（江苏专版）2019版高考数学一轮复习讲义： 第十五章 圆锥曲线与方程 15.2 双曲线讲义.doc

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1、15.2双曲线考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.双曲线的定义和标准方程求双曲线的标准方程A填空题2.双曲线的性质双曲线的几何性质及简单运用A12题5分3题5分8题5分填空题分析解读双曲线作为一种重要的圆锥曲线,考查的频度比较高,试题难度一般中等偏下,复习时不要过度挖掘.五年高考考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国理改编,5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为.答案x24-y25=12.(2017天津文改编,5,5分)

2、已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为.答案x2-y23=13.(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为.答案x28-y28=14.(2015天津改编,6,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为.答案x24-y23=15.(2015广东改编,7,5分)

3、已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为.答案x216-y29=16.(2014天津改编,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.答案x25-y220=1教师用书专用(78)7.(2013广东理改编,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则C的方程是.答案x24-y25=18.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y

4、=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a,从而双曲线E的离心率e=ca=5.(2)解法一:由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为OAB的面积为8,所

5、以12|OC|AB|=8,因此12a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为x24-y216=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x24-y216=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x24-y216=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,则C-mk,0.记A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,y=2x得y1=2m2-k,同理得y2=2m2+k.由SOAB=12|OC|y1-y2|得,12-mk2m2-k-2m2+k=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由y=kx+m,x24-y216=1得(4-k2)x2-2kmx-

6、m2-16=0.因为4-k20,所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.解法二:由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-12m12.由x=my+t,y=2x得y1=2t1-2m,同理得y2=-2t1+2m.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由SOAB=12|OC|y1-y2|=8,得12|t|2t1-2m+2t

7、1+2m=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).由x=my+t,x2a2-y24a2=1得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-12或k-2.由y=kx+m,4x2-y2=0得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k20,所以x1x2=-m24-k2,又因为OAB的面积为8,所以12|OA|OB|sinAOB=8,又易知sinAOB=45,所以25x12+y12x22+y22=8,化简得x1x2=4.所以-m24-k2=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1,由y=kx+m,x2a2-y24a2=1得(4-k

8、2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k21,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是.答案(1,2)3.(2017课标全国理改编,9,5分)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为.答案24.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-y23=1的焦距是.答案2105.(2016北京,12,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=;b=.答案1;26.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-y23=1的左、右焦

9、点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案(27,8)7.(2016山东,14,5分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案28.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案229.(2015课标改编,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦

10、点.若MF1MF20)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为.答案311.(2014浙江,16,5分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案5212.(2013课标全国理改编,4,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为.答案y=12x13.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:x2a2-y2=1(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1

11、)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:x0xa2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=32相交于点N.证明:当点P在C上移动时,|MF|NF|恒为定值,并求此定值.解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=a2+1,直线OB的方程为y=-1ax,直线BF的方程为y=1a(x-c),解得Bc2,-2a.又直线OA的方程为y=1x,则Ac,ca,kAB=ca-c2ac-c2=3a.又因为ABOB,所以3a-1a=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为x23-y2=1.(2)由(1)知a=3,则直线l的方程为x0x3-y0y=1(y00),即y=x0x-3

12、3y0.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M2,2x0-33y0;直线l与直线x=32的交点为N32,32x0-33y0,则|MF|2|NF|2=(2x0-3)2(3y0)214+32x0-32(3y0)2=(2x0-3)29y024+94(x0-2)2=43(2x0-3)23y02+3(x0-2)2.因为P(x0,y0)是C上一点,则x023-y02=1,代入上式得|MF|2|NF|2=43(2x0-3)2x02-3+3(x0-2)2=43(2x0-3)24x02-12x0+9=43,所求定值为|MF|NF|=23=233.教师用书专用(1423)14.(2016天津理改编

13、,6,5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为.答案x24-y212=115.(2016课标全国理改编,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=13,则E的离心率为.答案216.(2016浙江理改编,7,5分)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则e1e2与1的大小关系为.答案e1e21

14、17.(2015课标改编,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为.答案218.(2015重庆改编,10,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是.答案(-1,0)(0,1)19.(2015浙江,9,6分)双曲线x22-y2=1的焦距是,渐近线方程是.答案23;y=22x20.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲

15、线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案3221.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:x2a2-y2b2=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案522.(2014大纲全国改编,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=.答案1423.(2013山东理改编,11,5分)抛物线C1:y=12px2(p0)的焦点与双曲线C2:x23-y2=1的右焦点的连线交C

16、1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=.答案433三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(苏教选21,二,3,8,变式)设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为.答案x216-y29=12.(2017江苏前黄中学月考)若双曲线x24-y212=1上的一点P到它的右焦点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是.答案4或123.(2016江苏南通一模,7)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点P(

17、1,1),其一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的方程为.答案2x2-y2=1考点二双曲线的性质4.(2018江苏姜堰中学高三期中)双曲线x2-y2=1的离心率为.答案25.(2018江苏前黄中学等五校检测)直线3x-y=0为双曲线x2-y2b2=1(b0)的一条渐近线,则b的值为.答案36.(2018江苏南通中学高三阶段检测)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点,AB=43,则双曲线C的实轴长为.答案47.(2017江苏泰州中学模拟,5)若双曲线x2-y2k=1的焦点到渐近线的距离为22,则实数k的值是.答案88.(2017江苏南京学情调研,8)

18、在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2a2 -y24=1(a0)的一条渐近线与直线y=2x+1平行,则实数a的值是.答案19.(2017江苏南京,盐城一模,7)设双曲线x2a2-y2=1(a0)的一条渐近线的倾斜角为30,则该双曲线的离心率为.答案23310.(2017江苏南京师范大学附中期中,8)若双曲线2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.答案53B组20162018年模拟提升题组(满分:20分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共20分)1.(2017江苏连云港四校期中)设F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与双

19、曲线左支交于A,B两点,且AF1B=120.则双曲线的离心率为.答案3+12.(2017江苏苏中部分名校联考)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若AB=12BC,则双曲线的离心率是.答案53.(2016江苏苏北四市调研,7)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x216-y29=1渐近线的距离为.答案354.(苏教选21,二,3,8,变式)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为.答案53C组20162018年

20、模拟方法题组方法1求双曲线标准方程的方法1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为.答案x24-y212=12.(2016山西太原质检)如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点,且双曲线过C、D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为.答案x2-y23=1方法2求双曲线的离心率或离心率的取值范围3.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,AB为C的实轴长的2倍,则C的离心率为.答案3方法3求双曲线中的最值4.已知双曲线C的两个焦点分别为

21、F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C上一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程;(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求DF1+DG的最小值.解析(1)设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),依题意,得a=1,c=2,所以b=c2-a2=3.所以双曲线C的标准方程为x2-y23=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则3x12-y12=3,3x22-y22=3.两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2,所以12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即kAB=y1-y2x1-x2=6,故直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.(3)由已知,得DF1-DF2=2,即DF1=DF2+2,所以DF1+DG=DF2+DG+2GF2+2,当且仅当G,D,F2三点共线时取等号.因为GF2=(1-2)2+22=5,所以DF2+DG+2GF2+2=5+2,故DF1+DG的最小值为5+2.