2022年数学分析教案第六章微分中值定理及其应用3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案第六章 微分中值定理及其应用教学目的：1. 把握微分学中值定理, 领悟其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础；2. 娴熟把握洛比塔法就,会正确应用它求某些不定式的极限；3. 把握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题；4. 使同学把握运用导数争论函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根 据函数的整体性态较为精确地描画函数的图象；5. 会求函数的最大值、最小值,明白牛顿切线法；教学重点、难点 ：本章的重点是中值定理和泰勒公式, 利用导数争论函数单调性、 极值与凸性；难点是用帮助函数解决问题的方法；教学时数 ：14 学时 1

2、中值定理 （4 学时）教学目的： 把握微分学中值定理, 领悟其实质, 为微分学的应用打下坚实的 理论基础；教学要求： 深刻懂得中值定理及其分析意义与几何意义,把握三个定理的证 明方法,知道三者之间的包含关系；教学重点： 中值定理；教学难点： 定理的证明；系统讲解法；教学难点：一、引入新课：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案通过复习数学中的 “ 导数”与物理上的 “ 速度” 、几何上的 “ 切线” 之联系,引导同学从直觉上感到导数是一个特别重要而有用的数学概念；在同学把握了“ 如何求函数的导数”的前

3、提下, 自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗语说得好：工欲善其事,必先利其器；因此,我们第一要磨锐利导数的刀刃；我们要问：如函数可导,就它应当有什么特性？由此引入新课第六章 微分 中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念：1极值：图解,定义 区分一般极值和严格极值 . 2. 可微极值点的必要条件 : Th Fermat 证 函数的稳固点 , 稳固点的求法 . （二） 微分中值定理 : 1. 2.Rolle 中值定理 : 表达为 Th1. 证 定理条件的充分但不必要性. Lagrange 中值定理 : 表达为 Th2. 证 图解 .用分析方法

4、引进帮助函数 , 证明定理 . 用几何直观引进帮助函数的方法参 阅1P157. Lagrange 中值定理的各种形式 . 关于中值点的位置 . 推论 1 函数在区间 I 上可导且为 I 上的常值函数 . 证 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 2 函数和名师精编精品教案在区间 I 上可导且推论 3 设函数在点的某右邻域上连续 , 在内可导 . 如存在, 就右导数也存在 , 且有 证 虽然但是, 不存在时 , 却未必有不存在 . 例如对函数不存在 , 但却在点可导 可用定义求得. Th 导数极限定理 设函数在点的

5、某邻域内连续 , 在内可导 . 如极限存在, 就也存在 , 且 证 由该定理可见 , 如函数在区间 I 上可导 , 就区间 I 上的每一点 , 要么是导函数名师归纳总结 的连续点 , 要么是的其次类间断点 . 这就是说 , 当函数在区间 I 上第 3 页,共 25 页点点可导时 , 导函数在区间 I 上不行能有其次类间断点.推论 4 导函数的介值性 如函数在闭区间上可导 , 且 证 Th Darboux 设函数在区间上可导且. 如为介于与之间的任一实数 , 就设对帮助函数, 应用系 4 的结果 . 证 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.Cauchy

6、中值定理 : 名师精编精品教案使Th 3 设函数和在闭区间. 上连续 , 在开区间内可导 , 和在内不同时为零 , 又就在内至少存在一点证分析引出帮助函数. 验证在上满意 Rolle 定理的条件 , 必有, 由于否就就有. 这与条件“和在内不同时为零” 冲突 . Cauchy中值定理的几何意义 . （三） 中值定理的简洁应用 : 名师归纳总结 1. 证明中值点的存在性. 内可导 , 就, .第 4 页,共 25 页例 1 设函数在区间上连续 , 在使得. 证在 Cauchy中值定理中取内可导 , 且有例 2设函数在区间上连续 , 在试证明 : . - - - - - - -精选学习资料 - -

7、 - - - - - - - 2.证明恒等式 :名师精编精品教案原理 .例 3证明 : 对和, 有又. 就例 4设函数可导且例 5.证明. , 其中是正常设对, 有数. 就函数 是常值函数 . 证明 . 3. 证明不等式 : 例 6 证明不等式 : 时, . 例 7 证明不等式 : 对,有 . 4. 证明方程根的存在性 : 证明方程 在 内有实根 . 例 8 证明方程 在 内有实根 . 2 柯西中值定理和不定式的极限（2 学时）教学目的：1. 把握争论函数单调性方法；2. 把握 L Hospital 法就,或正确运用后求某些不定式的极限；教学要求：1. 娴熟把握 L Hospital 法就,并

8、能正确运用后快速正确地求某些不定式的极名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案限；2. 深刻懂得函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；娴熟把握运 用导数判定函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式；教学重点： 利用函数的单调性, L Hospital 法就教学难点： L Hospital 法就的使用技巧；用帮助函数解决问题的方法；教学方法： 问题教学法,结合练习；一. 型: 法就 证 应用技巧 . Th 1 Hospital例 1 例 2 . 例 3 . 作代换或利用等价无穷小

9、代换直接运算. 例 4 . Hospital法就失效的例 二.型: Hospital法就 证略 Th 2 例 5. . 例 6名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 註: 关于名师精编精品教案当时的阶 . 例 7. Hospital法就失效的例 三. 其他待定型 : 例 8. 前四个是幂指型的 . 例 9. 例 10 例 11 .例 12 .例 13 .例 14 设且求解. 3 Taylor 公式（ 2 学时）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - -

10、 名师精编 精品教案教学目的： 把握 Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题；教学要求：1. 深刻懂得 Taylor 定理,把握 Taylor 公式,熟识两种不同余项的 Taylor 公 式及其之间的差异；2. 把握并熟记一些常用初等函数和Taylor 绽开公式,并能加以应用；3. 会用带 Taylor 型余项的 Taylor 公式进行近似运算并估量误差；会用代 Peanlo余项的 Taylor 公式求某些函数的极限；教学重点： Taylor 公式 教学难点： Taylor 定理的证明及应用；教学方法： 系统讲授法；一. 问题和任务 :用多项式靠近函数的可能性 的精度 . ; 对已知

11、的函数 , 期望找一个多项式靠近到要求二. Taylor 1685 1731 多项式 : 分析前述任务,引出用来靠近的多项式应具有的形式定义Taylor多项式及 Maclaurin多项式例 1求函数在点的 Taylor 多项式 . 1P174. 留作阅读 三. Taylor 公式和误差估量 : 名师归纳总结 称为余项 . 称给出的定量或定性描述的式第 8 页,共 25 页 1. 为函数的 Taylor 公式. 误差的定量刻画 整体性质 Taylor 中值定理 : - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Th 1 设函数名师精编精品教案满意条件 : 在闭区间上

12、有直到阶连续导数 ; 在开区间内有阶导数 . 就对使. 证 1P175176. 称这种形式的余项为 Lagrange 型余项 . 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为 具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 . Lagrange 型余项仍可写为. 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin公式 , 此时余项常写为. 2. 误差的定性描述 局部性质 Peano型余项 : Th 2 如函数 在点 的某邻域 内具有 阶导数 , 且 存在 ,就名师归纳总结 ,. 第 9 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证设名师精

13、编精品教案. 应用Hospital法就, 次, 并留意到 存在 , 就有= . 称 为 Taylor 公式的 Peano型余项 , 相应的 Maclaurin公式的 Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具 Peano型余项的 Taylor 公式 或 Maclaurin 公式 .四. 函数的 Taylor 公式 或 Maclaurin公式 绽开: . 1. 直接绽开 :例 2求的 Maclaurin 公式 . 解例 3求的 Maclaurin 公式 . 解 , . 例 4求函数的具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 名师归纳总结 - - - - - -

14、 -第 10 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解名师精编精品教案. . 例 5把函数绽开成含项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 . 1P179 E5, 留为阅读 . 2. 间接绽开 : 利用已知的绽开式 , 施行代数运算或变量代换 , 求新的绽开式 . 例 6 把函数 绽开成含 项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 . 解 , . 例 7把函数绽开成含项的具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 解 , 留意 , . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - -

15、 - - - 例 8先把函数名师精编精品教案绽开成具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的绽开式 , 把函数在点绽开成具 Peano型余项的 Taylor 公式 . 解 . = +例 9把函数绽开成具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 ,并与的相应绽开式进行比较 . 解 ; . 而 . 五. Taylor 公式应用举例 :名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 证明是无理数 : 名师精编精品教案例 10 证明是无理数 . 证把绽开成具 Lagrange 型余项的 Maclaur

16、in 公式 , 有. 反设是有理数 , 即和为整数 , 就有整数 + . 对也是整数 . 于是 , 整数 = 整数整数 = 整数. 但由因而当时,不行能是整数 . 冲突 . 2. 运算函数的近似值 : 例 11 求精确到的近似值 . . 解留意到有. 为使, 只要取. 现取, 即得数的精确到的近似值为. 名师归纳总结 3.利用 Taylor 公式求极限 : 原理 : 第 13 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12求极限名师精编精品教案. 解 , ; . 4. 证明不等式：原理. 例 13证明 : 时, 有不等式. 3P130 E3

17、3. 4 函数的极值与最大（小）值（2 学时）教学目的： 会求函数的极值和最值；教学要求：1. 会求函数的极值与最值；2. 弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、其次充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能敏捷运用第一、 其次充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值,对于取得极值的第三充分条件,也应用基本的明白；教学重点： 利用导数求极值的方法 教学难点： 极值的判定 教学方法：讲授法演示例题一可微函数单调性判别法：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案1单调性判法：

18、在Th 1 设函数在区间内可导 . 就在内 或 内 或. 内可导 .就在内 或证 . 证Th 2 设函数在区间 对有 或; 的非负、非正值区间 . 在内任子区间上的升、降区间分别对应2.单调区间的分别 :例 1分别函数的单调区间 . 更一般的例可参阅 4P147 148 E13,14. 二. 可微极值点判别法 : 极值问题 : 极值点 , 极大值仍是微小值 , 极值是多少 . 1.可微极值点的必要条件 : Fermat定理 表述为 Th3 .函数的驻点和 连续但 不行导点统称为可疑点 , 可疑点的求法 . 2. 极值点的充分条件 : 对每个可疑点 , 用以下充分条件进一步鉴别是否为 极值点 .

19、名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编精品教案和Th 4 充分条件 设函数在点连续 , 在邻域内可导 . 就 在 内 在 内 时, 为 的一个微小值点 ; 在 内 在 内 时,为 的一个极大值点 ; 如 在上述两个区间内同号 , 就 不是极值点 . Th 5 充分条件“ 雨水法就” 设点 为函数 的驻点且存在 . 就当时, 为的一个极大值点 ; 当时, 为的一个微小值点 . 证法一当时, 在点的某空心邻域内与异号, 证法二 用 Taylor 公式绽开到二阶 , 带 Peano型余项 . Th 6 充分条件 设

20、 , 而. 就名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为奇数时 , 名师精编精品教案不是极值点 ; 为偶数时 ,是极值点 . 且对应微小 ;对应极大. 例 2求函数设函数的极值 . 1P190 E3 例 3求函数的极值 . 1P190 E4 3.函数的最值 :在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 就= ; . 函数最值的几个特例 : 单调函数的最值 : 假如函数 在区间 上可导且仅有一个驻点 , 就当 为极大值点时 , 亦为最大值点 ; 当 为微小值点时 , 亦为最小值点 . 如函数 在 内可导且仅有一个极大 或小 值点

21、 , 就该点亦为最大 或小 值点 . 名师归纳总结 对具有实际意义的函数 , 常用实际判定原就确定最大 或小 值点 . 第 17 页,共 25 页三.最值应用问题 :- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、名师精编精品教案和（如图）,长两村距输电线 （直线）分别为. 现两村合用一台变压器供电 最小 . . 问变压器设在何处 , 输电线总长解设如图,并设输电线总长为. 就有, , 解得 和 捨去 . 答： 四. 利用导数证明不等式 :我们曾在前面简介过用中值定理或 Taylor 公式证明不等式的一些方法 . 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出

22、七种 参阅3P112 142 . 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简洁原理. 在. 内1.利用单调性证明不等式:原理 : 如, 就对, 有不等式例 5证明: 对任意实数和, 成立不等式证取名师归纳总结 . 于是 , 由, 就有, 即第 18 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案. 2. 不等式原理 : 4P169 171. 不等式原理 : 设函数在区间时, 上连续 , 在区间内可导, 且; 又就 不等式原理的其他形式 . 例 6证明: 时, . . 例 7证明: 时, 2. 利用极值证明不等式 : 例 8 证明 :

23、 时, . 5 函数的凸性与拐点（ 2 学时）教学目的： 把握争论函数的凹凸性和方法；教学要求： 弄清函数凸性的概念, 把握函数凸性的几个等价论断,会求曲线 的拐点,能应用函数的凸性证明某些有关的命题；教学重点： 利用导数争论函数的凸性 教学难点： 利用凸性证明相关命题 教学方法： 系统讲授法演示例题一凸性的定义及判定：名师归纳总结 1凸性的定义： 由直观引入 . 强调曲线弯曲方向与上升方向的区分.第 19 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义 设函数名师精编精品教案, 恒有在区间上连续 . 如对, 或. 就称曲线在区间上是凹 或凸

24、的. 如在上式中 , 当时, 有严格不等号成立 , 就称曲线. 在区间上是严格凹 或严格凸 的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸凸性的几何意义 : 倘有切线 , 与切线的位置关系 ; 与弦的位置关系 ; 曲线的弯曲方向 . 2利用二阶导数判定曲线的凸向: 内, 把Th 设函数在区间内存在二阶导数 , 就在在内严格上凸 ; 在内严格下凸 . 该判别法也俗称为 “ 雨水法就”. 证法一 用 Taylor 公式 对设在点 绽开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有. 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其

25、中和在与名师精编精品教案, 就有之间 . 留意到, 于是如有上式中如和, 即严格上凸 . 如有上式中, 即严格下凸 . 证法二 利用 Lagrange 中值定理 . 就有 , 不妨设, 并设, 分别在区间上应用Lagrange 中值定理 , 有,. 有, 又由, 即严格下凸 . 可类证 的情形 . 3凸区间的分别 :的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.二. 曲线的拐点 : 拐点的定义 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1确定函数名师精编精品教案的上凸、下凸区间和拐点 . 4P154 E20 解的定

26、义域为. 令, 解得. 在区间内的符号依次为,. 拐点为 : 假如留意到此题中的是奇函数 , 可使解答更为简捷 . 三. Jensen 不等式及其应用 : Jensen 不等式 : 设在区间上恒有 或, 就对上的任意个点, 有 Jensen 不等式 : 或, 且等号当且仅当 时成立 . 证令, 把表为点处具二阶 Lagrange 型余项的名师归纳总结 Taylor 公式,仿前述定理的证明,留意即得所证 . 第 22 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对详细的函数套用名师精编精品教案. Jensen 不等式的结果 , 可以证明一些较复杂的

27、不等式这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法 . 详细应用时 , 往往仍用到所选函数的严格单调性. 有不等式. 例 2证明: 对例 3证明均值不等式 : 对, 有均值不等式. 证先证不等式. 取.在内严格上凸 , 由 Jensen 不等式 , 有. 由. 对用上述已证结果 , 即得均值不等式的左半端. 例 4证明 : 对, 有不等式. 平方根平均值 例 5设,证明. 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解取名师精编精品教案, 应用 Jensen 不等式 . Jensen 不等式在初等数学中的应用举

28、例: 参阅 荆昌汉 文: “ 凸 凹 函数定理在不等式证明中的应用”, 数学通讯 1980.4. P39. 例 6 在中, 求证 . 解 考虑函数在区间 内凹 , 由 Jensen 不等式 , 有. . 例 7 已知. 求证. 解考虑函数, 在内严格上凸 . 由 Jensen 不等式 , 有. . 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8已知名师精编精品教案. 留为作业 求证解函数在内严格下凸 . 由 Jensen 不等式 , 有.习题、小结（ 2 学时）名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 25 页