2022年湘教版七年级下册数学知识点梳理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载湘教版七年级数学下册学问点归纳第一章 二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念：二元一次方程：含有两个未知数,且未知数的指数（即次数）都是1 的方程,叫二元一次方程；二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程,另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起,就组成了二元一次方程组；2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值,叫二元一次方程的解；使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解；

2、注：、由于二元一次方程含有两个未知数,所以,二元一次方程的解是一组（对）数,用大括号联立；、一个二元一次方程的解往往不是唯独的,而是有很多组；、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解,一般地,只有唯独的一组,但也可能有很多组或无解（即无公共解）；二元一次方程组的解的争论：已知二元一次方程组 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 、当 a1/a2 b1/b2 时,有唯独解；x + y = 3 、x + y = 4 、当 a1/a2 = b1/b2 c1/c2时,无解；、当 a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时,有很多解；例 如 ： 对 应 方 程 组 ：

3、 、x + y = 4 、3x - 5y = 9 2x + 2y = 5 2x + 2y = 8 例：判定以下方程组是否为二元一次方程组： 、a + b = 2 、x = 4 、3t + 2s = 5 、x = 11 b + c = 3 y = 5 ts + 6 = 0 2x + 3y = 0 3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含 X 的代数式表示 Y,就是先把 X 看成已知数,把 Y 看成未知数；用含 Y 的代数式表示 X,就相当于把Y看成已知数,把 X看成未知数；例：在方程 2x + 3y = 18 中,用含 x 的代数式表示 y 为：_, 用含 y 的代数式表示 x 为:_

4、；4、依据二元一次方程的定义求字母系数的值：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 要抓住两个方面：、未知数的指数为学习必备欢迎下载0 1,、未知数前的系数不能为例：已知方程 a-2x/a/-1 b+5yb2-24 = 3 是关于 x、 y 的二元一次方程,求a、b 的值；5、求二元一次方程的整数解例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整数解；思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法,可以求出方程有正整数解时 x、y 的取值范围,然后再进一步确定解；解：用含x 的代数式表示y: y = 9/2 3

5、/4x 用含 y 的代数式表示x: x = 6 4/3y 由于是求正整数解,就：9/2 3/4x 0 , 6 4/3y 0 所以, 0 x 6 ,0 y 设元（设未知数） 依据数量关系式列出方程组 解方程组 检验并作答 （留意：此步骤不要遗忘）2、列方程组解应用题的常见题型：（1）、和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量,总量 = 倍数 倍量；（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度时间,包括相遇问题、追及问题等；（4）、航速问题：、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速

6、度 + 水（风）速；、逆流（风） ：航速 = 静水（无风）时的速度水（风）速；（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 作 1）； = 工作效率 工作时间, （有时需把工作总量看（6）、增长率问题： 解这类问题的基本关系式是：原量 （1+增长率） = 增长后的量, 原量 （1- 削减率）= 削减后的量；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；（8）、数字问题：解这类问题,第一要正确把握自然数、奇数、偶数等有

7、关概念、特点及其表示；（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等运算公式；（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等；例 1：一批水果运往某地,第一批 360 吨,需用 6 节火车车厢加上 15 辆汽车,其次批 440 吨,需用 8 节火车车厢加上 10 辆汽车,求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？例 2：甲、乙两物体分别在周长为 400 米的环形轨道上运动,已知它们同时从一处背向动身,25 秒后相遇,如甲物体先从该处动身,半分钟后乙物体再从该处同向动身追逐甲物体,就再过 3 分钟后才赶上甲,假设甲、乙两物体的速度均不变,求甲、乙两物体的速

8、度；例 3：甲、乙二人分别以匀称速度在周长为 时,每 150 秒相遇一次,当二人同向运动时,每600 米的圆形轨道上运动,甲的速度比乙大,当二人反向运动 10 分钟相遇一次,求二人的速度；例 4：有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3 ：7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是 4 ：1,今要得到酒精与水的比是 3 ： 2 的酒精溶液 50kg,求甲、乙两种溶液各取多少 kg？例 5：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成,假如 1 立方米木料可制成方桌桌面 50 个,或制作桌腿 300条,现有 5 立方米木料,请问,要用多少木料做桌面,多少木料做桌腿,能使桌面恰好配套？此时,可以制成多少张方桌？

9、例 6：某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,假如他以每小时 50 千米的速度行驶,就会迟到 24 分钟,假如他以每小时 75 千米的速度行驶,就可提前 24 分钟到达乙地,求甲、乙两地间的距离；例 7：某农场有 300 名职工耕种 51 公顷土地,方案种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物,已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金及投入资金如右表：水稻 4 人 1 万元已知该农场方案投入资金棉花 8 人 1 万元67 万元,应当怎样支配这三蔬菜 5 人 2 万元种农作物的种植面积才能使全部职工都有工作而且投入资金正好够用？例 8：某酒店的客房有三人间和两人间两

10、种,三人间每人每天 25 元,两人间每人每天 35 元,一个 50 人的旅行团到该酒店租了如干间客房,且每间客房恰好住满,一天共花去 1510 元,求两种客房各租了多少间？捐款数额 捐助贫困中同学人数 捐助贫困学校生人数名师归纳总结 年级（元）（名）（名）第 5 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9：某山区有23 名中、初一年级学习必备欢迎下载2 4 4000 学校生因贫困失学需要捐助,初二年级4200 3 3 资助一名中同学的学习费用初三年级7400 需要 a 元,资助一名学校生 的学习费用需要 b 元；某校同学积极捐款,中学各年

11、级同学捐款数额与使用这些捐款恰好资助受捐助中学 生和学校生人数的部分情形如右表：（1）、求 a、b 的值；（2）初三年级的捐款解决了其余贫困中学校生的学习费用,请分别运算出初三年级的捐款所资助的中同学 和学校生人数；四、三元一次方程组的解法 1、概念： 由三个方程组成方程组,且方程组中共含有三个未知数,每个方程中含有的未知数的次数都是 1 次,这样的方程组叫 三元一次方程组；注：三元一次方程组中的三个方程并不肯定都是三元一次方程,只需满意“ 方程组中共含有三个未知数”的条件即可；2、解三元一次方程组的基本思想：三元一次消元 二元一次消元 一元一次x = -1时,方程组方程组方程 代入法、加减法

12、 代入法、加减法3x + 4y + z = 14 3x + 4z = 7 例 1：解方程组x + 5y + 2z = 17 2x + 3y + z = 9 2x + 2y - z = 3 5x 9y + 7z = 8 例 2：在 y = ax 2+bx+c 中,当 x=1 时, y=0；x=2 时, y=3；x=3 时,y=28 ,求 a、 b、c 的值；当y 的值是多少？名师归纳总结 例 3：甲、乙、丙三数之和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的和比乙数大18,求这三个数；第 6 页,共 22 页例 4：小明从家到学校的路程为3.3 千米,其中有一段上坡路,一段平路,一段下坡路,假如保

13、持上坡路每小时行 3 千米,平路每小时行4 千米,下坡路每小时行5 千米,那么小明从家到学校需要1 小时,从学校回家只需要44 分钟；求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 整式的乘法1同底数幂的乘法：aman=a m+n ,底数不变,指数相加. . . 2幂的乘方与积的乘方：amn=a mn ,底数不变,指数相乘； abn=a nbn ,积的乘方等于各因式乘方的积3单项式的乘法：系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积里. 4单项式与多项式的乘法：ma+b+

14、c=ma+mb+mc ,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加5多项式的乘法：a+b c+d=ac+ad+bc+bd ,先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 .6乘法公式：（1）平方差公式：a+ba-b= a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；（2）完全平方公式： a+b2=a 2+2ab+b 2, 两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2 倍； a-b2=a 2-2ab+b2 , 两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2 倍； a+b-c2=a 2+b 2+c2+2ab-2ac-2bc ,略 . 7配方：（1）如二次三

15、项式x2+px+q 是完全平方式 , 就有关系式：p2q；2+k k. 2（2）二次三项式ax2+bx+c 经过配方,总可以变为ax-h2+k 的形式,利用ax-h可以判定ax2+bx+c 值的符号；当 x=h 时,可求出ax2+bx+c 的最大（或最小）值 （ 3）留意：x21x122. x2x8同底数幂的除法：am an=a m-n ,底数不变,指数相减. 9零指数与负指数公式: （1）a0=1 a 0 ； a-n=1 ,a 0. n a留意： 00,0-2 无意义；（2）有了负指数,可用科学记数法记录小于1 的数,例如： 0.0000201=2.01 10-5 . 第三章因式分解1. 因

16、式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解；例：1 3ax即：多项式几个整式的积1bx1x ab33因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程；2. 因式分解的方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）提公因式法：定义：假如多项式的各项有 公因式 ,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的 形式,这个变形就是提公因式法分解因式；公因式： 多项式的各项都含有的相同的因式；公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式 或多项式；系数 取各项系数的

17、最大公约数 字母 取各项都含有的字母 指数 取相同字母的最低次幂例：123 3a b c83 2a b c364 2 2a b c 的公因式是2；字母部解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、-8 、6,它们的最大公约数为分3 3 3 2a b c a b c3,4 2 2a b c 都含有因式3 2a b c ,故多项式的公因式是23 2a b c . 提公因式的步骤 第一步：找出公因式；其次步：提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提公因式后剩 下的另一个因式；留意： 提取公因式后,对另一个因式要留意整理并化简,务必使因式最简；多项式中

18、第一项有负号的,要 先提取符号；名师归纳总结 例 1：把122 a b18 ab2243 3a b 分解因式 . 第 8 页,共 22 页解析：此题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为6ab；解：122 a b18ab2243 a b36ab2a3 b2 24 a b例 2：把多项式 3x4x 4x 分解因式解析：由于 4xx4,多项式 3x4x4x 可以变形为 3x4x x4, 我们可以发觉多项式各项都含有公因式（x4）, 所以我们可以提取公因式（x4）后 , 再将多项式写成积的形式. 解： 3x4x4x= 3x4x x4= 3x x4- - - - - - -精

19、选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：把多项式x22x 分解因式学习必备欢迎下载解：x22x =x22 x x2（2）运用公式法 定义：把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式 法；a. 逆用平方差公式：a2ab22ab ab2b2（拓展）b. 逆用完全平方公式：a32abb2ab3 bb a2c . 逆用立方和公式：aabd. 逆用立方差公式：a3b3ab a2abb2（拓展）留意 ： 公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式；挑选使用公式的方法：主要从项数上看,如多项式是二项式可考虑平方差公式；如多项式是三项 式,可考虑完

20、全平方公式；例 1：因式分解a214a49解：a214a49=a72=c2bc 2例 2：因式分解a22 a bcb解：a22 a bcbc2a（3）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解；名师归纳总结 例：把多项式abab1分解因式1b1a1b1第 9 页,共 22 页解：abab1=abab1= a b. b1将多项式分组后能运用公式进行因式分解例：将多项式a22ab12 b 因式分解解：a22 ab1b2b1a=2 a2abb21ab21a（4）十字相乘法（形如x2pq xpqxpxq 形式的多项式,可以考虑运用此种方法）- - - - - - -精选学习资料 - - -

21、 - - - - - - 方法：常数项拆成两个因数p 和q学习必备欢迎下载,这两数的和pq 为一次项系数x2pq xqpqxpxx2pq xpqxpxq分解因式x252x100例：分解因式x2x30补充点详解补充点详解100 分解成 p q 的形式,我们可以将 -30 分解成 p q 的形式,我们可以将使 p+q=-1, p q=-30, 我们就有 p=-6, 使 p+q=52, p q=100, 我们就有 p=2, q=5 或 q=-6,p=5 ； q=50或 q=2,p=50 ；pq xpq 可以分所以将多项式x2pq xpq 可以分所以将多项式x2解为 xpxq解为 xp xq2 x5

22、xx2xxx6-6 5x2x10050 50x2xx3052x3. 因式分解的一般步骤：假如多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法；如是四项或四项以上的多项式,通常采纳分组分解法,最终运用十字相乘法分解因式；因此,可以概括为：“ 四十字” ；“ 一提” 、“ 二套” 、“ 三分组” 、留意 ：因式分解肯定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否就就是不完全的因式分解,如题目没有明 确指出在哪个范畴内因式分解,应当是指在有理数范畴内因式分解,因此分解因式的结果,必需是名师归纳总结 一、几个 整式的积的形式；第 10 页,共 22 页例题解析- - - - - - -精选学习

23、资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载提公因式法提取公因式： 假如多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面 . 确定公因式的方法：系数 取多项式各项系数的最大公约数；字母 或多项式因式 取各项都含有的字母【例 1】分解因式： 或多项式因式 的最低次幂 . 15a ab2n1210ab ba2n n 为正整数 yz , n 为正整数 . 4a2 n1 bm6anm b1 m 、 n 为大于 1 的自然数 【巩固】 分解因式：xy 2 n1xzxy2n2yx2 n【例 2】先化简再求值,y xyxybxxy2 x ,其中xx2,y1 2. 求代数式的值：3x2 2 2

24、x1322x2 12x123 x ,其中x23【例 3】已知：bca2,求2 3a ac b 2c2a2 3b 1c2b2 c2 a 的值 . 333分解因式：x3xyz yza 2 x z zxy2 x y zxyxza . 公式法平方差公式：a22 bab ab公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反；每一项都可以化成某个数或式的平方形式；右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积b 2. 完全平方公式：a22 ab2 bab2a22 abb2 a左边相当于一个二次三项式；左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；名师归纳总结 - - - - - - -第

25、 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载左边中间哪一项这两个数或式的积的 2 倍,符号可正可负；右边是这两个数或式的和 或差 的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号打算. 一些需要明白的公式：a3b3a3b a2ab22 b第四章3 a3 b ab a2ab22 b3ab 3a2 3 a b3 ab3 b ab 3a332 a b3 abb相交线与平行线一、学问网络结构相交线相交线与平行线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线：在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线定义:_平行线及其判定平行线的判定判定1：同位角相等,两直线平行判定2：内

26、错角相等,两直线平行判定3：同旁内角互补,两直线平行判定4：平行于同一条直线的两直线平行性质1：两直线平行,同位角相等性质2：两直线平行,内错角相等平行线的性质性质3：两直线平行,同旁内角互补性质4：平行于同一条直线的两直线平行命题、定理平移二、学问要点名师归纳总结 - - - - - - -1、在同一平面内,两条直线的位置关系有两种：相交 和 平行 , 垂直 是相交的一种特别情形；2、在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线；假如两条直线只有一个公共点,称这两条直线相交；假如两条直线没有公共点,称这两条直线平行；3、两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是2 3 4 1

27、 邻补角；邻补角的性质：邻补角互补；如图 1 所示,与互为邻补角,图 1 与互为邻补角； + =180 ； + =180 ； + =180 ； + =180 ；4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角互为 对顶角；对顶角的性质： 对顶角相等； 如图 1 所示,与互为对顶角； = ； = ；第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5、两条直线相交所成的角中,假如有一个是直角或 90 时,称这两条直线相互垂直,其中一条叫做另一条的垂线；如图2 所示,当= 90 时,；a b 垂线的性质：2 1

28、 3 4 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；图 2 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中,垂线段最短；性质 3：如图 2 所示,当 ab 时,= = = = 90 ；点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 叫点到直线的距离；c 2 1 6、同位角、内错角、同旁内角基本特点：3 4 6 a 7 8 5 在两条直线 被截线 的 同一方,都在第三条直线 截线 的 同一侧,这样 b 图 3 的两个角叫 同位角；图 3 中,共有 对同位角：与 是同位角；与 是同位角；与 是同位角；与 是同位角；在两条直线 被截线 之间 ,并且在第三条直线 截线 的 两侧,这样的两

29、个角叫 内错角；图 3 中,共有 对内错角：与 是内错角；与 是内错角；在两条直线 被截线 的 之间,都在第三条直线 截线 的 同一旁,这样的两个角叫 同旁内角；图 3 中,共有 对同旁内角：与 是同旁内角；与 是同旁内角；7、平行公理 ：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；名师归纳总结 平行公理的推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行；第 13 页,共 22 页平行线的性质 ：4 所示,假如a b,c 2 3 4 1 6 7 8 5 性质 1：两直线平行,同位角相等；如图a 就 = ； = ； = ； = ；图 4 b 性质 2：两直线平行,内错角相等；如图4 所示,假如a b,就 = ； = ；性质 3：两直线平行,同旁内角互补；如图4 所示,假如a b,就 + =180 ； + =180 ；性质 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；假如a b,a c