2022年柯西不等式各种形式的证明及其应用.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西Cauchy 在讨论数学分n1a k2kn1b k2kn1a b k2析中的“ 流数” 问题时得到的;但从历史的角度讲,该不等k式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,由于,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地 步; 柯西不等式特别重要,敏捷奇妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解;柯 西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用;一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中
2、,令n2,a 1a a2db b 1c b 2d,得二维形式a b 3a b n2a2b2c2d2acbd22 b 22 b 32 b na b 1 1a b 2等号成立条件:adbca/bc/扩展:2 a 12 a 22 a 32 a n2 b 1等号成立条件:a 1:b 1a 2:b 2an:b n当a i0 或b i0 时,a i和 都等于 ,i不考虑a i:b i1,2,3,n二维形式的证明:a2b2c2d2a b c d2Rabcd2 b c22 a c22 b d22 a d22 b c222 a c22abcd2 b d22 a dacbd2adbc2acbd2等号在且仅在adb
3、c0即ad bc 时成立三角形式名师归纳总结 a22 bc2d2bcac2bd2第 1 页,共 11 页等号成立条件:ad三角形式的证明:- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2b2c2d22a2b2c2d22a2b2c2d2a2b2c2d22ac2bdc2d2注: 表示肯定值a22acc2b2-2bdd2ac2bd2ac2b2d两边开根号,得a2b向量形式,=a a 2,a3,an,b b b 3,b nnN n2L2 b n等号成立条件:为零向量,或=R向量形式的证明:ur令 m = a a a 3 , Lur rm n a b 1 1 a b 2,
4、a n,r nb b b 3, L , b nur rm n cosur r m na b 3La b nur r m n2 b 22 b 3Q2 a 12 a 2ur rm n2 a 3L2 a n2 b 12 b 22 b 3L2 b ncoscos12 a n2 b 1ab 1 1a b 2 2a b 3 3La b n n2 a 12 a 22 a 3L一般形式nak2nb k2na kb k2a 2:b 2an:b n,或ai、b i均为零;k1k1k1b 1等号成立条件:a 1:一般形式的证明:n1ak2n1b k2n1a kb k2kkk证明:不等式左边=2 2a b j2 2a
5、 b iLL共n2/ 2 项L不等式右边=a b ia bja bja b iL共2 n/ 2 项用均值不等式简洁证明,不等式左边 不等式右边,得证;推广形式 卡尔松不等式 :卡尔松不等式表述为:在 m*n 矩阵中,各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和;名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - mx 12x 12Lx 1 nx 21x21Lx 2nLxm 1xm 1Lxmnm1Nimx i21imx i31Limxin1x i1mmmmi1m n111其中,或者 :mnx ij1n1im1mmx ij
6、j1ji11其中,m nN,x ijR或者x 1y 1Lx 2y2LLxnynL注:11nxnynLx 表示x 1, , ,x 的乘积,其余同理推广形式的证明:推广形式证法一:记A 1x 1y 1L,A 2x 2y 2L, LA nx ny nL由平均不等式得x 1x 2Lx nnLx x 2Lx n1LA A 2LxA n1LyA n1A 1A 2A nnny 1nA A 2LA ny 2y n1同理可得A 1A 2A ny y 1 2y nnA A 2nA A 2LA nL L上述 个不等式叠加,得名师归纳总结 1A A 2Lx1111Ln第 3 页,共 11 页nA A 2LyA nn+
7、A n11Lxnyn11即A A 2LA nx 2xnynLLn即x 1y 1Ly2LLx ny nn1xnynL,证毕- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或者推广形式证法二:事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证,这个不等式并不难,可以简洁证明如下:由均值不等式mmixj1i1mixj1j1nxjinxjimj1同理有mjmx j211xj21m1nxjinmj1xjii11L Lmmixjnji1mixjnjij1nxj1nxm111m以上各式相加得n1m1ixjkji1kjnx11上式也即n1m1mxjkjim1, 该式整理,得:j1kinx
8、j11n1mxjk1minxjimkj1mj11得卡尔松不等式,证毕付:柯西( Cauchy )不等式相关证明方法:a 1 b 1a 2b 2a 1a2a nb n2a2 a 102 a 2b i2 a n22 b 12 b 22 b n2aib iR,i1 ,2n等号当且仅当n或ka i时成立( k 为常数,i1 2,n)现将它的证明介绍如下:名师归纳总结 证明 1:构造二次函数2 xfx a 1xb 12a 2xb 222 b 1a nxb n2第 4 页,共 11 页=2 a 12 a 2Ln a n2a b 1 1a b 2La b nx2 b 2Ln b nQ2 a 1a2Ln a
9、n02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx0恒成立Q4a b 1 1a b 2La b n242 a 1L2 a 2Lb 1 2n a n2 b 12 b 2Ln b n0即a b 1 1a b 2 2La b n n2a 1 2a 2 2a n nb 2 2Lb n n当且仅当a xb x0i1,2Ln即a 1a2Lan时等号成立b 1b 2b n证明( 2)数学归纳法(1)当n1时左式 =a b 1 12右式 =ab 1 12a b 1 12a b 222 2a b 12 2a b 2明显左式 =右式当n2时,右式2 a 12 a 22 b 12
10、 b 2a b 1 12a b 222 a a b b 2a b 2a b 22右式仅当即a b 1a b 2即a 1a 2时等号成立b 1b 2Lk b k故n1,2时 不等式成立(2)假设 nkk,k2时,不等式成立即a b 1 1a b 2 2La b k k22 a 12 a 2Lk a k2 b 12 b 2当b ikai,k 为常数,i1,2Ln或a 1a 2La k0时等号成立0时等号成立设2 a 12 a 2La22 b 12 b 2L2 b kkCa b 1 1a b 2La b k就2 a k12 b k12 b k12 a k2 1 b k1C22 Ca k1 b k12
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