2022年椭圆的简单几何性质_直线与椭圆的位置关系.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 幻灯片 1 2.1.2 椭圆的简洁几何性质 联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组 1 0 2 =0 个公共点； 3 相切 一个交点 相交 二个交点 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 幻灯片 5 直线与椭圆的位置关系的判定 代数方法由方程组AxpByC0x2y21a2b2mx2nx0m0 = n24mp04 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程组有两解两个交点相交 = 0方程组有一解一个交点5 / 38 名师归纳总结 - - - - -

2、- -第 5 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 相切0相离方程组无解无交点幻灯片 6 学问点 1.直线与椭圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法 代数法 6 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组 1 0 2 =0 3 6或k-6时有两个交点33当-6k A.没有公共点 B.一个公共点C.两个公共点 D.有公共点D 幻灯片 9 题型一：直线与椭圆的位置关系例 3: 已知椭圆x2y21, 直线 4x5y400, 椭圆259

3、上是否存在一点 , 到直线 l 的距离最小 .最小距离是多少 . 分析: 设P x 0,y 0是椭圆上任一点 , 试求点 P 到直线 4x5y400的距离的表达式 . d4x 05y 0404x 05y 0402 42 541且x02y 0212599 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - l m 尝试遇到困难怎么办 . 10 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - m 作出直线 l 及椭圆 , 观看图形 , 数形结合摸索

4、. 幻灯片 10 题型一：直线与椭圆的位置关系例3：已知椭圆x2y21,直线 ：4 -5y400. 椭圆上259是否存在一点,它到直线l的距离最小？最小距离是多少？y o x 11 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设直线m 平行于 ,就 可写成：4x5yk0- 22504x5yk0由方程组x2y21k2259消去 ,得25x28kx由0,得64k2- 425（k2- 225）012 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - -

5、 - - 解得k1= 25,k2=-25由图可知k25.幻灯片 11 题型一：直线与椭圆的位置关系例3：已知椭圆x2y21,直线 ：4 -5y400. 椭圆上259是否存在一点,它到直线l的距离最小？最小距离是多少？y o x 13 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直线m 为：x5y250直线m 与椭圆的交点到直线l的距离最近；且d4025154141425241dmax402565422 541摸索：最大的距离是多少？幻灯片 12 练习：已知直线y=x- 与椭圆 x2+4y2=2 ,判定它们的位置关

6、系；1214 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由韦达定理x 1xx245 1x 125解：联立方程组yx12x2+4y2=2 消去 y 5x24x10- 1 .0 由于 所以,方程 ,P2x2,y2 两点,直线P1P2的斜率为k15 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - |AB|1k2|x Ax B|11|yAy B|k2弦长公式：当直线斜率不存在时,就ABy 1y . 幻灯片 14 题型二：弦长公式16 / 38

7、 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1：已知斜率为1的直线 L 过椭圆的右焦点,交椭圆于A,B 两点,求弦AB之长解 由椭圆方程知:a24,b21,c23.右焦点F 3,0.x3.直线 方程为:yyx3x2y221804消 得：x8 3 x17 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设A x y 1,B x 2,y 2x 1x 28 3,x 1x 285585AB1k2x 1x 21k2x 1x 224x 1x 2幻灯片

8、15 题型二：弦长公式例 2: 已知点F1、F2分别是椭圆x2y21的左、右21焦点,过F 作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B 两点,求F AB的面积 . 18 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 : 先画图熟识题意 , 点 F 到直线 AB的距离易知 , 要求 SF AB 1 , 关键是求弦长 AB. 设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 . 由直线方程和椭圆方程联立方程组幻灯片 16 例 2: 已知点F1、F2分别是椭圆x2y21的左、右21F AB 1的面积 . 焦点,过F 作

9、倾斜角为 24的直线,求19 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解: 椭圆x2y21的两个焦点坐标2F11,0,F21,0x1直线AB的方程为 y设A x 1,y 1,B x2,y 2yx1由x2y21消去y 并化简整理得2x1x24 , 3x x 12020 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3x24x0ABx 1x22y 1y 222x1x 2202 x 1x224x x 2=4 32点1 1F 到直线AB的

10、距离 d=22SF AB 11dAB =1 2242=4 3.23答:F AB 1的面积等于4 3幻灯片 17 题型三：中点弦问题例 3 ：已知椭圆 过点 P2,1引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程 . 21 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：22 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 韦达定理斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造幻灯片 18 题型三：中点弦问题例 3 已知椭圆 过点 P2

11、,1引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程 . 点作差23 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点差法：利用端点在曲线上,坐标满意方程,作差构造出中点坐标和斜率幻灯片 19 学问点 3：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上,坐标满意方程,作差构造出中点坐标和斜率设A x y 1,B x 2,y 2,AB 中点M x 0,y 0,24 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就有：2x 0x 1x 2,2y 0y 1

12、y 2又kABy 1y 2y 在椭圆上,x 1x 2A x y 1,B x 2,y 1 2y 1 20x 22y 221a2b22 x 1y 121a2b2a2b 2x 1 2x 22两式相减得：幻灯片 20 由b 2x 1 2x 22a2y 1 2y 1 2025 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即y 122 y 1b22 x 1x 22a2kABy 1y 1b2x 1x 2x 1x 2a2y 1y 1b2x 0a2y 0直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法幻灯片 21 题型三：

13、中点弦问题例 3 已知椭圆 过点 P2,1引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程 . 26 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 x2+4y2=4-x2+42-y2 ,整理得 x+2y-4=0 从而 A ,B 在直线 x+2y-4=0 上而过 A,B 两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用 式及韦达定理,幻灯片 22 ax2by21“ 中点 ” 这一 条件,敏捷运用中点坐标公例 4、如图,已知椭圆 与直线 x+y-1=0 交于 A、B 两点, AB 的中点 M 与椭圆中

14、心连线的斜率是,试求 a、b 的值；AB 2 2,2227 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - y A M o x B 解:ax2yby21x10消 得:ab x22 bxb10=4 b2-4ab b101ababx 2b设A x y 1 1,B x 2,y 2x 1x 22 b,x 1abab28 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB 中点Mab, b aab22又ABa1k2x 1x 224x x 2k MO

15、bb2 a2a1,b332 22 2 b24b1abab幻灯片 23 练习：1、假如椭圆被 的弦被 4,2）平分,那么这弦所在直线方程为 ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 29 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、y=kx+1 与椭圆恰有公共点,就m的范畴 ） A 、0,1） B、0,5 ）、1,+ ） C 、 1 , 5） 求过点 F 且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长. 2 判定点 A1,1 与椭圆的位置关系, 并求以 A 为中点椭圆的弦

16、所在的直线方程. 解: 1 椭圆x2y29530 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - F 2,0直线 ：yx29x 26 11得：14x236x90由y2x2459y25xx 1x 218 7,x 1x 214弦长1k2x 1x 224x 17幻灯片 25 练习：已知椭圆 5x2+9y2=45 ,椭圆的右焦点为 F,1 求过点 F 且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长 . 2 判定点 A1,1 与椭圆的位置关系 , 并求以 A 为中点椭圆的弦所在的直线方程 . 2 2 解 : 25 1 9 1 4531

17、/ 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 1,1 在椭圆内；设以 为中点的弦为MN且 M x y 1,N x 2,y 2x 1x 22,y 1y 22y 22）05x 1 29y 1 245两式相减得：（x 12x 22） （2 y 15x 229y 2245k MNy 1y 25x 1x 2x 1x 29y 1y 259以 为中点的弦为MN方程为:y15x195 x9y14032 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - -

18、幻灯片 26 小 结1、直线与椭圆的三种位置关系及判定方法；解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交2、弦长的运算方法：弦长公式： |AB|= = 适用于任何曲线）1 k 2（x 1 x 2）2 4 x 1 x 21 12（y 1 y 2）4 y 1 y 2k3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理； 2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率；幻灯片 27 练习巩固 : 1. 过椭圆x2y21内一点M2,1引一条弦 , 使弦被点 M164平分 , 求这条弦所在的直线方程. 2y20最大距离2. 椭圆x22 y1上的点到直线x164是_. 3.

19、已知椭圆的焦点F1 3,0,F23,0且和直线xy90有公共点 , 就其中长轴最短的椭圆方程为_. x2y4033 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10x2y214536幻灯片 28 摸索 3: 已知椭圆x2y21的焦点为F1,F , 在95直线l:xy60上找一点 M , 求以F1,F 为焦点 , 通过点 M 且长轴最短的椭圆方程. 分析 : 椭圆的焦点为 2,0,2,034 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - -

20、 关键是怎样求出椭圆的长轴大小 . x22 y12016幻灯片 29 2 2摸索 3: 已知椭圆 x y1 的焦点为 F 1 , F , 在9 5直线 l : x y 6 0 上找一点 M , 求以 F 1 , F 为焦点 , 通过点 M 且长轴最短的椭圆方程 . 解 椭圆的焦点为 F 1 2,0, F 2 2,0设 F 2 2,0 关于直线 x y 6 0 的对称点 F x 0 , y 0 y 0 1 1由 x 0 2x 0 2 y 0 6 02 235 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得：x 0

21、6y 04F6,42 y12 所求椭圆方程为：x2016F F2 a4 5a2 5c24b 幻灯片 30 思维挑战题 : 试确定实数m 的取值范畴 , 使得椭圆x2y2143上存在关于直线y2xm 对称的点 . 36 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：存在直线y1xb 与椭圆交与两点,2且两交点的中点在直线y2xm 上；A B解 假设椭圆上存在关于直线y2xm 对称的两点就AB两点的直线可设为：y1xb2幻灯片 31 y1xbb232002由x2y2143消 得:x2bx2b23 b12b24 b23x 1x 2b37 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设两对称点A x y 1,B x 2,y 2y 1y 21x 1x 22 b3 2bm 上2AB 中点 b,3 b在直线y2x243 b2bm42b4m1m12224 m238 / 38 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页,共 38 页