2022年流体力学雷诺方程的推导.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载主要参数 R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, =0.3, c=2 mm. 各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流淌,雷诺方程,他的普遍形式是描写这种物理现象的基本方程为xh2pyh2p）6 UhVh2hxyxyt这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特别的间隙外形才可能求得解析解,而对于复杂的几何形 状或者工况条件下的问题,无法用解析方法求得精确解；随着快速进展的点算技术,数值算 法成为求解润滑问题的有效途径；数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法；它的一般原就是：第一将求解域 划分成有限个数的

2、单元,并使每一个单元充分的微小；以至于可以认为在各单元内的未知量（本人毕业设计中设油膜压力为P）相等或者依照线性变化,而不会造成很大的误差；然后,通过物理分析或数学变换方法,将求解的偏微分方程写成离散形式,即使将它转化成一组线 性代数方程；该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于四周各单元未知量的关系；最终 依据消去法或者迭代法求解代数方程组,从而求得整个求解域上的未知量；用来求解雷诺方程的数值方法很多,最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法,这些方法都是将求解域划分成很多个单元,但是处理方法各不相同；在有限差分法和有限元 法中,代替基本方程的函数在求解域内是近似的,但完全满意边界条件；

3、而边界元法所用的 函数在求解域内完全满意基本方程,但是在边界上就近似的满意边界条件；一、雷诺方程的数值解法 依据边界条件求解雷诺方程,这在数学上称为边值问题；第一将所求解的偏微分方程无量纲化；这样做的目的是削减自变量和因变量的数目,同 时用无量纲参数表示的解具有通用性；然后,将求解域划分成等距的或者不等距的网格,如图图 1-1 1-1 为等距网格；名师归纳总结 沿轴向将 Y 划分为 8 个等距区间,沿周向从130到2划分为 12 个等距区间；这样在Y9117个节点；就1,Y1；方向有 13 个节点,方向有 9 个节点,总计68第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - -

4、 - - - - - - - 精品资料 欢迎下载有限差分法 假如用 P 代表所求的未知量例如油膜压力, 就变量 P 在整个域中的分布可以用各节点的 P 值来表示； 依据差分原理, 任意节点 Oi, j 的一阶和二阶偏导数都可以由其四周的节点变量值 来表示；如图 1-2 所示,假如采纳中差分公式,就变量P 在 Oi, j 点的偏导数为图.1-2 （p）i , jp,1jp,1j2（1-1）（p ,）ypp ,j1p,j1,j2y2p 2 i,j,1jp i,1j2 p2 （1-2）（2 p2 iy,jp ,j1p ,j12 p i ,j2 y 以 P 为润滑膜压力,雷诺方程的二维二阶偏微分方程的

5、标准形式为：A2PB2PCPDPE（1-3）依据中差分公式 （1-1）2Y2Y其中 A,B,C,D 和 E 都为已知量； 然后将上述方程应用到各个节点,和（ 1-2）用差商代替偏导数,即可求得各个节点的变量 种关系可以写成：ip.于相邻各个节点变量的关系；这名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - p i,jCN精品资料CSp i欢迎下载Epi1,jC Wp i1,jG（1-4）p i,j1,j1C其中CNB22D/K（1-5）yyCSB22D/KyyCEA22C/KCWA22C/KG2 EB）K2KAy2式（ 1-4）中各

6、系数值随节点位置而转变；方程（ 1-4）是有限差分法的运算方程,对于每个节点都可以写出一个方程,而在边界上 的节点变量应满意边界条件,它们的数值是已知量；这样,就可以求得一组线性代数方程；方程与未知量数目相一样,所以可以求解；采纳消去法或者迭代法求解代数方程组,并使计 算结果满意肯定的收敛精度,最终求得整个求解域上各节点的变量值；求解代数方程使用迭代法求解；1、雷诺方程的无量纲化 定常雷诺方程xh3pyh3,dxp.6uh2-1 xyx将轴承表面沿平面绽开,如图1-1 所示,并代入xRRd得等式两边同时乘以RR2h3Rdp2ph36uRdhy2就雷诺方程变为h3p2ph36uRdh2-2 y2

7、d如令名师归纳总结 yYL /,2 2 R /2 L ,hc 1cosHc ,pP6 uR第 3 页,共 6 页2 c- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载代入后得H3c36u2RPuH3c3R26u2R2P22ccY2L6RdHd化简得将（2 R /L 2代入得H3PPH3（2R3222PdH（2-3）YL2dH3HPdHY2d由hc 1cosHc得H1cos代入（ 2-3）式,得-3 sinH2PH22PH32Pd12Y2cosd再次化简得无量纲雷诺方程-3sinP2Pc2P-（1sin）3（2-4）1cos为偏心2Y2cose/率,

8、e为偏心距,c为半径间隙,采纳有限R 为轴承半径, L 为轴承长度,元差分法进行迭代运算；式（ 1-4）为标准形式,参考标准式（1-3）可求得标准式中A,B,C,D,E 的值；A1,B,C3sin,D,0Esin1cos1cos3将以上各值代入式（ 1-5）求得名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2CN（2cos2Y22sin2Y2CS（21Y2C213E22cosCW212cos13sin2cos3Gsin2Y321cosK22YY222将已知值代入式（ 1-4）得P i i ,jj（222P i

9、i ,j12（sin22P i2.jY2P i i ,j j 1（2-5）Y213cos21221cos2Y1jjcos3sinPi1,122cos31sin2Y23cos将（2R/L2220/4021,0.3代入式（ 2-5）得迭代方程 : 名师归纳总结 将1,P i i ,j2P i i ,j j 1（222,2.P i i ,j j 1第 5 页,共 6 页（22Y2YY1210.3cos0.9sinPi1j2210.3cos210.3cos0.9sinPi1j2210.3cos2Y20.9sin322Y210.3cos代入上式中,得68- - - - - - -精选学习资料 - - -

10、 - - - - - - Pi,j精品资料i,j1欢迎下载Pi,j10.9P0.9210.3cos00.47sinPii1.jj（2-6）0.541.3cos210.3cos00.47sinP1.0.541.3cos0.012sin310.3cos上式为最终迭代方程；边界问题：将轴承表面沿平面绽开,如图 2-1 图.2-1 对于径向轴承,方程（ 2-4）中两个自变量的变化范畴是：在轴承中间断面上 Y=0：在边缘上 Y=1；而 在 0 到 2 之间变化,这一问题的边界条件为：（1）轴向方向在边缘 Y=1 处,P=0；在中间断面 Y=0 上,P0. Y（2）周向方向按雷诺边界条件： 油膜起点在0处,取 P=0；油膜终点在发散区间内符合P=0 及P0的地方；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页