立体几何几个经典编辑题型(理科)(推荐).doc

-! 立体几何 1、如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点， （1）证明：平面 （2）证明：平面 （3）求直线与平面所成角的正切值 2、（本题满分15分）如图，平面平面， 是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， ，的中点，，． （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离． 3、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II) 求平面AMD与平面CDE所成角的大小； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 4.如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）中，，D是的中点，点E在上，且。 （I） 证明平面平面 （II） 求直线和平面所成角的正弦值。 B E C A D P 5在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离． 6、如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。 （Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为； （Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。 7、如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积． （1）求的表达式； （2）当为何值时，取得最大值？ （3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值． 8、 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值； 若不存在，试说明理由。 答案： 立体几何与空间向量解答题(理科) 1、【解】 证明：设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又 ,所以. （2）证明：因为，，所以 由（1）知，,故 (3)解：由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。 由, 在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。 2、证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，. 则 ，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 （II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为． 3、分析：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。 【解】方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60。 （II）因为 故平面AMD与平面CDE所成角的大小为. （III） 由（I）可得， 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系， 点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为. （II）证明： ， （III） 又由题设，平面的一个法向量为 【点评】纯几何方法求角：求角的思路一般是将空间角的计算问题转化为平面角的计算问题，求异面直线所成的角时，需要选点平移，一般是设法在其中一条直线 上选出一个恰当的点来平移另一条直线，然后计算其中的锐角或直角；线面角的计算关键是找出直线在平面上的射影，通常需要由直线上的某一点向平面作垂线，求出的应当是一个锐角或直角；面面角的计算通常找到平面角或面积射影定理来完成，找平面角的方法有定义法、三垂线定理法(利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。)、垂面法，计算出来的角是可以是锐角、直角或钝角.向量法求角给解题带来了极大的方便，其规律见后面的【温馨提示】。 4、【解】（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面，又DE平面ABC，所以DEAA. 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。 （2） 解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 设平面ABC的法向量为,则有 ,解得x=-y， z=-， 故可取n=(1，-，)。 所以，===。 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。 【点评】本题主要考查面与面之间的关系和线面关系，同时考查空间想象能力和推理运算能力。本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，用公式计算=直线，P面，是与平面所成的角，是平面的法向量，有） 6、【解】(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，则＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC， ∴ 即 ，即点N的坐标为(, 0, 1)， 从而N到AB、AP的距离分别为1，. (2) 设N到平面的距离为，是平面的法向量，则d＝ ＝. 〖例9〗如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。 （Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为； （Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。 【分析】本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。 9、【解】法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG, 故OG∥PC，所以，OG＝PC＝. 又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP与平面所成的角. 在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝. 所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为. （Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。 〖例10〗如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积． （1）求的表达式； （2）当为何值时，取得最大值？ （3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值． 10、【解】（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，， （）； （2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值； （3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=， ， 在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为； 【点评】本题采用了函数思想在立体几何中的应用。 〖例11〗 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值； 若不存在，试说明理由。 11、【解】法一： （Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得. (Ⅱ)设正方形边长，则。 又，所以, 连，由（Ⅰ）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。 由,知,所以, 即二面角的大小为。 （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使 由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故. 解法二：（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 ， 故，从而 (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （Ⅲ）在棱上存在一点使.由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且 设 则 而 ，即当时， 而不在平面内，故。 【点评】解决存在性问题一般是两种思路，一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或计算如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，则说明其不存在。