2022年由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法 .pdf

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1、1 由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法(宁波市北仑中学竺君祥315800) 已知递推数列求其数列通项公式，是一类常见的问题，也是教学中的一个难点.本文介绍几种运用数列的递推关系求数列通项公式的几种常用方法. 一迭加法可 化 为 型 如)(1nfaann的 递 推 数 列 ， 用 迭 加 法 求 其 通 项 公 式 . 且 通 项 公 式 为111)(nknkfaa证明：例 1： 已知数列na,其中11a，521naann，求它的通项公式. 解 ： 由 已 知 得521naann，则51212aa，52223aa，53234aa 5)1(21naann， 将 以 上)1(n个 式 子

2、 相 加 ， 得)1(5)1(321 21nnaan,故55)1(1nnnaan,于是5421nnaan,又11a即442nnan. 二叠乘法可化为型如)(1nfaann的递推数列，用叠乘法求其通项公式. 例 2： 已知数列na,其中11a，nnnaa51，求它的通项公式. 解：由已知得nnnaa51,则512aa，2235aa，3345aa， ,115nnnaa, 将以上)1(n个式子相乘，得2)1()1(321155nnnnaa，又11a,故2)1(5nnna. 三：差分法可化为型如)()(1ngakfnkk的递推数列，用差分法求其通项公式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

3、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 2 例 3： 已知数列na满足nnnaaaaan243212432)(Nn，求数列na的通项公式 . 解：由已知nnnaaaaan243212432， 得，当1n时，31a；当2n时,) 1() 1( 2) 1(432214321nnanaaaan所以当2n时，由 - 得：14nnan，即nan14,当1n时也成立 .所以 ,数列na的通项公式为nan14. 四：化归法把递推数列的递推公式进行适当变形,化归为熟悉的等差或等比数

4、列,再求其通项公式 . 例 4： 已知数列na,其中11a，241nnaS，求它的通项公式. 解：因为 ,111Sa，所以 ,51241122aSSa, 因为)( 4) 24() 24(21211nnnnnnnaaaaSSa, 所以)2(22211nnnnaaaa, 从而222211nnnnaaaa,于是数列 12nnaa 是以3212aa为首项，公比为2 的等比数列 ,所以naannn(232211),从而432211nnnnaa,所以数列 nna2 是以首项为2121a，公差为43的等差数列 ,于是413) 1(43212nnann,所以22) 13(2413nnnnna. 例 5： 已知

5、数列na满足11a，),2(321Nnnaann，求这个数列的通项公式. 解：设)(1nnaa（,为待定常数），即1nnaa，则与已知的递推公式321nnaa相比较得3,2，所以2, 3，于是) 3(231nnaa，所以数列 3na是首项为431a，公比为2 的等比数列，于是1243nna)(Nn,即321nna,所以数列na的通项公式为321nna.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 3 五、数学归纳法用数学归纳法

6、求递推数列的通项公式是教学中的重点，其步骤是归纳、猜想、证明. 例 6：已知数列na中各项均正，且)1(21nnnaaS，求数列的通项公式. 解：)1(211111aaaS，又01a，所以11a；)1(2122212aaaaS, 即2212aa，又02a，所以122a；)1(21333213aaaaaS，即33122aa，又03a，所以，233a.,猜想：1nnan（)Nn. 证明：当1n时，由上述过程知结论正确，假设kn)1(k时结论成立，即1kkak，则1kn时，)1(21)1(211111kkkkkkkaaaaSSa)11(21)1(2111kkkkaakkkaakk)1(2111所以012121kkaka，又01ka，所以kkak11，即1kn时成立 . 由，知对任意Nn，1nnan.,所以数列na的通项公式为1nnan. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -