2022年挑战中考数学压轴题3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 如图 1,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M 的抛物线yax2 bx（a0）经过点 A和 x 轴正半轴上的点B,AOBO2, AOB120 （1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM,求 AOM 的大小；（3）假如点 C 在 x 轴上,且ABC 与 AOM 相像,求点C 的坐标图 1 2. 如图 1,已知抛物线 y 1 x 2 1 b 1 x b（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别4 4 4交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧）,与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 _,点 C 的坐标为 _（用含 b 的代

2、数式表示） ；（2）请你探究在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB 的面积等于2b,且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？假如存在,求出点 明理由；P 的坐标；假如不存在,请说（3）请你进一步探究在第一象限内是否存在点 Q,使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相像（全等可看作相像的特别情形）？假如存在,求出点 Q 的坐标；如 果不存在,请说明理由图 1 3. 如图 1,已知抛物线的方程C1：y1 mx2xm m0与 x 轴交于点 B、C,与y 轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧（1）如抛物线C1 过点 M2, 2,求实数 m 的值；H,使得 BHEH

3、 最小,求出点H（2）在（ 1）的条件下,求BCE 的面积；（3）在（ 1）的条件下,在抛物线的对称轴上找一点的坐标；（4）在第四象限内,抛物线C1 上是否存在点F,使得以点B、C、 F 为顶点的三角形与 BCE 相像？如存在,求m 的值；如不存在,请说明理由图 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 如图 1,在 Rt ABC 中, A90 ,AB6,AC 8,点 D 为边 BC 的中点, DEBC 交边 AC 于点 E,点 P 为射线 AB 上的一动点, 点 Q 为边 AC 上的一动点, 且 PDQ 90

4、（1）求 ED、 EC 的长；（2）如 BP2,求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F,如 PDF 为等腰三角形,求 BP 的长图 1 备用图5. 如图 1,抛物线 yax2bxc 经过 A1,0、B3, 0、C0 ,3三点,直线l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点M,使 MAC 为等腰三角形,如存在,直接写出全部符合条件的点 M 的坐标；如不存在,请说明理由6.如图 1,点 A 在 x 轴上, OA4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转（1）求点

5、 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；120 至 OB 的位置名师归纳总结 （3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等第 2 页,共 10 页腰 三 角 形 ？ 如 存 在 , 求 点P的 坐 标 ； 如 不 存 在 , 请 说 明 理 由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 1 1 2 37. 如图 1,抛物线 y x x 4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧）,与 y4 2轴交于点 C,连结 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作菱形 BDEC ,点 P 是 x

6、 轴上的一个动点,设点P 的坐标为 m, 0,过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时,直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、 N摸索究 m 为何值时,四边形 CQMD 是平行四边形,此时,请判定四边形 CQBM 的外形,并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时,是否存在点 请直接写出点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由Q,使 BDQ 为直角三角形,如存在,8. 如图 1,抛物线y3x23x3与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧）,与 y84轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设

7、D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当ACD 的面积等于ACB 的面积时,求点 D 的坐标；（3）如直线 l 过点 E4, 0,M 为直线 l 上的动点,当以 角形有且只有三个时,求直线 l 的解析式A、B、M 为顶点所作的直角三名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 如图 1,抛物线yx22x3与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）,与 y轴相交于点 C,顶点为 D（1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结 BC,与抛物线的对称轴交于点 E,点 P 为线段 BC 上的

8、一个动点,过点 P 作PF /DE 交抛物线于点 F,设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PF 的长,并求出当 m 为何值时,四边形 PEDF 为平行四边形？设 BCF 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系图 1 10. 如图 1,二次函数yx2pxqp0 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C（0, 1）, ABC 的面积为5 4ABC 的外接圆有公共点,（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点M（0,m）作 y 轴的垂线, 如该垂线与求 m 的取值范畴；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D,使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角名师归

9、纳总结 梯形？如存在,求出点D 的坐标；如不存在,请说明理由第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1. （1）如图 2,过点 A 作 AHy 轴,垂足为H在 Rt AOH 中, AO2, AOH 30 ,所以 AH 1,OH 3 所以 A 1, 3 A 1, 3,可得由于抛物线与x 轴交于 O、B2,0两点,设yaxx2,代入点a3x 图 2 3所以抛物线的表达式为y3x x23x223333（2）由y32 x2 3x3x2 13,33333 3得抛物线的顶点M 的坐标为1,3所以tanBOM3所以 BOM 30 所以 AOM150

10、 （3）由 A 1,3 、B2,0、M1,3,3得tanABO3,AB23,OM2333所以 ABO30 ,OA3OM因此当点 C 在点 B 右侧时, ABC AOM 150 ABC 与 AOM 相像,存在两种情形：,当BAOA3时,BCBA2 32此时 C4,0BCOM33,当BCOA3时,BC2 36此时 C8,0 3BA3BAOM2.（1）B 的坐标为 b, 0,点 C 的坐标为 0, b 4（2）如图 2,过点 P 作 PDx 轴,PEy 轴,垂足分别为因此 PDPE设点 P 的坐标为 x, x 如图 3,联结 OPD、E,那么 PDB PEC所以 S 四边形 PCOBS PCOS P

11、BO1 2b x 41b x5bx2b28解得x16所以点 P 的坐标为 16 16 ,5 55（3）由 y 1 x 2 1 b 1 x b 1 x4 4 4 4如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形1 x b,得 A1, 0,OA 1OAQC,那么OQC QOA当BA QAQA,即QA2BA OA 时, BQA QOAOA所以 b 2b 1解得 b 8 4 34如图 5,以 OC 为直径的圆与直线所以符合题意的点Q 为 1,23 x1 交于点 Q,那么 OQC90 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 OC

12、Q QOA3. 当BA QAQA时, BQA QOA此时 OQB90 OA所以 C、Q、B 三点共线因此BOQA,即bQA解得QA4此时 Q1,4COOAb14（1）将 M2, 2代入y1 mx2xm ,得2142m 解得 m 4m（2）当 m4 时,y1x2x41x21x2所以 C4, 0, E0, 2442所以 S BCE1 BC OE 1 6 22 2（3）如图 2,抛物线的对称轴是直线6x1,当 H 落在线段 EC 上时, BH EH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么HP EOCP CO因此 HP 2解得 HP 3所以点 H 的坐标为3 4 2（4）如图 3,过点 B 作 EC

13、 的平行线交抛物线于1, 32F,过点 F 作 FF x 轴于 F由于 BCE FBC ,所以当CE BC,即 BC 2CE BF 时, BCE FBCCB BF设点 F 的坐标为 , 1 x 2 x m ,由 FF EO,得 m 1 x 2 x m 2m BF CO x 2 m解得 xm2所以 Fm2, 02由 COCE BFBF ,得m m24 mBF 4所以 BF m 4m m 42由 BC 2CE BF ,得 m 2 2m 24 m 4 m 4m整理,得 016此方程无解如图 4,作 CBF 45 交抛物线于F,过点 F 作 FFx 轴于 F,由于 EBC CBF ,所以BE BC,即

14、 BC 2BE BF 时, BCE BFCBC BF在 Rt BFF中,由 FF BF,得1 x 2 x m x 2m解得 x2m所以 F 2 m ,0所以 BF2m 2,BF 22 m 2由 BC 2BE BF ,得 m 2 22 2 22 m 2解得 m 2 2 2综合、,符合题意的 m 为 2 2 2 4. （1）在 Rt ABC 中, AB6,AC8,所以 BC10在 Rt CDE 中, CD 5,所以 ED CD tan C 5 34（2）如图 2,过点 D 作 DM AB,DN AC,垂足分别为 ABC 的两条中位线,DM 4, DN315,EC 254 4M、N,那么 DM 、D

15、N 是由 PDQ 90 , MDN 90 ,可得 PDM QDN 因此 PDM QDN名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以PMDM4所以QN3PM ,PM4QN QNDN343如图 3,当 BP2,P 在 BM 上时, PM1此时QN3PM3所以CQCNQN431934444如图 4,当 BP2,P 在 MB 的延长线上时,PM 5此时 QN 3 PM 15所以 CQ CN QN 4 15 314 4 4 4（3）如图 5,如图 2,在 Rt PDQ 中,tan QPD QDPD在 Rt ABC 中,tan C

16、BA 3所以 QPD CCA 4DN DM4由 PDQ 90 , CDE90 ,可得 PDF CDQ 因此 PDF CDQ 当 PDF 是等腰三角形时,CDQ 也是等腰三角形如图 5,当 CQCD 5 时, QNCQCN541（如图 3 所示）此时 PM 4 QN 4所以 BP BM PM 3 4 53 3 3 3如图 6,当 QCQD 时,由 cos C CH,可得 CQ 5 4 25CQ 2 5 8所以 QNCN CQ4 25 7（如图 2 所示）8 8此时 PM 4QN 7所以 BP BM PM 3 7 253 6 6 6不存在 DPDF 的情形这是由于DFP DQP DPQ （如图 5

17、,图 6 所示）如图 6,当 CDQ 是等腰三角形时,依据等角的余角相等,可以得到BDP 也是等腰三角形, PBPD 在 BDP 中可以直接求解 BP 2565. （1）由于抛物线与 x 轴交于 A1,0、 B3, 0两点,设 yax1x3,代入点 C0 ,3,得 3a3解得 a 1所以抛物线的函数关系式是 y x1x 3 x 22x3（2）如图 2,抛物线的对称轴是直线 x1当点 P 落在线段 BC 上时, PAPC 最小,PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由BH PH,BOCO,得 PHBH 2BO CO所以点 P 的坐标为 1, 2图 2 （3）点 M 的坐标为 1

18、, 1、1,6 、1,6 或1,0第（ 3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为 1,m在 MAC 中, AC 210,MC 21m3 2,MA 24m 2如图 3,当 MAMC 时, MA 2MC 2解方程 4m 21m32,得 m1此时点 M 的坐标为 1, 1名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 4,当 AM AC 时, AM2AC2解方程 4m210,得m6此时点 M 的坐标为 1,6 或1,6 210,得 m 0 或 6如图 5,当 CM CA 时, CM2 CA2解方程 1m36. 当 M1, 6

19、时, M、A、C 三点共线,所以此时符合条件的点 M 的坐标为 1,0（1）如图 2,过点 B 作 BC y 轴,垂足为 C在 Rt OBC 中, BOC 30 , OB4,所以 BC2,OC 2 3所以点 B 的坐标为 2, 2 3 （2）由于抛物线与 x 轴交于 O、A4, 0,设抛物线的解析式为 yaxx4,代入点 B 2,2 3 ,232a 6解得a36所以抛物线的解析式为 y（3）抛物线的对称轴是直线3 x x 4 3 x 2 2 3 x6 6 3x2,设点 P 的坐标为 2, y7. 当 OPOB 4 时, OP216所以 4+y 216解得y23当 P 在 2, 2 3 时, B

20、、 O、P 三点共线（如图2）当 BPBO4 时, BP 216所以42y2 3216解得y 1y 22 3当 PBPO 时, PB 2PO2所以42y2 322 22 y 解得y23综合、,点P 的坐标为 2,2 3 ,如图 2 所示（1）由y12 x3x41x2x8,得 A2,0, B8,0,C0,4424（2）直线 DB 的解析式为y1x42由点 P 的坐标为 m, 0,可得 M m , 1 m 4,Q m ,2所以 MQ 1 m 4 1 m 2 3 m 4 1 m 2m2 4 2 4当 MQDC 8 时,四边形 CQMD 是平行四边形12 m3m4428解方程 1m 2m 8 8,得

21、m4,或 m0（舍去）4此时点 P 是 OB 的中点, N 是 BC 的中点, N4,2,Q4,6所以 MN NQ4所以 BC 与 MQ 相互平分所以四边形 CQBM 是平行四边形（3）存在两个符合题意的点Q,分别是 2,0,6, 4名师归纳总结 设点 Q 的坐标为 ,1x2x8BH1所以41 4x 82xx81第 8 页,共 10 页4如图 3,当 DBQ 90 时,QGxGBHD22解得 x6此时 Q6,4如图 4,当 BDQ 90 时,QGDH2所以1x2824GDHBx解得 x 2此时 Q2,0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8.（1）由y3

22、x23x33x4x2,x 1848得抛物线与x 轴的交点坐标为A 4, 0、B2, 0对称轴是直线（2） ACD 与 ACB 有公共的底边 AC,当 ACD 的面积等于ACB 的面积时, 点 B、D 到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D,在 AC 的另一侧有对应的点 D设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G,与 AC 交于点 H由 BD/AC,得 DBG CAO所以 DG CO 3BG AO 4所以 DG 3BG 9,点 D 的坐标为 1, 94 4 4由于 AC/BD,AG BG,所以 HG DG而 DHDH ,所以 DG3DG 27所以 D的坐标为

23、1, 27 4 4图 2 图 3 （3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,这两条垂线与直线 l 总是有交点的,即 2 个点 M以 AB 为直径的 G 假如与直线 l 相交,那么就有 2 个点 M；假如圆与直线 l 相切,就只有 1 个点 M 了联结 GM ,那么 GMl在 Rt EGM 中, GM3,GE5,所以 EM4在 Rt EM 1A 中, AE8,tan M EA M A 3,所以 M 1A6AE 4所以点 M 1 的坐标为 4, 6,过 M 1、E 的直线 l 为 y 3 x 34依据对称性,直线 l 仍可以是 y 3 x 349. （1）A（ 1,0）,B（ 3,0）, C（0,

24、3）抛物线的对称轴是 x1（2）直线 BC 的解析式为 y x3把 x1 代入 y x 3,得 y2所以点 E 的坐标为（ 1,2）把 x1 代入yx22x3,得 y4所以点 D 的坐标为（ 1,4）因此 DE=20,由于 PF/DE,点P 的横坐标为m,设点P 的坐标为m ,m3,点F 的坐标为m22m3,因此FPm22m3 m3m23mm 2当四边形PEDF 是平行四边形时,DE=FP 于是得到m23 m2解得m 12,1（与点 E 重合,舍去） 因此,当 m=2 时,四边形PEDF 是平行四边形时设直线 PF 与 x 轴交于点 M,那么 OM+BM =OB=3因此名师归纳总结 SSBCF

25、SBPFSCPF21FPOM1FPBM第 9 页,共 10 页221m23m 33 2m9 2m2m 的变化范畴是0m3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10.（1）由于 OC1, ABC 的面积为5 ,所以 AB45 251解设点 A 的坐标为（ a,0）,那么点 B 的坐标为（ a5 , 0）2设抛物线的解析式为yxa xa5,代入点 C（0,1）,得aa22得a1或a22y 轴右侧因由于二次函数的解析式yx2pxq中,p0,所以抛物线的对称轴在此点 A、B 的坐标分别为1,0,2 0,3x1因此 AOC COB所2所以抛物线的解析式为yx1x2x

26、222OAOC（2）如图 2,由于OAOB1,OC21,所以OCOB AB以 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,外接圆的直径为因此 m 的取值范畴是5m5 44（3）设点 D 的坐标为 x , x 1 x 2 2如图 3,过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于D,过点 D 作 DEx 轴于 E名师归纳总结 由于tanDABtanOBC,所以DECO1因此x1x2 1解得第 10 页,共 10 页21AEBO22xx5 5 3此时点 D 的坐标为 , 2 2 2过 点 B 作 AC 的 平 行 线 交 抛 物 线 于2D , 过 点D作DF x 轴 于F 因 为t anDB Ft anCA O,所以DFCO2因此x1x2 2解得x5此2BFAOx22时点 D 的坐标为59,2时,以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直综上所述,当D 的坐标为5,3或59,222角梯形- - - - - - -