2019届高三数学课标一轮复习考点规范练： 41立体几何中的向量方法 .docx

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1、考点规范练41立体几何中的向量方法基础巩固组1.已知平面内有一点M(1,-1,2),平面的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面内的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)2.(2017陕西西安月考)如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1FDE,则有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=12EBD.E与B重合3.(2017四川成都调研)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的

2、位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BCAC,A=3,AC=4,AA1=4,M为AA1的中点,P为BM的中点,Q在线段CA1上,A1Q=3QC,则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为()A.3913B.21313C.23913D.13135.(2017浙江温州质检)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若ABBC,BP=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则x=,y=,z=.6.(2017浙江杭州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.7.(2017浙

3、江湖州模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为.能力提升组8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面9.(2017浙江镇海模拟)在直三棱柱A1B1C1-ABC中,BAC=2,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GDEF,则线段DF的长度的取值范围为()A.55,1B.55,1C.

4、255,1D.255,110.(2017浙江金华联考)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为2,A1AD=60,BAD=90,平面A1ADD1平面ABCD,则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A.34B.134C.3913D.39311.(2017浙江绍兴)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是线段CC1,BD上的点,R是直线AD上的点,满足PQ平面ABC1D1,PQRQ,且P,Q不是正方体的顶点,则|PR|的最小值是()A.426B.305C.52D.23312.如图,矩形CDEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直,AD=2,DE=3,

5、AB=4,EF=4EG,点M在线段GF上(包括两端点),点N在线段AB上,且GM=AN,则二面角M-DN-C的平面角的取值范围为()A.30,45B.45,60C.30,90)D.60,90)13.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和的值为.14.(2017浙江名校联考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,在面对角线A1D上取点M,在面对角线CD1上取点N,使得MN平面AA1C1C,当线段MN长度取到最小值时,三棱锥A1-MND1的体积为.15.三棱柱ABC-A1B1C1的底是边长为1的正三角形

6、,高AA1=1,在AB上取一点P,设PA1C1与面A1B1C1所成的二面角为,PB1C1与面A1B1C1所成的二面角为,则tan(+)的最小值是.16.(2017浙江温州联考)如图,在几何体SABCD中,AD平面SCD,BCAD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,SDC=120,F是SA的中点,E在SC上,AE=5.(1)求证:EF平面ABCD;(2)求直线SE与平面SAB所成角的正弦值.17.(2017课标高考)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱

7、PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.答案：1.A逐一验证法,对于选项A,MP=(1,4,1),MPn=6-12+6=0,MPn,点P在平面内,同理可验证其他三个点不在平面内.2.A分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),D1F=(0,1,-2),DE=(2,2,z),D1FDE=02+12-2z=0,z=1,B1E=EB.3.B分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,A1M=AN=23a,则Ma,2

8、3a,a3,N2a3,2a3,a,MN=-a3,0,23a.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),C1D1=(0,a,0),MNC1D1=0,MNC1D1.C1D1是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.4.C以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则由题意得A(0,4,0),C(0,0,0),B(43,0,0),M(0,4,2),A1(0,4,4),P(23,2,1),则CQ=14CA1=14(0,4,4)=(0,1,1),Q(0,1,1),AC=(0,-4,0),PQ=(-23,-1,0).设异面直

9、线PQ与AC所成角为,cos =|cos|=4413=113.sin =1-1132=23913,选C.5.407-1574由条件得3+5-2z=0,x-1+5y+6=0,3(x-1)+y-3z=0,解得x=407,y=-157,z=4.6.13以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设n=(x,y,z)为平面A1BC1的法向量,则nA1B=0,nA1C1=0,即2y-z=0,-x+2y=0,令z=2,则y=1,x=2,于是n=(2,1,2),D1C1=(0,2,0).设所求线面角为,则sin =|cos|=13.7.45如图,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1

10、,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,AD平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AEPD,又CD平面PAD,CDAE,从而AE平面PCD.AD=(0,1,0),AE=0,12,12分别是平面PAB、平面PCD的法向量,且=45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.8.B以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=

11、(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A1DEF=ACEF=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.9.A建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),E0,1,12,G12,0,1,F(x,0,0),D(0,y,0).由于GDEF,所以x+2y-1=0y0,12,DF=x2+y2=5y-252+15.当y=25时,线段DF长度的最小值是55;当y=0时,线段DF长度的最大值是1.而不包括端点,故y=0不能取.故选A.10.C取AD中点O,连接OA1,易证A1O平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,得B(2,-1,0),

12、D1(0,2,3),BD1=(-2,3,3),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设BD1与平面ABCD所成的角为,sin =|BD1n|BD1|n|=34,tan =3913.11.B如图,分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),设P(1,1,m)(0m1),BQBD=(01),Q(x0,y0,0),则(x0-1,y0,0)=(-1,1,0),x0=1-,y0=,Q(1-,0),PQ=(-,-1,-m).连接B1C,正方体ABCD-A1B1C1D1中,BCC1B1是正方形,AB平

13、面BCC1B1,B1CAB,B1CBC1,又ABBC1=B,B1C平面ABC1D1,PQ平面ABC1D1,B1CPQ,又B1C=(0,1,-1),B1CPQ=-1+m=0,=1-m,Q(m,1-m,0),PQ=(m-1,-m,-m),设R(0,n,0),则RQ=(m,1-m-n,0),PQRQ,PQRQ=m(m-1)-m(1-m-n)=0,即n=2-2m,R(0,2-2m,0),PR=(-1,1-2m,-m),|PR|=1+(1-2m)2+m2=5m2-4m+2=5m-252+65,当m=25时,|PR|的最小值是305.故选B.12.B如图建立空间直角坐标系,则由条件知A(2,0,0),G(

14、0,1,3),M(0,t,3)(1t4),由GM=AN可设N(2,t-1,0),则平面DNC的法向量为m=(0,0,1),设平面MDN的法向量为n=(x,y,z),由nDM=0,nDN=0,得ty+3z=0,2x+(t-1)y=0,令z=2t,则n=(3(t-1),-6,2t),cos=nm|n|m|=2t5t2-6t+9=29t2-6t+5.1t14,1,cos12,22,即4,3.二面角M-DN-C的平面角的取值范围为4,3.故选B.13.1以D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y

15、),B(1,1,1),B1E=(x-1,0,1),FB=(1,1,y),由于B1E平面ABF,所以FBB1E=(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.14.1如图所示,建立空间直角坐标系,从而可设M(m,0,m),N(0,n,3-n),MN=(-m,n,3-n-m),而平面ACC1A1的一个法向量是n=(1,1,0),MNn=0m=n,MN2=m2+n2+(3-n-m)2=2m2+(3-2m)2=6m2-12m+9=6(m-1)2+33,当且仅当m=1时,等号成立,此时VA1MND1=VNA1MD1=1312321=1,故填1.15.-8313作PP1A1B1,则PP1是三棱柱的高,过

16、P1作P1HA1C1,则PHP1=,设AP=x,BP=1-x(0x1),tan =23x,同理tan =23(1-x),tan(+)=233x(1-x)-4-8313当x=12时取等号.16.(1)证明 连接AE,DE,AC,AD平面SCD,DE平面SCD,ADDE,DE=AE2-AD2=1,又CD=SD=2,SDC=120,E是SC的中点,又F是SA的中点,EFAC,又EF平面ABCD,AC平面ABCD,EF平面ABCD.(2)解 在平面SCD内过点D作SD的垂线交SC于M,以D为原点,以DM为x轴,DS为y轴,DA为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,D(0,0,0),S(0,2,0),A(

17、0,0,2),C(3,-1,0),B(3,-1,1),SC=(3,-3,0),SA=(0,-2,2),SB=(3,-3,1),设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),则nSA=0,nSB=0,-2y+2z=0,3x-3y+z=0,令z=1得n=233,1,1,cos=nSC|n|SC|=-110323=-1020.设直线SE与平面SAB所成角为,则sin =|cos|=1020.17.(1)证明 取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=12AD,由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EFBC.四边形BCEF为平行四边形,CEBF.又BF平面P

18、AB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解 由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0),设M(x,y,z)(0x1),则BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,|z|(x-1)2+y2+z2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设PM=PC,则x=,y=1,z=3-3.由,解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去)或x=1-22,y=1,z=62.所以M1-22,1,62,从而AM=1-22,1,62.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则mAM=0,mAB=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos =mn|m|n|=105,因此二面角M-AB-D的余弦值为105.