立体几何题型的解题技巧窍门适合情况总结提高用.doc

-! 第六讲 立体几何新题型的解题技巧 考点1 点到平面的距离 例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． A B C D （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． Q B C P A D O M 例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD； (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角； (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 考点2 异面直线的距离 例3 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离. 考点3 直线到平面的距离 例4． 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离. B A C D O G H 考点4 异面直线所成的角 例5（2007年北京卷文） 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点． （I）求证：平面平面； （II）求异面直线与所成角的大小． 例6．（2006年广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角. 考点5 直线和平面所成的角 例7.（2007年全国卷Ⅰ理） 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小． 考点6 二面角 例8．（2007年湖南卷文） A B C Q P 如图，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为． （I）证明； （II）求二面角的大小． 例9．( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD，AD=CD=2AB, E、F分别为PC、CD的中点. （Ⅰ）试证：CD平面BEF； （Ⅱ）设PA＝kAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围. 考点7 利用空间向量求空间距离和角 例10．（2007年江苏卷） 如图，已知是棱长为的正方体， 点在上，点在上，且． （1）求证：四点共面； （2）若点在上，，点在上， ，垂足为，求证：平面； （3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求． 例11．（2006年全国Ⅰ卷） 如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN （I）证明ACNB； （II）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值. 考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断. 例12 . 如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大. B A C D E F G H I J (A、B、C) D E F G H I J 例13 .如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为（ ） A、90 B、60 C、45 D、0 A B CA D A1 B1 C1 D1 例14.长方体ABCD－A1B1C1D1中， ① 设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成α、β、角 求证：cos2α＋cos2β＋cos2＝1 ② 设D1B与自D1出发的三个面成α、β、角，求证： cos2α＋cos2β＋cos2＝2 考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 例15. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a， A1在底面△ABC上的射影O在AC上A1 B1 C1 A B C D O ① 求AB与侧面AC1所成角； ② 若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积. A B C M N K L A B C M N K L 例16. 等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30，则四棱锥A—MNCB的体积为 （ ） A、 B、 C、 D、3 例17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60 P A H E D B C ① 求四棱锥的体积； ② 求二面角P－BC－D的大小. R r A O1 O 例18 .（2006年全国卷Ⅱ）已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的表面积的比值为，则线段OO1与R的比值为 . 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上， 且BD=1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为，则的值为 （ ） C B A D A. B. C. D. 2．直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面 内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（ ） A. 最小值，最大值 B. 最小值，最大值 C. 最小值，无最大值 D. 无最小值，最大值 3．在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（ ） A. B. C. D. B A C D D1 C1 B1 A1 4．如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2， ，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成 的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5．已知在中，AB=9，AC=15，，它所在平面外一点P到三顶点的距离都是14，那么点P到平面的距离为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 A D B A D1 C1 B1 A1 M N 6．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（ ） A. B. C. D. 2 7．将，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成的二面角，则MP与NQ间的距离等于( ) A. B. C. D. 8．二面角的平面角为，在内，于B，AB=2,在内，于D，CD=3,BD=1, M是棱上的一个动点，则AM+CM的最小值为( ) A. B. C. D. 9．空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a, 动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为( ) A. B. C. D. 10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ） A. B. C. D. 11．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在点P，使，则棱AD的长的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 12．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（ ） D C B A E D1 A1 C1 B1 A. B. C. D. 二、填空题 1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题： ① E到平面ABC1D1的距离是； ② 直线BC与平面ABC1D1所成角等于； ③ 空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成 面积最小值为； ④ BE与CD1所成的角为 A B D C P E A1 D1 C1 B1 2．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1 上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满 足___________时，体积恒为定值（写上 你认为正确的一个答案即可） 3．边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD 折起,使得折后二面角B-AD-C为60,则点A到 BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离 为__________. 4．在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳， AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm 的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条 绕过O的铅垂线旋转60，则木条比原来升高了 _________. 5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： ①3；②4；③5；④6；⑤7. 以上结论正确的为 . （写出所有正确结论的编号） O1 O2 O3 6. 如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m3. 三、解答题 1． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM=B1M，又CM⊥AC1; （1） 求证：CM⊥C1D; （2） 求AA1的长. 2． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上. (1) 求F在何处时，EF⊥平面PBC； (2) 在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由； (3) 在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角. 3．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=． （1）求证BCSC； （2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的 大小． 4．在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使D到．记面AC为a,面ABC为b．面BC为g． （1）若二面角a-AC-b为直二面角（如图二），求二面角b-BC-g的大小; （2）若二面角a-AC-b为60（如图三），求三棱锥-ABC的体积． 5．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点． （1）求证AM//平面BDE； （2）求二面角A-DF-B的大小； （3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与 BC所成的角是60．