2022年抛物线压轴题答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 综合题答案1. 如图,平面直角坐标系中,直线 l 分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B两点（ OAOB）且 OA、OB的长分别是一元二次方程 的两个根,点 C在 x 轴负半轴上,且 AB：AC=1： 2 （1）求 A、C两点的坐标；（2）如点 M从 C点动身,以每秒1 个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设 ABM的面积为 S,点 M的运动时间为t ,写出 S关于 t 的函数关系式,并写出自变量的取值范畴；（3）点 P 是 y 轴上的点,在坐标平面内是否存在点 出 Q点的坐标；如不存在,请说明理由1 答案：Q,使以 A 、B、P、Q为顶点的四

2、边形是菱形？如存在,请直接写名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.如图,二次函数 y=ax 2+x+c 的图象与 x 轴交于点 A、B 两点, 且 A 点坐标为（ -2,0）,与 y 轴交于点 C（0,3）（1）求出这个二次函数的解析式；（ 2）直接写出点 B 的坐标为 _；（3）在 x 轴是否存在一点 P,使 ACP 是等腰三角形？如存在,求出满意条件的 P 点坐标；如不存在,请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点 Q,使得四边形 ABQC 的面积最大？如存在,恳求出 Q 点坐标及面积的最大值；如不

3、存在,请说明理由解答 ：解：（1）y=ax2+x+c的图象经过A（-2 ,0）,C（0, 3）,c=3 ,a=-,所求解析式为： y=-x2+x+3 ；（2）（6,0）；（3）在 RtAOC 中,AO=2 , OC=3 ,AC=,时（ P1 在 x 轴的负半轴） ,P1（-2-,0 ）；当 P1A=AC当 P2A=AC时（ P2 在 x 轴的正半轴） ,P2（-2 ,0）；当 P3C=AC 时（ P3在 x 轴的正半轴） ,P3（ 2,0）；当 P4C=P 4A 时（ P4 在 x 轴的正半轴） ,在 Rt P4OC 中,设 P4O=x ,就（ x+2 ）2=x2+32解得： x=,Q 点坐标

4、为（ x,y ）,由于点 Q 在 y=-x2+x+3上,第 2 页,共 18 页P4（,0）；（4）解：如图,设名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即： Q 点坐标为（ x,-x2+x+3 ）,连接 OQ ,S 四边形 ABQC =S AOC +S OQC +S OBQ=3+ x+3 （- x2+x+3 ）=-x2+x+12 ,a0,S 四边形 ABQC 最大值 =, Q 点坐标为（ 3,）；3.如图（ 1）,抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C（ 0,）图（ 2）、图（ 3）为解答备用图（1）,点 A 的坐标为,点 B

5、 的坐标为；（2）设抛物线的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 如不存在,请说明理由；D,使四边形 ABDC 的面积最大？如存在, 恳求出点 D 的坐标；（4）在抛物线上求点 Q,使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形第 3 页,共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解答 ：解：（ 1）,A（-1 ,0）,B（3,0）（2）如图（ 1）,抛物线的顶点为M（1,-4）,连结 OM 就 AOC 的面积 =, MOC 的面积 =, MOB 的面积 =6, 四边形 ABMC 的面积 =

6、 AOC 的面积 + MOC 的面积 + MOB 的面积 =9说明：也可过点M 作抛物线的对称轴,将四边形ABMC 的面积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和（3）如图（ 2）,设 D（m,）,连结 OD就 0m3,0且 AOC 的面积 =, DOC 的面积 =, DOB 的面积 =-（）, 四边形 ABDC 的面积 = AOC 的面积 + DOC 的面积 + DOB 的面积=名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 存在点 D,使四边形 ABDC 的面积最大为（4）有两种情形：如图（ 3）,过点 B 作 BQ

7、 1BC,交抛物线于点 CBO=45, EBO=45,BO=OE=3 点 E 的坐标为（ 0,3） 直线 BE 的解析式为由 解得 点 Q1 的坐标为（ -2,5）Q1、交 y 轴于点 E,连接 Q1C如图 14（4）,过点 C 作 CFCB,交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F,连接 BQ2 CBO=45, CFB=45,OF=OC=3 点 F 的坐标为（ -3,0） 直线 CF 的解析式为由 解得点 Q 2 的坐标为（ 1,-4）综上,在抛物线上存在点 Q1（-2,5）、 Q2（1,-4）,使 BCQ 1、 BCQ 2是以 BC 为直角边的直角三角形说明：如图 14（ 4）,点 Q 2

8、即抛物线顶点M,直接证明BCM 为直角三角形4.如图 1,在ABC 中, AB=BC ,P 为 AB 边上一点,连接点 E,已知 ABC= AEP= （090）（1）求证： EAP= EPA；（2）.APCD 是否为矩形？请说明理由；CP,以 PA、 PC 为邻边作 .APCD ,AC 与 PD 相交于（3）如图 2, F 为 BC 中点,连接FP,将 AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度,得到MEN （点 M、N 分别是MEN 的两边与 BA 、FP 延长线的交点） 猜想线段EM 与 EN 之间的数量关系,并证明你的结论名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学

9、习资料 - - - - - - - - - 考点 ：旋转的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定；专题 ：证明题；探究型；分析：（1）依据 AB=BC 可证 CAB= ACB ,就在 ABC 与 AEP 中,有两个角对应相等,依据三角形内角和定理,即可证得；（2）由（ 1）知 EPA=EAP ,就 AC=DP ,依据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证；（3）可以证明EAM EPN,从而得到 EM=EN 解答：（1）证明：在ABC 和 AEP 中, ABC= AEP, BAC= EAP , ACB= APE,在 ABC 中, AB=BC , ACB= BAC ,

10、 EPA= EAP（2）解： .APCD 是矩形理由如下：四边形 APCD 是平行四边形,AC=2EA ,PD=2EP,由（ 1）知 EPA=EAP,EA=EP ,就 AC=PD ,.APCD 是矩形（3）解： EM=EN 证明： EA=EP , EPA=90, EAM=180 EPA=180 （ 90）=90+,由（ 2）知 CPB=90 ,F 是 BC 的中点,FP=FB, FPB= ABC= , EPN= EPA+APN= EPA+FPB=90+=90+, EAM= EPN, AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度,得到MEN , AEP= MEN , AEP AEN= MEN AEN

11、,即 MEA= NEP,在 EAM 和 EPN 中,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - EAM EPN（AAS ）,EM=EN 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质,以及矩形的判定方法,在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的角是解决此题的关键5.提出问题：如图 ,在正方形ABCD 中,点 P,F 分别在边 BC、AB 上,如 APDF 于点 H,就 AP=DF 类比探究：（1）如图 ,在正方形ABCD 中,点 P、F、G 分别在边 BC、AB 、AD 上,如 GPDF 于点 H,探究线段GP 与DF 的数量关

12、系,并说明理由；（2）如图 ,在正方形 ABCD 中,点 P、F、G 分别在边 BC、AB 、AD 上, GPDF 于点 H,将线段 PG 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PE,连结 EF,如四边形 DFEP 为菱形,探究 DG 和 PC 的数量关系,并说明理由【分析】（1）如答图 1,过点 A 作 AM DF 交 BC 于点 M 通过证明BAM ADF 得到其对应边相等：AM=DF ,就又由平行四边形的性质推知AM=GP ,就 GP=DF ；“三线合一 ”的性质推知DG=2DN ,然后（2）如答图 2,过点 P 作 FNAD 与点 N依据菱形的性质、等腰三角形的结合矩形 DNPC 的性质

13、得到： DG=2PC 【解答】解：（1） GP=DF理由如下：如答图 1,过点 A 作 AM DF 交 BC 于点 M 四边形 ABCD 是正方形,AD=AB , B 90, BAM= ADF ,在 BAM 与 ADF 中, BAM ADF （ASA ）,AM=DF 又四边形 AMPG 为平行四边形,AM=GP ,即 GP=DF ；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）DG=2PC 理由如下：如答图 2,过点 P 作 FNAD 与点 N如四边形 DFEP 为菱形,就 DP=DF ,DP=DF ,DP=GP,即 D

14、G=2DN 四边形 DNPC 为矩形,PC=DN ,DG=2PC 6. 如图,抛物线yx2bxc与 x 轴交于 A1,0,B- 3,0 两点,（1）求该抛物线的解析式； （2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得 QAC的周长最小？如存在,求出 Q点的坐标；如不存在,请说明理由 . （ 3）在（ 1）中的抛物线上的其次象限上是否存在一点 P,使 PBC的面积最大？,如存在,求出点 P 的坐标及PBC的面积最大值 . 如没有,请说明理由 . 解答：1 将 A1,0 ,B3,0 代 y x 2bx c 中得 19 b3 b cc 00bc 3 22抛物线

15、解析式为：y x 2 x 3 2 存在；理由如下：由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 x 1 对称2直线 BC与 x 1 的交点即为 Q点, 此时AQC周长最小y x 2 x 3名师归纳总结 第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C的坐标为： 0 , 3 直线 BC解析式为：yx3 Q 点坐标即为x13的解yxx1 Q1, 2 y2（3）答：存在；理由如下：就S设 P 点x,x22x3 3x0SBPCS 四边形BPCOSBOCS 四边形BPCO9如S四边形BPCO有最大值,2BPC就最大,S 四边形BPCOS RtBPES 直角

16、梯形PEOC1BE PE1OE PEOC221x3x22x31x x22x333x32927222228当x3时,S四边形BPCO最大值9 227SBPC最大9 22792728828当x3时,x22x315点 P 坐标为3,152424QyPyCCBAxBEOAxO22 937.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线y=x2 2mx+m（1）求证：无论m 为何值,该抛物线与x 轴总有两个交点；（2）该抛物线与x 轴交于 A ,B 两点,点 A 在点 B 的左侧,且OA OB,与 y 轴的交点坐标为（0, 5）,求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下,抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 N

17、,如点 M 是线段 AN 上的任意一点,过点 M 作直线MC x 轴,交抛物线于 点 C,记点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 D,点 P 是线段 MC 上一点,且满意 MP= MC ,连结 CD ,PD,作 PEPD 交 x 轴于点 E,问是否存在这样的点 E,使得 PE=PD？如存在,求出点 E 的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：解：（1）令 y=0 ,就 x2 2mx+m 2 9=0, =（ 2m） 2 4m2+360,无论 m 为何值时方程 x2 2mx+m2 9=0 总有

18、两个不相等的实数根,抛物线 y=x 2 2mx+m 2 9 的开口向上,顶点在 x 轴的下方,x 轴总有两个交点该抛物线与（2）抛物线 y=x2 2mx+m2 9 与 y 轴交点坐标为（0, 5）,5=m2 9解得： m=2当 m= 2, y=0 时, x2+4x 5=0 解得： x1= 5,x2=1,2 9 与 x 轴交于 A ,B 两点（点 A 在点 B 的左侧,抛物线 y=x 2 2mx+m 且 OA OB）, m= 2 不符合题意,舍去m=2抛物线的解析式为 y=x2 4x 5；（3）如图 2,假设 E 点存在, MC EM ,CDMC , EMP= PCD=90 MEP+ MPE=9

19、0 PEPD, EPD=90, MPE+ DPC=90； MEP= CPD在 EMP 和 PCD 中, EPM PDC（AAS ） PM=DC ,EM=PC 设 C（x0,y0）,就 D（4 x0,y0）,P（x0,y0）2x0 4=（x0 2 4x0 5）21 题答图2x0 4=y0点 C 在抛物线 y=x2 4x 5 上； y0 x0 2 4x0 5 解得： x01=1,x02=11（舍去）, P（1, 2） PC=6 ME=PC=6 E（7,0）8. 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y=x+3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过 A、B 两点的抛物线 y=-x 2+

20、bx+c 交 x 轴于另一点 C,点 D 是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点, （不与点 A、B 重合）,过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,交 直线 AB 于点 F,作 PGAB 于点 G求出 PFG 的周长最大值；（3）在抛物线 y=ax 2+bx+c 上是否存在除点 D 以外的点 M,使得 ABM 与 ABD 的面积相等？如存在,恳求出此时点 M 的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：（1）直线 AB：yx3与坐标轴

21、交于A（-3,0 ）、B（0,3 ）代入抛物线解析式yx2bxc中0c93 bcb32ABD的面积 . 3c抛物线解析式为：yx22x3 4 分（2）由题意可知PFG是等腰直角三角形,设P（m,m22m3Fm,m3PFm22m3m3m23m PFG周长为：-m23 m2m23 m=21 m329 2124ABM的面积等于 PFG周长的最大值为：9（21） 8 分4（3）点 M有三个位置,如下列图的M1、 M2、M3,都能使此时DM1 AB ,M3M2 AB ,且与 AB距离相等D（-1 , 4）,就 E（-1,2 ）、就 N（-1,0 ）yx3中, k=1 直线DM1解析式为：yx5第 11

22、页,共 18 页直线17M3M2解析式为：yx1 9 分x5x22x3或x1x22x3x11,x22,x33217,x432M12 , 3、 10 分M23217,1217 11 分名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - M33217,1217 12 分ADE是以 AD 为边的9ABC 是等边三角形,点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B、C 重合）,等边三角形,过点 E 作 BC 的平行线,分别交射线 AB、AC 于点 F、G,连接 BE （1）如图（ a）所示,当点 D 在线段 BC 上时求证：AEBADC；探究四边形 BC

23、GE 是怎样特别的四边形？并说明理由；（2）如图（ b）所示,当点 D在BC的延长线上时,直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（ 2）的情形下,当点 D 运动到什么位置时,四边形 BCGE 是菱形？并说明理由A A E F G B D C B C G D 图（ a）解答 （1）证明：ABC和ADE都是等边三角形,F E 图（ b）AEAD,ABAC,EADBAC60 1 分第 12 页,共 18 页又EABEADBAD ,DACBACBAD ,A EABDAC ,AEBADC 3 分法一：由得AEBADC,E B F G C ABEC60 D 又BACC60 ,图（ a）ABEBAC

24、, EBGC 5 分第 25 题图又 EGBC,四边形 BCGE 是平行四边形 6 分法二：证出AEGADB,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得 EG AB BC 5 分由得AEBADC得 BE CG 四边形 BCGE 是平行四边形 6 分（2）都成立 8 分（3）当 CD CB（BD 2 CD 或 CD 1 BD 或 CAD 30 或 BAD 90 或 ADC 30 ）时,四边形 BCGE2 A 是菱形 9 分理由：法一：由得AEBADC, BE CD 10 分又 CD CB ,B D C BE CB 11 分由得四边形 BCGE 是

25、平行四边形,四边形 BCGE 是菱形 12 分 F E 图（b）G 法二：由得AEBADC,第 25 题图 BE CD 9 分又四边形 BCGE 是菱形, BE CB 11 分 CD CB 12 分法三：四边形 BCGE 是平行四边形, BECG,EGBC,FBE BAC 60,F ABC 60 9 分F FBE 60 ,BEF 是等边三角形 10 分又 AB BC ,四边形 BCGE 是菱形, AB BE BF , AEFG 11 分EAG 30 ,EAD 60,CAD 30 10如图, 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 抛物线 y= x 2+2x 与 x 轴相交于 O、B,顶点为 A

26、,连接 OA 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求点 A 的坐标和 AOB 的度数；（2）如将抛物线y=x2+2x 向右平移 4 个单位,再向下平移2 个单位,得到抛物线m,其顶点为点C连接 OC 和AC,把 AOC 沿 OA 翻折得到四边形ACOC 试判定其外形,并说明理由；（3）在（ 2）的情形下,判定点 C是否在抛物线 y= x2+2x 上,请说明理由；（4）如点 P 为 x 轴上的一个动点,摸索究在抛物线 m 上是否存在点 Q,使以点 O、P、C、Q 为顶点的四边形是平行四边形,且 OC 为该四边形

27、的一条边？如存在,请直接写出点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由解答：（1）由 y= x 2+2x 得, y= （x 2）2 2,抛物线的顶点 A 的坐标为（2, 2）,令 x 2+2x=0 ,解得 x1=0,x2= 4,点 B 的坐标为（4,0）,过点 A 作 ADx 轴,垂足为 D, ADO=90,2, 2）,点 D 的坐标为（2, 0）,点 A 的坐标为（OD=AD=2 , AOB=45；（2）四边形 ACOC为菱形由题意可知抛物线 m 的二次项系数为,且过顶点 C 的坐标是（ 2, 4）,抛物线的解析式为：y= （x 2）2 4,即 y= x 2 2x 2,过点 C 作 CEx 轴,垂

28、足为 E；过点 A 作 AFCE,垂足为 F,与 y 轴交与点 H,OE=2 ,CE=4 , AF=4 ,CF=CE EF=2 ,OC= = =2,同理, AC=2,OC=AC ,由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC =AC,故四边形 ACOC为菱形（3）如图 1,点 C 不在抛物线 y= x 2+2x 上理由如下：过点 C 作 C Gx 轴,垂足为 G,OC 和 OC 关于 OA 对称, AOB= AOH=45,第 14 页,共 18 页 COH= COG,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CE OH, OCE= COG,又 CEO

29、= CGO=90 ,OC=OC, CEO CGO,OG=4 ,CG=2,点 C 的坐标为（4,2）,把 x= 4 代入抛物线 y= x 2+2x 得 y=0 ,点 C 不在抛物线 y= x 2+2x 上；（4）存在符合条件的点 Q点 P 为 x 轴上的一个动点,点 Q 在抛物线 m 上,设 Q（a, （a 2）2 4）,OC 为该四边形的一条边,OP 为对角线,=0,解得 x1=6 ,x 2=4,P（ 6,4）或（2,4）（舍去）,点 Q 的坐标为（ 6,4）11如图 1,在OAB 中, OAB=90 , AOB=30 以 OB 为边,在OAB 外作等边OBC,D 是 OB 的中点,连接 AD

30、 并且延长交 OC 于 E（1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；（2）如图 2,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 FG,摸索究线段 OG 与 AB 的数量关系并说明理由【解答】（1）证明： Rt OAB 中, D 为 OB 的中点,DO=DA （直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）, EAO= AOB=30 , OBC 为等边三角形, COB=60 ,又 AOB=30 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - EOA=90 , AEO=180 EOA EAO=180 90

31、 30=60, AEO= C,BC AE , BAO= COA=90 ,CO AB ,四边形 ABCE 是平行四边形；（2）解：在 Rt ABO 中, OAB=90 , AOB=30 ,BO=2AB ,OA=AB ,CF=AE ,连设 OG=x ,由折叠可得：AG=GC=2AB x,在 Rt OAG 中, OG2+OA2=AG2,x2+（AB ）2=（2AB x）2,解得： x=AB ,即 OG=AB 12.在菱形 ABCD 中, ABC=60 ,E 是对角线 AC 上任意一点, F 是线段 BC 延长线上一点,且 接 BE、EF（1）如图 1,当 E 是线段 AC 的中点时,求证：BE=EF

32、 1）中的结论：成立（2）如图 2,当点 E 不是线段 AC 的中点,其它条件不变时,请你判定（填 “成立 ” 或“不成立 ”）（3）如图 3,当点 E 是线段 AC 延长线上的任意一点,其它条件不变时,证明；如不成立,请说明理由【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形,AB=BC , ABC=60 ,（1）中的结论是否成立？如成立,请赐予名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABC 是等边三角形, BCA=60 ,E 是线段 AC 的中点, CBE= ABE=30 ,AE=CE ,CF=AE ,CE=CF, F

33、=CEF=BCA=30 , CBE= F=30,BE=EF ；（2）解：结论成立；理由如下：过点 E 作 EG BC 交 AB 延长线于点 G,如图 2 所示：四边形 ABCD 为菱形,AB=BC , BCD=120 ,AB CD, ACD=60 , DCF= ABC=60 , ECF=120,又 ABC=60 , ABC 是等边三角形,AB=AC , ACB=60 ,又 EG BC, AGE= ABC=60 ,又 BAC=60 , AGE 是等边三角形,AG=AE=GE , AGE=60 ,BG=CE , BGE=120 =ECF,又 CF=AE ,GE=CF,在 BGE 和 CEF 中, BGE ECF（ SAS）,BE=EF （3）解：结论成立证明如下：过点 E 作 EG BC 交 AB 延长线于点 G,如图 3 所示：四边形 ABCD 为菱形,AB=BC ,又 ABC=60 , ABC 是等边三角形,AB=AC , ACB=60 , ECF=60 ,又 EG BC, AGE= ABC=60 ,又 BAC=60 , AGE 是等边三角形,AG=AE=GE , AGE=60 ,BG=CE , AGE= ECF,又 CF=AE ,名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精