2022年旋转体的计算六年级奥数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第七讲 旋转体的运算分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、始终角边、垂直于底 边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体 分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）旋转轴叫做它们的轴,在轴上这条边的长度叫做它们的高,垂直于 轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面,不垂直于轴的边旋转而成的 曲面叫做它们的侧面,这条边无论旋转到什么位置,都叫做旋转体的母 线圆柱的侧面绽开后是个矩形,它的宽是圆柱的母线,长是圆柱底面 的周长由此可得S圆柱侧2 rl,其中 l 是圆柱侧面的母线长, r 是底面半径（下左图）圆锥的侧面绽开图

2、是一个扇形,如上页下角图这个扇形的半径是圆 锥的母线,弧长是圆锥底面的周长,于是可得其中 l 是圆锥侧面的母线, C 是圆锥底面的周长, r 是圆锥底面的半 径圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的,所以圆台的 侧面绽开图是两个扇形的差,常叫扇环形这个扇环形的宽是圆台侧面 的母线,外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长,于是可 得名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载其中 l 是圆台侧面母线长,C 上、 C 下分别是圆台上底和下底周长,r 上、 r 下分别是圆台上底和下底的半径（如下图

3、）圆柱的体积等于它的底面积S 与高 h 的乘积,即V圆柱Sh r 2h,其中 r 为圆柱底面的半径圆锥的体积等于它的底面积圆台的体积是S 与高 h 的积的三分之一,其中, r 上 、r 下分别是上底和下底的半径例 1 甲、乙两个圆柱形水桶,容积一样大,甲桶底圆半径是乙桶的1.5 倍,乙桶比甲桶高25 厘米,求甲、乙两桶的高度分析与解答 如下图由题意,设乙桶半径为r,就甲桶半径为 1.5r；甲桶高度为 h,就乙桶高度为 h25,就 （1.5r）2h r 2（h25）,2.25r 2hr 2（h25）,2.25hh25,h20（厘米）, h2545（厘米）名师归纳总结 - - - - - - -第

4、 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载答：甲桶高度为 20 厘米,乙桶高度为 45 厘米例 2 一块正方形薄铁板的边长是22 厘米,以它的一个顶点为圆心,边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形,用这块扇形铁板围成一个圆锥筒,求它的容积（结果取整数部分）筒底的周长 2 r11 ,解得 r5.5 厘米由于母线长是 22 厘米,所以圆锥的高答：所求圆锥筒的容积约为 674 立方厘米为 2 米,圆锥的高为 1 米,这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重 720 公斤,结果取整数部分）？答：这堆谷子重约 306 公斤例 4 有一个倒圆锥形的容器,它的底面半

5、径是5 厘米,高是 10厘米,再把石子全部拿出来,求此时容器内水面的高度名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载解： 如上页图,设石子取出后,容器内水面高度为 x 厘米,就倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积依据体积公式有x 35 2 10196） 454 427 83 3 2 3,x6答：石子取出后,容器内水面的高为 6 厘米例 5 有一草垛,如下图,上部是圆锥形,下部是圆台形,圆锥的高为 07 米,底面圆周长为6.28米,圆台的高为1.5 米,下底面周长为4.71 米假如每立方米草约重部分）分

6、析与解答圆锥的体积：150 公斤,求这垛草的重量（结果取整数圆台上底半径： r 上r1 米,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载草垛体积为：V圆锥V圆台0.733.634.36（立方米）,故草垛的重量为： 150 4.36654（公斤）答：草垛约重 654 公斤例 6 如下右图,在长为 35 厘米的圆筒形管子的横截面上,最长直线段为 20 厘米,求这个管子的体积分析 如上左图, AB 是截面圆环的最长直线段,O 是截面圆环的圆心过 O 作 AB 的垂线,垂足是 C,以 O 为圆心,以 OC 为半径作

7、圆,即管截面的内圆周连结 AO,依据勾股定理有： AO 2AC 2CO 2,AO 2OC 2AC 2,同理 AO 2OC 2BC 2,S圆环 AO 2 OC 2 （ AO 2OC 2）解： 先求出管子横截面的圆环面积为就管子的体积为： r 2 外径 h r2 内径 h圆环面积h100 353500 （立方厘米）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载答：这个管子的体积为 3500 立方厘米例 7 一个长方形的长为 16 厘米,宽为 12 厘米以它的一条对角线 为轴旋转此长方体,得到一个旋转体求这个旋转体

8、的体积（结果中 保留 ,即不用近似值代替 ）分析与解答 如下图,记这个长方形为 ABCD ,对角线 AC 的中点为 O过 O 作 EF 垂直 于 AC,分别交 BC、 AD 于 E、 F由对称性知道：EOOF设 P 为 AO 上的任一点,过 P 作 AO 的垂线,分别交折线 ABE 和线 段 AF 于 M 和 N,那么 MPPNABEO 绕 因此,四边形 ABEF 绕 AC 旋转得到的立体即为四边形AC 旋转得到的立体同样,四边形CDFE 绕 AC 旋转得到的立体即为四边形 CDFO 绕 AC 旋转得到的立体并且,由于对称性,四边形 ABEO与 CDFO 是完全一样的,因此由它们绕AC 旋转得

9、到的立体也是完全一样的这样,这两个立体的体积相等所以,长方形 ABCD 绕 AC 旋转得到的立体的体积等于四边形 倍ABEO 绕 AC 旋转得到的立体的体积的两记由长方体 ABCD 绕 AC 旋转得到的立体为 W,由四边形 ABEO 绕AC 旋转得到的立体为U,由 ABB （B在 AO 上, BB垂直于 AO）、四边形 BEOB绕 AC 旋转得到的立体分别记为 U1、U2明显, U1 与 U2有一条公共的边界（由 BB旋转而成的圆）,且 U1 与 U2 合成 U因此 Vw2VU2（VU1VU2）由 AB 12 厘米, BC16 厘米及勾股弦定理得：名师归纳总结 - - - - - - -第 6

10、 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载BB9.6 厘米在直角三角形 ABB 中再用勾股弦定理,得AB7.2 厘米,所以 BOAO AB2.8 厘米U1是一个圆锥,底面半径BB9.6 厘米,高 AB7.2 厘米,所以U2 是一个圆台,它是大、小两个圆锥的差,大圆锥以 BB为底面半径, CB为高,小圆锥以 EO 为底面半径, CO 为高,简单知道CBCOOB12.8厘米,由 EO：OCAB：BC 可以求出 EO7.5 厘米因此所以853.8 （立方厘米）名师归纳总结 答：所求的旋转体体积为853.8 立方厘米第 7 页,共 7 页- - - - - - -