2019版高考数学（文科 课标版）一轮复习题组训练：第10章第1讲 椭圆.docx

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1、第一讲椭圆题组1椭圆的定义和标准方程1.2015广东,8,5分文已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.92.2013新课标全国,10,5分已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1 C.x227+y218=1D.x218+y29=13.2014安徽,14,5分设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0bb0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(3,12)在椭

2、圆E上.()求椭圆E的方程;()设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.6.2015北京,19,14分已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.()求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);()设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQM=ONQ?若存在,求点Q坐标;若不存在,说明理由.题组2椭圆的几何性质7.2017浙江,2,4分椭圆x29+

3、y24=1的离心率是()A.133B.53C.23D.598.2017全国卷,12,5分文设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)9.2016全国卷,12,5分文已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3410.2015福建,11,5分文已知椭圆

4、E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.(0,32B.(0,34C.32,1)D.34,1)11.2013新课标全国,5,5分文设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.36B.13C.12D.3312.2015浙江,15,4分文椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离

5、心率是.13.2017天津,20,14分文已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为b22.()求椭圆的离心率;()设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.14.2016浙江,19,15分如图10-1-1,设椭圆x2a2+y2=1(a1).()求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);()若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆

6、离心率的取值范围.图10-1-115.2015重庆,21,12分如图10-1-2,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.()若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;()若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.图10-1-2A组基础题1.2018湖北八校联考,6如图10-1-2,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()图10-1-2A.x236+y216=1 B.x240+y215=1 C.x249+y224=1 D

7、.x245+y220=12.2018长郡中学选拔考试,5已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)与圆D:x2+y2-2ax+316a2=0交于A,B两点,若四边形OADB(O为原点)是菱形,则椭圆C的离心率为()A.13 B.12 C.32D.623.2018惠州市二调,10设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为()A.514 B.513 C.49D.594.2017合肥市高三二检,8已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,满足PF2F1F2,点Q在线段P

8、F1上,且F1Q=2QP.若F1PF2Q=0,则e2=()A.2-1B.2-2C.2-3D.5-25.2018长春市高三第一次质量监测,20已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E(3,32).(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若AF1=F1B,且2b0)的离心率为32,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON=54,求原点O到直线l的距离的取值范围.B组提升题7.2018南宁市摸底联考,10已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的

9、一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,且弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是()A.12 B.22 C.32 D.558.2018贵阳市高三摸底考试,12椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线交C于P,Q两点,若cosPAQ=35,则椭圆C的离心率e为()A.12 B.22 C.33 D.239.2017石家庄二模,11已知动点P在椭圆x236+y227=1上,若点A的坐标为(3,0),点M满足|AM|=1,PMAM=0,则|PM|的最小值是()A.2B.3C.22D.3 10.2017甘肃二诊,20已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(

10、ab0)的顶点到直线l:y=x的距离分别为62,22.(1)求椭圆C的离心率;(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN分别与圆O交于点M,N,求PMN面积的最大值.答案1.B由4=25-m2(m0),得m=3,故选B.2.D因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=12(x-3),代入椭圆方程x2a2+y2b2=1,消去y,得(a24+b2)x2-32a2x+94a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为32a22(a24+b2)=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,故选D.3.x2+3y22=1设点A在点B上方,F

11、1(-c,0),F2(c,0),其中c=1-b2,则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|,可得AF1=3F1B,故-2c=3(x0+c),-b2=3y0,即x0=-53c,y0=-13b2,代入椭圆方程可得25(1-b2)9+19b2=1,解得b2=23,故椭圆方程为x2+3y22=1.4.()设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.()设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率k

12、DE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2,所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.5.()由已知,得a=2b.又椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点P(3,12),所以34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是x24+y2=1.()设直线l的方程为y=12x+m(m0),A(x1

13、,y1),B(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得-2m2.由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,所以M点的坐标为(-m,m2),直线OM的方程为y=-12x,由方程组x24+y2=1,y=-12x,得C(-2,22),D(2,-22)或C(2,-22),D(-2,22).所以|MC|MD|=52(-m+2)52(2+m)=54(2-m2).又|MA|MB|=14|AB|2=14(x1-x2)2+(y1-y2)2=516(x1+x2)2-4x1x2=5164m2-4(2m2-2)

14、=54(2-m2),所以|MA|MB|=|MC|MD|.6.()由题意得b=1,ca=22,a2=b2+c2.解得a2=2.故椭圆C的方程为x22+y2=1.设M(xM,0).因为m0,所以-1n1.易知直线PA的方程为y-1=n-1mx,所以xM=m1-n,即M(m1-n,0).()因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(xN,0),则直线PB的方程为y-1=-n+1mxN,所以xN=m1+n.“存在点Q(0,yQ)使得OQM=ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ)使得|OM|OQ|=|OQ|ON|”,即yQ满足yQ2=|xM|xN|.因为xM=m1-n,xN=m1+n,m22+

15、n2=1,所以yQ2=|xM|xN|=m21-n2=2.所以yQ=2或yQ=-2.故在y轴上存在点Q,使得OQM=ONQ.点Q的坐标为(0,2)或(0,-2).7.B根据题意知,a=3,b=2,则c=a2-b2=5,椭圆的离心率e=ca=53,故选B.8.A依题意,得3mtanAMB2,0m3,所以3mtan60,0m3,解得0m1或m9.故选A.9.A设E(0,m),则直线AE的方程为-xa+ym=1,由题意可知M(-c,m-mca),(0,m2)和B(a,0)三点共线,则m-mca-m2-c=m2-a,化简得a=3c,则C的离心率e=ca=13. 故选A.10.A设椭圆的左焦点为F1,半焦

16、距为c,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于45,即4b545,b1,所以b21,所以a2-c21,即4-c21,解得0c3,所以0ca32,所以椭圆的离心率的取值范围为(0,32.故选A.11.D解法一由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=3m,故离心率e=ca=2c2a=|F1F2|PF1|+|PF2|=3m2m+m=33.故选D.解法二由PF2F1F2可知

17、P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=b2a,所以|PF2|=b2a.由PF1F2=30可得|F1F2|=3|PF2|,故2c=3b2a,变形可得3(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得3(1-e2)=2e,解得e=33或e=-3(舍去).故选D.12.22设左焦点为F1,由F关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,得|OQ|=|OF|,又|OF1|=|OF|,所以F1QQF,不妨设|QF1|=ck,则|QF|=bk,|F1F|=ak,因此2c=ak.又2a=ck+bk,由以上二式可得2ca=k=2ab+c,即ca=ab+c,即a2=c2+bc,所以b=c,e=22.13.()

18、设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.因为0e0),则直线FP的斜率为1m.由()知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2).由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+(3cm+2)2=(3c2)2,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.(ii)由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由(i

19、)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得点P(c,3c2),进而可得|FP|=(c+c)2+(3c2)2=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面积为12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,

20、得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以a=4,b=23,所以椭圆的方程为x216+y212=1.14.()设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为MN,由y=kx+1,x2a2+y2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-2a2k1+a2k2.因此|MN|=1+k2|x1-x2|=2a2|k|1+a2k21+k2.()假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由()知,|AP|=2a2|k1|1+k121+a2

21、k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,故2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,所以(k12-k22)1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0.由于k1k2,k1,k20得1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,因此(1k12+1)(1k22+1)=1+a2(a2-2),因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a2.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2,由e=ca=a2-1a,得所求离心率的取值范围为0|PF2|,得x00,从而|PF1|2

22、=(aa2-2b2c+c)2+b4c2=2(a2-b2)+2aa2-2b2=(a+a2-2b2)2.由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,得|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此(2+2)|PF1|=4a,即(2+2)(a+a2-2b2)=4a,于是(2+2)(1+2e2-1)=4,解得e=121+(42+2-1)2=6-3.图D 10-1-1解法二连接QF1,如图D 10-1-1,由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+

23、|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此,4a-2|PF1|=2|PF1|,|PF1|=2(2-2)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a,由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=ca=|PF1|2+|PF2|22a=(2-2)2+(2-1)2=9-62=6-3.A组基础题1.C由题意可得c=5,设右焦点为F,连接PF,由|OP|=|OF|=|OF|知,PFF=FPO,OFP=OPF,

24、PFF+OFP=FPO+OPF,FPO+OPF=90,即PFPF.在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=|FF|2-|PF|2=102-62=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,椭圆C的方程为x249+y224=1,故选C.2.B由已知可得圆D:(x-a)2+y2=1316a2 ,圆心D(a,0),则菱形OADB对角线的交点的坐标为(a2,0),将x=a2代入圆D的方程得y=3a4.不妨设点A在x轴上方,即A(a2,3a4),代入椭圆C的方程可得14+9a216b2=1,所以34a2=b2=a2-c2,解

25、得a=2c,所以椭圆C的离心率e=ca=12.故选B3.B由题意知a=3,b=5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可得PF2x轴,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2|PF1|=513,故选B.4.C因为F1PF2Q=0,所以F2QPF1,易知F2QF1PF2F1,所以|F1Q|F1F2|=|F1F2|F1P|,即|F1Q|F1P|=|F1F2|2.因为F1Q=2QP,所以|F1Q|=23|F1P|,所以23|F1P|2=|F1F2|2=4c2,即|F1P|=6

26、c,在RtPF1F2中,由勾股定理可得|PF2|=2c.由椭圆定义可知,|PF1|+|PF2|=6c+2c=2a,所以e=ca=26+2=6-22,所以e2=2-3,故选C.5.(1)根据题意,设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则2a=|EF1|+|EF2|=4,a2=b2+c2,c=1,解得a=2,c=1,b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)根据题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k0),联立方程,得y=k(x+1),x24+y23=1,消去x,得(3k2+4)y2-6ky-9=0,=144k2+1440.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+

27、y2=6k3+4k2,y1y2=-9k23+4k2,又AF1=F1B,所以y1=-y2.把代入得y1=-6k(1-)(3+4k2),y2=6k(1-)(3+4k2),并结合可得y1y2=-(6k)2(1-)2(3+4k2)2=-9k23+4k2,则(1-)2=43+4k2,即+1-2=43+4k2.因为23,所以12+1-243,即1243+4k20,解得00,化简得m24k2+1,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOMkON=54,则y1y2x1x2=54, 即4y1y2=5x1

28、x2,4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km(-8km4k2+1)+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=54,由得0m265,120k254.原点O到直线l的距离d=|m|1+k2,d2=m21+k2=54-k21+k2=-1+94(1+k2).又120k254,0d287,0d2147.原点O到直线l的距离的取值范围是0,2147).B组提升题7.C设直线x-y+5=0与椭圆x2a2+y2b2=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,因为AB的中点是M(-4,

29、1),所以x1+x2=-8,y1+y2=2.易知直线AB的斜率k=y2-y1x2-x1=1.因为x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,所以y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2,所以b2a2=14,于是椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=32,故选C.8.A根据题意可取P(c,b2a),Q(c,-b2a),所以tanPAF=b2aa+c=b2a2+ac=a2-c2a2+ac=a-ca=1-e.因为cosPAQ=cos 2PAF=cos2PAF-sin2PAF=cos2PAF-

30、sin2PAFcos2PAF+sin2PAF=1-tan2PAF1+tan2PAF=1-(1-e)21+(1-e)2=35,所以5-5(1-e)2=3+3(1-e)28(1-e)2=2(1-e)2=14.又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1),所以1-e=12,解得e=12.故选A.9.C由|AM|=1可知点M的轨迹是以点A为圆心,1为半径的圆,过点P作该圆的切线PM,则PMAM=0,|PA|2 =|PM|2 +|AM|2,得|PM|2 =|PA|2 -1,所以要使|PM|取得最小值,需使|PA|取得最小值,而|PA|的最小值为6-3=3,此时点P为椭圆右顶点,且|PM|=22,故选C.10.

31、(1)由直线l的方程知,直线l与两坐标轴的夹角均为45,故长轴端点到直线l的距离为2a2,短轴端点到直线l的距离为2b2,由2a2=62,2b2=22,得a=3,b=1,所以c=2.所以椭圆C的离心率e=ca=23=63.(2)设点P(xP,yP),则xP2+yP2=4.(i)若两条切线中有一条切线的斜率不存在,则xP=3,yP=1,另一条切线的斜率为0,从而PMPN.此时,SPMN=12|PM|PN|=12223=23.(ii)若切线的斜率均存在,则xP3,设过点P的椭圆的切线方程为y-yP=k(x-xP),代入椭圆方程,消去y并整理得(3k2+1)x2+6k(yP-kxP)x+3(yP-kxP)2-3=0.依题意=0,得(3-xP2)k2+2xPyPk+1-yP2=0.设切线PM,PN的斜率分别为k1,k2,从而k1k2=1-yP23-xP2=xP2-33-xP2=-1,即PMPN,线段MN为圆O的直径,则|MN|=4.所以SPMN=12|PM|PN|14(|PM|2+|PN|2)=14|MN|2=4,当且仅当|PM|=|PN|=22时,SPMN最大,最大值为4.综合(i)(ii)可得,PMN面积的最大值为4.