2022年数学物理方法知识点归纳.docx

《2022年数学物理方法知识点归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学物理方法知识点归纳.docx（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章复述和复变函数当知道fz=ux,y+ivx,y中的 ux,y 时,名师归纳总结 1.5 连续如何求 vx,y. infz dz如函数fx在0z 的领域内（包括0z 本身）通过 C R 条件列微分方程其次章复变函数的积分已经单值确定,并且lim z z 0fz fz 0,2.2 解析函数的积分柯西定理： 如函数 fz 在单连区域D 内是解就称 fz 在0z 点连续；析的,就对于全部在这个区域内而且在两个公共端点A 与 B 的那些曲线来讲,积分1.6 导数B如函数在一点的导数存在,就称函数在该点fz dz的值均相等；可导；Afz=ux,y+i

2、vx,y的导数存在的条件柯西定理推论： 如函数 fz 在单连区域D 内解析,就它沿D 内任一围线的积分都等于i u 、xu 、yv 、xv 在点不仅存在而且 y零；fz dz0C连续；二连区域的柯西定理：如 fz 在二连区域DiiC-R条 件 在 该 点 成 立 ； C-R条 件 为解析, 边界连续, 就 fz 沿外境域线 逆时针方向 的积分等于fz 沿内境域线 逆时针方ux ,y v x ,y向的积分；xyn+1 连区域柯西定理：vx ,yu x ,y fz dzfz dzfz dz.xyei1i21.7 解析推论： 在 fz 的解析区域中,围线连续变形如函数不仅在一点是可导的,而且在该点的

3、时,积分值不变；领域内点点是可导的,就称该点是解析的；2.3 柯西公式解析的必要条件：函数fz=u+iv在点 z 的如 fz 在单连有界区域D 内解析, 在闭区域D 的边界连续, 就对于区域D 的任何一个内领域内 i u 、xu 、yv 、xv 存在；y点 a,有fa1ifz dz其中是境2za第 1 页,共 9 页iiC-R 条件在该点成立；界线；解析的充分条件： 函数 fz=u+iv 在领域内 i 2.5 柯西导数公式u 、xu 、yv 、xv 不仅存在而且连续；yfnzn .iCf1dn2ziiC-R 条件在该点成立；第三章级数1.8 解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数

4、：3.2 复变函数项级数2u+2u=0 外尔斯特拉斯定理：假如级数ukz在境x2y2k0由此可见解析函数的实部和虚部都是调界上一样收敛,那么和函数； 但是任意的两个调和函数作为虚实i 这个级数在区域内部也收敛,其值为Fz 两部形成的函数不肯定是解析函数,由于它ii 由它们的 m 阶导数组成的级数们不肯定满意CR 条件；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数；umz 在区域内也收敛,而且它们的和环形区域内的解析函数可展成双边幂级数kk0fz ckzak等于 Fmz；k3.3 幂级数 阿贝尔 Abel 定理： 假如幂级数c k1ifd称为 Laurant

5、系数ckzak在点 z0处收敛,就在任一圆2ak03.8 孤立奇点|z-a|=p|z0-a|,0p1 内,幂级数一样收敛,非孤立奇点 ：如函数 fz 在 z=a 点的无论多并且肯定收敛；么小的领域内,总有除z=a 以外的奇点,就达朗贝尔 D Alembert 判别法 :对于幂级数,z=a 是 fz的非孤立奇点；运算以下极限lim k|c k1zak1|.孤立奇点 ：如函数在 z=a 不行导 或无定义 ,而在去心领域0|z-a| 解析,就 z=a 是 fz|c kzak|的一个孤立奇点；i当极限值小于1 时,幂级数在点z 处肯定3.9 奇点分类收敛 ii 当极限值大于1 时,幂级数在点z有限远奇

6、点极限性质洛朗级数处发散 iii 当极限值等于1 时,敛散性不能可去奇点limfz= 有限不含负幂项判定；值柯西判别法： 运算极限lim kk|c kza k|极点limfz= 含有限个负幂项当极限值小于1 时,幂级数在点z 处肯定收本性奇点limfz= 无定含无限个负敛;而当极限值大于1 时,幂级数在点z 处发值幂项散；极限值等于1 时,不能判定无穷远点极限性质洛朗级数3.4 解析函数与幂级数定理 ：幂级数的和是收敛圆内的解析函数；可去奇点limfz= 有限值不含正幂项Taylor 级数 ：fz n0fna zan极点limfz= 含有限个正幂项n .本性奇点limfz= 无定值含无限个正幂

7、ez1zz2.zn.项第四章留数.2n .4.1 柯西公式的另一种形式sinzz3 zz5.-1nz2n1一阶极点留数 ：如 gz在单连区域 D 内解析,1 .a 在 D 内,在 D 内作一围绕点a 的围线 C；.3.52 n令 fz=gz/z-a 就有：cosz1z2z4.2 zn.fz dz2iResfa2 .42 n.CResfalim z azafz ln1z zz2z3.-1nzn1一阶极点留数的一种算法: 23n1假如fzz 那么Res faa3.5 解析函数与双边幂级数za定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习

8、资料 - - - - - - - - - m 阶极点的留数公式dm1zamfz | za留意需要符合条件lim zfz 0Resfam11 .m dz1fx imx edx2ifzeimz 在上半平面的4.2 用级数分析来分析留数定理奇点留数之和名师归纳总结 fzckza k4.7 围线积分方法ax第 3 页,共 9 页k泊松积分：0eax2cos bxdx1aeb2/4就有 Resf ac12多连区域的柯西定理:假如在围线C 的内部菲涅尔积分：包含 n 个孤立奇点, 利用多连区域的柯西定0cosx2dx0sinx 2dx12理就有fz dz2inResfa k2Ck1第六章积分变换4.3 无

9、限远点的留数6.1 傅里叶级数Resf1ifz dzc1三角函数系的正交性22 周期 - 绽开定理：定理 1：假如当 z时,如zfz0,就fx C0m1CmcosmxDmsinmx Resf=0 nC01fd定理 2：ResfakResf0k124.4 留数定理运算型积分C m1fcos md第一种类型：2R cos,sind型积分D m1fsinmd0令zieddz/iz任意周期 2l- 绽开定理：cos1zz1sin1zz122fx C0m1CmcosmlxDmsinml2R cos,sind| z |1fz dz0C01llfd在单位圆内各个奇点的留数之和2lCm1llfcosmd其次种

10、类型：fx dx型积分llDm1llfsinmd留意,需要满意条件lim zzfz 0ll6.2 傅立叶积分fx dx2i在上半平面的奇点留数之fx 0C kcos kxD ksinkx dk和（界限上的乘以0.5）Ck1fcoskd第三种类型：fx imx edx型积分Dk1fsinkd- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Ck 是偶函数, Dk 是奇函数 导数的象函数：名师归纳总结 傅里叶公式f2kdtpp0.n1-0令 fk1CkiDkdt2dntpnppn10pn20就fx fk e ikxdkdtn fk1ffik ed积分的象函数2ttdtp

11、fkF x f k0p第 4 页,共 9 页fxF1tnn .16.3 傅立叶变换pn线性定理象函数的位移定理：FC 1f1C2f2C 1Ff1C2Feattpa由此可得导数定理eatcostpp2a2FfxikFfxaFdnfx iknFfxeatsintpa22dxn积分定理Fxfd1Ffxeatchtpp2a2 f 2x0ika推迟定理Ffxx0eikx 0Ffx eatshtpa22（用来求逆变换）相像定理推迟函数的象函数Ffax1 fkaa tH tp卷积定理Ff 1f2x d2 f 1k tHtepp6.4 拉普拉斯变幻卷积定理Lt12t dL 1 tL 2 tp 0 teptdt

12、0象函数的导数留意当 t1 时O xJ mx 2cos xm4Pn1x -Pn1x =2n+1 Pnx n2具有轴对称性质的拉普拉斯方程M 阶贝塞尔方程的本征问题名师归纳总结 2u r,2u r,0ddR 22 mR 02第 8 页,共 9 页ur,Rrdd自然边界条件R rk|0|000的解非本征函数本征函数本征函数边界条件：rl rl1 1,m=0 lPcosdRR b0dur,l0alrlb lr11P lcos本征函数：R nJ mnl第十一章贝塞尔函数本征值：Jmb Jmb 贝塞尔函数正交性：bJmnJmjdv 阶贝塞尔函数v 阶贝塞尔方程的特解00Jvxk0k.1k1 xv2k模：

13、N2bJ2ndvk2nb n0mJ-vx k0k .1 k1xv2k2 bJmn b 212 m2Jmvk2anb 递推关系绽开定理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ffnJmnfnn1fJmnd1bN2 n0贝塞尔函数的性质母函数：exz1Jmx z m2zm加法公式：JmabkJkaJmkb平面波用柱面波绽开公式eikrcosmJmkrimim emeimeikrsinJmkr1 meikrsinJmkrim em积分表达式Jmx1eixsinimdd21cos mxsin2围线积分表达式名师归纳总结 Jmx1ivxz1dz第 9 页,共 9 页e2z2zm1- - - - - - -