x 0,就 xx0 时, g xg x0 0；xex02a xx0 当 xx0 时, g x 0,就 x x0 时, g x g x0 0. 故 g x 只有唯独零点 xx0. 由 P 的任意性知, a0 不合题意如 a0,令 h x e xex02a xx0 ,就h x0 0,h x e x2a. 令 h x 0,得 xln 2a ,记 x *ln 2a ,就当 x , x * 时,h x 0

8、,从而 h x 在 , x * 内单调递减；当 x x *, 时, h x 0,从而 h x 在 x *, 内单调递增a如 x0x *,由 x ,x * 时,g x h x h xh x h x * 0. 所以 g x 在 R上单调递增所以函数 g x 在 R上有且只有一个零点 xx *. * 0；由 x x *, 时,g x名师归纳总结 b如 x0x *,由于 h x 在x*, 内单调递增,且h x0 0,就当 x x*,x0时,第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有 g xh x h x0 0,gx g x00；任取 x1 x

9、*,x0 有 g x1 0. 又当 x , x1 时,易知 gx e xax 2e f x0 x f x0x0f x0 ex1ax 2e f x0 xf x0 x0f x0 ax 2bx c,其中 b e f x0 ,c ex1f x0 x0f x0由于 a0,就必存在2 x2x1,使得 ax 2bx2c0. 所以 g x20 ,故 g x 在x2, x1 内存在零点,即 g x 在 R上至少有两个零点3c如 x0x 6,可证函数 g x 在 R上至少有两个零点综上所述, 当 a0 时,曲线 yf x 上存在唯独点 Pln2a ,f ln 2a ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P.

10、利用导数争论方程根的方法争论方程根的情形,可以通过导数争论函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,依据题目要求, 画出函数图象的走势规律,标明函数极 最 值的位置, 通过数形结合的思想去分析问题,可以使得问题的求解有一个清楚、直观的整体呈现1设函数 f xln x1 2ax2bx. 1 当 ab1 2时,求 f x 的最大值；P x0,y0 处切线的斜率m的值2 令 F x f x 1 2ax2bxa x0 x3 ,其图象上任意一点k1 2恒成立,求实数a 的取值范畴；3 当 a0,b 1 时,方程 2mf x x2有唯独实数解,求正数解： 1 依题意,知f x 的定义域为 0 , ,当 a

11、b1 2时, f x ln x1 4x 21 2x,f x 1 x1 2x1 2x22xx 1,令 f x 0,解得 x1 x 2 舍去 减当 0x0 ,此时 f x 单调递增；当x1 时, f x0,x0,所以 x1mm 24m2 0 舍去 ,x2mm 24m. 2当 x0 ,x2 时, g x0 ,g x 在 x2, 上单调递增；当 x x2时, g x20,g x取最小值 g x2 由于 2mf x x 2 有唯独实数解, 就gx2x20,即2 x 22mln x22mx20,所g0,2 x 2mx2 m0,以 2mln x2mx2m0. 又由于 m0,所以 2ln x2 x2 10.*

12、 设函数 h x 2ln xx1,当 x0 时, hx 是增函数,所以h x 0 至多有一解由于 h1 0,所以方程 * 的解为 x21,即mm 24m21,解得 m1 2. 利用导数解决恒成立及参数求解问题 例 2 已知函数 f x e xax,其中 a0. 1 如对一切 xR, f x 1 恒成立,求 a 的取值集合；2 在函数 f x的图象上取定两点A x1,f x1 ,B x2,f x2 x1x2 ,记直线 AB的斜名师归纳总结 率为 k,证明：存在x0 x1,x2 ,使 f x0 k 成立第 5 页,共 23 页 自主解答 1 f x e xa,令 f x 0 得- - - - -

13、- -精选学习资料 - - - - - - - - - xln a. 当 xln a 时, f xln a 时,f x0 ,f x 单调递增,故当 f ln a a aln a. xln a 时, f x 取最小值于是对一切 xR,f x 1 恒成立,当且仅当 aaln a1. 令 g t t t ln t ,就 g t ln t . 当 0t 0 ,g t 单调递增；当t 1 时, g t 0 ,g t 单调递减故当 t 1 时, g t 取最大值 g1 1. 因此,当且仅当 a1 时,式成立综上所述, a 的取值集合为 1 f x2 f x1 ex2ex12 由题意知, kx2 x1x2x

14、1a,令 x f x ke xex2ex1 x2x1,就 x1 x2x1e ex1 x 2x1 x2x1 1 ,ex2 x2 x2x1e x 1x2 x1x2 1 令 F t e t t 1,就 F t e t1. 当 t 0 时, F t 0 时,F t 0 ,F t 单调递增故当 t 0 时, F t F0 0,即 e tt 10. 从而 e x2x1 x2x1 10,e x1x2 x1x2 10,又ex1 x2x10,ex2 x2x10,所以 x10. 由于函数 y x 在区间 x1,x2 上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在 x0 x1,x2 ,使 x0 0,即 f x0 k 成立名

15、师归纳总结 如将函数“f x e xax,a0” 改为“f x e axx,a 0” ,试解决问题1 第 6 页,共 23 页解：如 a0,f xeaxx0. 而 f x aeax 1,令 f x 0 得 x1 aln 1 a. 1 当 x aln 1 1a时,f x aln 1 a时,f x0 ,f x 单调递增 故- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x1 aln 1 a时, f x 取最小值 faln 1 a1 a1 aln 1 a. 于是对一切 xR,f x 1 恒成立,当且仅当a1 aln 1 a1. 令 g t t t ln t ,就 g

16、t ln t . 当 0t 0 ,g t 单调递增；当t 1 时, g t 0 ,g t 单调递减故当 t 1 时, g t 取最大值 g1 1. 因此,当且仅当1 a 1,即 a1 时,式成立综上所述, a 的取值集合为 1 不等式恒成立问题的求解方法1 由不等式恒成立求解参数取值范畴问题常采纳的方法是分别参数求最值,即要使ag x 恒成立,只需 agxmax,要使 ag x 恒成立,只需 ag xmin. 另外,当参数不宜进行分别时, 仍可直接求最值建立关于参数的不等式求解,例如, 要使不等式 f x 0 恒成立,可求得 f x 的最小值 h a ,令 ha 0 即可求出 a 的取值范畴2

17、 参数范畴必需依靠不等式才能求出,求解参数范畴的关键就是找到这样的不等式2已知 f x x 2ae x,aR. 1 如 a3,求 f x 的单调区间和极值；M；2 已知 x1,x2 是 f x 的两个不同的极值点,且 | x1x2| | x1x2| ,求实数 a 的取值集合33 在2 的条件下,如不等式 3f a0；x 3,1 时, f x0, 1a2.M a| 13f a a33 2a 2 3a 对 a M都成立,记g a3f aa33 2a 23a 16e 28. 故实数 b 的取值范畴为 6e 28, .利用导数解决生活中的优化问题 例 3 随着生活水平的不断提高,人们越来越关注身体健康

18、,而电视广告在商品市场中占有特别重要的位置某闻名保健品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 20XX年通过电视广告进行一系列促销活动经过市场调查和测算,保健品的年销量 x单位：百万件 与年促销费 t 单位：百万元 之间满意： 3x 与 t 2 成反比例假如不搞促销活动,保健品的年销量只能是 1 百万件, 20XX 年生产该保健品的固定费用为 5 百万元,每生产 1 百万件保健品需再投入 40 百万元的生产费用如将每件保健品的售价定为“ 其生产成本的150%” 与“ 平均每件促销费的 m倍 0 m1.2 ” 之和, 就当年生产的保健品恰能销完假设20XX年该企业的保健品恰能销完,且该企业的年产量

19、最大为 2.6 百万件1 将 20XX年的利润 y 单位：百万元 表示为促销费 t 的函数；2 该企业 20XX年的促销费投入多少百万元时,企业的年利润最大？名师归纳总结 注：利润销售收入生产成本促销费,生产成本固定费用生产费用 第 8 页,共 23 页 自主解答 1 由于年销量x 百万件与年促销费t 百万元之间满意：3x 与 t 2 成- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 反比例,所以设t 2k 3x k 0 由题意知,当t 0 时, x1,代入得 0 2k 31,解得 k4. t 8.所以 t 24 3x,即 x34 t 2 t 0 由该企业的年产量最

20、大为2.6 百万件可得, x34 t 22.6 ,解得由于 20XX年的年销量为x 百万件,就生产成本为y1 540x,促销费用为t ,年销售收入为y2150%3 y1mt. 1 235 40x m1 t . 所以 20XX年的利润 yy2y1t 1 2y1m1 t 将 x34 t 2代入上式,得y1 23540334 m 1 tt 22.5 6080 t 2 m1 t62.5 80 t 2 m1 t 0 t 8,0 m1.2 2 由1 知, y62.5 80 t 2 m1 t 0 t 8 ,名师归纳总结 所以 y 802 m1 第 9 页,共 23 页t 2当 1m1.2 时,m10,802

21、0,所以 y 802 m1 0,此时函t 2t 2数在 0,8 上单调递增,所以当t 8 时,年利润y 取得最大值,最大值为62.5 80 82 m13846.5 8m 百万元 ；当 0m1 时,由 y 0 解得 t 80 1m2,函数在0,80 1m2 上单调递增,在80 1 m2,8 上单调递减所以当 t 80 1m2 时,函数取得最大值,最 大 值 为62.5 80 m 1280 1m2 64.5 80 1m2 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 85m2m 百万元 综上,如 1m1.2 ,就当促销费投入 t 8 时,企业的年利润 y 取得最大值

22、,最大值80为 46.5 8m 百万元 ；如 0m0,当 5x6 时, g x0,g x0 ；当 x1 , 时, h x0,所以 x0,1 时, f x0；当 x1 , 时, f x0,g x1 e2 等价于1xxln x0,h x 单调递增；当 xe 2, 时, h x0 , x 单调递增, x 0 0,故当 x0 , 时, x e x x10 ,xe即 x11. xe所以 1x xln x1 e20,g x0 时, g x1 e2,即证明函数g x 在 0 , 上的最大值小于1第 12 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - e 2,从而

23、将问题转化为求函数g x 在 0 , 上的最大值问题,使问题得以顺当解决2一般地,证明 f x g x ,x a,b ,可以构造函数 F x f x g x ,假如F x0 ,就 F x 在 a,b 上是减函数,同时如 F a 0,由减函数的定义可知,x a,b 时,有 F x0 ,即证明白 f x g x,x a,b ,可以构造函数Fx f x g x ,假如 F x0 ,就 F x在 a,b 上是增函数,同时如F a 0,由增函数的定义可知,x a,b 时,有 Fx0 ,即证明白 f x g x 变式训练 20222辽宁高考 设 f x ln x1 x1axb a,bR,a,b 为常数 ,曲线yf x 与直线 y3 2x 在0,0 点相切1 求 a,b 的值；2 证明：当 0x2 时, f x9x x6. 解： 1 由 yf x 过0,0 点,得 b 1. 3由 yf x 在0,0