（江苏专版）2019版高考数学一轮复习讲义： 第五章 平面向量 5.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的应用讲义.doc

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1、5.3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.平面向量的平行与垂直1.平面向量平行与垂直的判断2.平面向量平行与垂直关系的应用B填空题解答题2.平面向量的综合应用1.与解三角形相结合2.与函数、不等式相结合B填空题解答题分析解读平面向量的平行与垂直是平面向量中的重要内容,一般与三角函数、解三角形等知识交汇考查.五年高考考点一平面向量的平行与垂直1.(2017课标全国文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案72.(2016课标全国,13,5分)已知向量a

2、=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=.答案-63.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为.答案-54.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x=.答案-235.(2014湖北,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+b)(a-b),则实数=.答案3考点二平面向量的综合应用1.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;252.(2015福建改编,9,5分)已知ABAC,|AB

3、|=1t,|AC|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于.答案133.(2013福建理改编,7,5分)在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为.答案54.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若PA+PB+PC=0,求|OP|;(2)设OP=mAB+nAC(m,nR),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)解法一:PA+PB+PC=0,且PA+PB+PC=(1-x,1-y

4、)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),6-3x=0,6-3y=0,解得x=2,y=2,即OP=(2,2),故|OP|=22.解法二:PA+PB+PC=0,即(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0,OP=13(OA+OB+OC)=(2,2),|OP|=22.(2)OP=mAB+nAC,(x,y)=(m+2n,2m+n),x=m+2n,y=2m+n,两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一平面向量的平行与垂直1.(2017江苏

5、南京学情检测,6)设向量a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b.若ac,则实数x的值是.答案42.(2017江苏徐州沛县中学质检,11)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若ab,则16x+4y的最小值为.答案83.(2017江苏无锡期末,7)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),若a-b与ma+b垂直,则m的值为.答案144.(2018江苏淮安、宿迁高三(上)期中)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b),n=(sin B,-cos A),且mn.(1)求A的大小;(2)若|n|=64,求cos C的值.解析(1)mn,mn=asin B-

6、3bcos A=0,sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,tan A=3,A(0,),A=3.(2)|n|=sin2B+(-cosA)2=64,sin2B+122=38,解得sin2B=18,B(0,),sin B=24,当B为锐角时,cos B=1-sin2B=144,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-12144+3224=6-148,当B为钝角时,cos B=-144,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-12-144+3224=6+148,综上,cos C的值为6-148或

7、6+148.5.(2018江苏无锡高三期中)已知a=(-3,1),b=(1,-2),c=(1,1).(1)求a与b的夹角的大小;(2)若c(a+kb),求k的值.解析(1)设a与b的夹角为,因为cos =ab|a|b|=-3-2105=-22,0,所以=34.即a与b的夹角为34.(2)a+kb=(-3+k,1-2k).因为c(a+kb),所以1-2k+3-k=0,解得k=43.考点二平面向量的综合应用6.(苏教必4,二,5,变式)在ABC中,有如下命题,其中正确的是.AB-AC=BC;AB+BC+CA=0;若(AB+AC)(AB-AC)=0,则ABC为等腰三角形;若ABBC0,则ABC为锐角

8、三角形.答案7.(苏教必4,二,5,变式)如图,ABC是边长为23的等边三角形,P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则(APBP)min=.答案18.(苏教必4,二,5,变式)如图所示,点O为ABC的外心,以OA、OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC、OD为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为H.(1)若OA=a,OB=b,OC=c,OH=h,用a、b、c表示h;(2)证明AHCB;(3)若ABC中,BAC=60,ABC=45,外接圆的半径为R,用R表示|h|.解析(1)由向量加法的平行四边形法则可得OD=OA+OB=a+b,OH=OC+OD=c+a+b,h=a+b+c.(2)

9、证明:点O是ABC的外心,|OA|=|OB|=|OC|,即|a|=|b|=|c|.而AH=OH-OA=h-a=b+c,CB=OB-OC=b-c,AHCB=(b+c)(b-c)=|b|2-|c|2=0.AHCB.(3)在ABC中,O是外心,BAC=60,ABC=45,BOC=120,AOC=90.于是AOB=150.|h|2=hh=(a+b+c)(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2ac+2bc=3R2+2|a|b|cos 150+2|a|c|cos 90+2|b|c|cos 120=3R2-3R2-R2=(2-3)R2.|h|=6-22R.9.(2017江苏镇江一模,15)已

10、知向量m=(cos ,-1),n=(2,sin ),其中0,2,且mn.(1)求cos 2的值;(2)若sin(-)=1010,且0,2,求角的值.解析(1)由mn得,2cos -sin =0,sin =2cos ,代入cos2+sin2=1,得5cos2=1,因为0,2,所以cos =55,则cos 2=2cos2-1=2552-1=-35.(2)由(1)可得sin =255,由0,2,0,2,得-2,2.因为sin(-)=1010,所以cos(-)=31010.所以sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=25531010-551010=22,因为0,2,所以=

11、4.B组20162018年模拟提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017江苏南京、盐城二模,11)在ABC中,BAC=120,AB=4.若点D在边BC上,且BD=2DC,AD=273,则AC的长为.答案3二、解答题(共15分)2.(2018江苏台东安丰高级中学月考)平面直角坐标系xOy中,已知向量AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),且ADBC.(1)若M(1,1),N(y+1,2),y0,2,求MNBC的范围;(2)若ACBD,求四边形ABCD的面积.解析(1)AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),BC=(x,y),因为AD

12、BC,所以(x+4)y-(y-2)x=0.即x+2y=0.MNBC=(x+1)y=(-2y+1)y=-2y2+y=-2y-142+18,y0,2,所以MNBC的取值范围是-6,18.(2)AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3),因为ACBD,所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2+4x-2y-15=0,由x+2y=0,x2+y2+4x-2y-15=0,解得x=2,y=-1,或x=-6,y=3,当x=2,y=-1时,AC=(8,0),BD=(0,-4).S四边形ABCD=12|AC|BD|=16,当x=-6,y=3时,AC=(0,4)

13、,BD=(-8,0),S四边形ABCD=12|AC|BD|=16.综上,四边形ABCD的面积为16.C组20162018年模拟方法题组方法平面向量与三角函数综合问题的解决方法(2017江苏南京模拟,16)已知向量a=(2cos ,sin2),b=(2sin ,t),0,2.(1)若a-b=25,0,求t的值;(2)若t=1,且ab=1,求tan2+4的值.解析(1)因为向量a=(2cos ,sin2),b=(2sin ,t),且a-b=25,0,所以cos -sin =15,t=sin2.由cos -sin =15得(cos -sin )2=125,即1-2sin cos =125,从而2sin cos =2425.所以(cos +sin )2=1+2sin cos =4925.因为0,2,所以cos +sin =75.所以sin =(cos+sin)-(cos-sin)2=35,从而t=sin2=925.(2)因为t=1,且ab=1,所以4sin cos +sin2=1,即4sin cos =cos2.因为0,2,所以cos 0,从而tan =14.所以tan 2=2tan1-tan2=815.所以tan2+4=tan2+tan 41-tan2tan4=815+11-815=237.