2022年挑战中考数学压轴题2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2022年福州市中考第21 题满分解答（1）QB82t,PD4 t 3（2）如图 3,作 ABC 的平分线交形 PDBQ 是菱形CA 于 P,过点 P 作 PQ/AB 交 BC 于 Q,那么四边过点 P 作 PEAB,垂足为 E,那么 BEBC8在RtABC中,AC6,BC8,所以AB10图 3 在 Rt APE 中,cosAAE23,所以t10APt53M （62t ,t）在直当 PQ/AB 时,CQ CBCP,即CQ610解得CQ323CA896所以点 Q 的运动速度为3210169315（3）以

2、C 为原点建立直角坐标系如图 4,当 t0 时, PQ 的中点就是AC 的中点 E3,0如图 5,当 t4 时, PQ 的中点就是PB 的中点 F1,4直线 EF 的解析式是y 2x6如图 6,PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（62t ,t）体会证,点线 EF 上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长, EF 2 5 图 4 图 5 图 6 考点舒展 第（ 3）题求点 M 的运动路径仍有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时, PQ 的中点为 2,2设点 M 的运动路径的解析式为 yax2bxc,代入 E3,0、F1,4和2,2,得9a3 bc0,26 题abc4,解得 a

3、0,b 2,c64a2 bc2.所以点 M 的运动路径的解析式为y 2x6例 2 2022年烟台市中考第满分解答名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）A1, 4由于抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为yax124,代入点 C3, 0,可得 a 11 2t21t2t 所以抛物线的解析式为y x12 4 x2 2x3（2）由于 PE/BC,所以APAB2因此PE1APPEBC2所以点 E 的横坐标为11t 21 42 t 将x11t 代入抛物线的解析式,y x12442所以点 G 的纵坐标为412 t 于是得到GE4

4、1t24t444因此SACGSAGESCGE1GE AFDF1t2t1t21244所以当 t1 时, ACG 面积的最大值为1（3）t20或t208 513考点舒展第（ 3）题的解题思路是这样的：由于 FE /QC,FEQC,所以四边形FECQ 是平行四边形 再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H,那么四边形EHCQ 也是平行四边形FECQ 是否为菱形,依据EQCQ 列关再依据 FQCQ 列关于 t 的方程,检验四边形于 t 的方程,检验四边形EHCQ 是否为菱形40（舍去）E11t,4t ,F11t, 4,Q3, t ,C3,022224t22 t 如图 2,当 FQCQ 时, FQ2CQ

5、2,因此1t2t2208 5（舍去）整理,得t240 t800解得t 1208 5,如图 3,当 EQCQ 时, EQ2CQ2,因此1t2242 22 t 20所以t120,t2整理,得13 t272 t8000 13 t20t4013图 2 图 3 例 3 2022年上海市中考第24 题满分解答名师归纳总结 （1）当 x 0 时,y3x33,所以点 A 的坐标为 0,3,OA33将y3第 2 页,共 26 页4如图 2,由于 MO MA,所以点 M 在 OA 的垂直平分线上, 点 M 的纵坐标为22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代入y3x,得 x

6、 1所以点 M 的坐标为1,3因此AM13222c（2）由于抛物线yx2bxc 经过 A0,3、M3 1, 2,所以c3,c3.解得b5,1b223所以二次函数的解析式为yx25x32（3）如图 3,设四边形ABCD 为菱形,过点A 作 AECD ,垂足为 E在 Rt ADE 中,设 AE4m, DE3m,那么 AD5m32因此点 C 的坐标可以表示为4m,32m将点 C4m,32m代入yx25x3,得2m16m210m3解得m1 2或者 m0（舍去）因此点 C 的坐标为（ 2,2）图 2 图 3 考点舒展假如第（ 3）题中,把“ 四边形ABCD 是菱形” 改为“ 以A、B、C、D 为顶点的四

7、边形是菱形” ,那么仍存在另一种情形：如图 4,点 C 的坐标为7 27 ,4 16图 4 例 4 2022年江西省中考第24 题满分解答名师归纳总结 （1）抛物线 c2的表达式为y3 x23第 3 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）抛物线 c1：y3x23与 x 轴的两个交点为 1,0、1,0,顶点为 0,3 抛物线 c2：y 3 x 23 与 x 轴的两个交点也为 1,0、1,0,顶点为 0, 3 抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度后,顶点 M 的坐标为 m , 3,与 x 轴的两个交点为A 1 m ,0、B 1 m ,0

8、,AB2抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后,顶点 N 的坐标为 , 3,与 x 轴的两个交点为D 1 m ,0、E 1 m ,0所以 AE1m 1m21mB、 D 是线段 AE 的三等分点,存在两种情形：情形一,如图2,B 在 D 的左侧,此时AB1AE2,AE 6所以 21m6解得3m2m情形二,如图3,B 在 D 的右侧,此时AB2AE2,AE 3所以 21m3解得31 2图 2 图 3 图 4 假如以点A、 N、E、M 为顶点的四边形是矩形,那么AEMN 2OM 而 OM2m23,所以 41m24m 23解得 m1（如图 4）考点舒展第（ 2）题,探求矩形ANEM ,也可以用几何说理

9、的方法：在等腰三角形ABM 中,由于 AB2,AB 边上的高为3,所以ABM 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时, B、 D 两点重合由于起始位置时BD 2,所以平移的距离m 123 题例 5 2022年河南省中考第满分解答名师归纳总结 1 由于抛物线与x 轴交于 A 4,0、C2,0两点,设yax4x2代入点B0,第 4 页,共 26 页4,求得a1所以抛物线的解析式为y1x4x21x2x42222如图 2,直线 AB 的解析式为y x 4过点 M 作 x 轴的垂线交AB 于 D,那么MDm412 mm41m22 m所以22因此当mS21S MDA S MDB

10、MD OA2时, S 取得最大值,最大值为m24m m2 2443 假如以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形,那么PQ/OB,PQOB 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设点 Q 的坐标为 ,x ,点 P 的坐标为 ,1x2x422 52当点 P 在点 Q 上方时,1x2x4x4解得x2此时点 Q 的坐标为 22 5,22 5 （如图 3）,或 22 5,22 5（如图 4）当点 Q 在点 P 上方时, x 1x 2x 4 42解得 x 4 或 x 0（与点 O 重合,舍去）此时点Q 的坐标为 4,4 （如图 5）图 3 图 4 图 5

11、考点舒展 在此题情境下,以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图 6,Q2,2；如图 7,Q2,2；如图 8,Q4,4图 6 图 7 图 8 例 6 2022年山西省中考第26 题满分解答1如图 2,作 BHx 轴,垂足为H,那么四边形BCOH 为矩形, OH CB3在 Rt ABH 中, AH3,BA 3 5 ,所以 BH6因此点 B 的坐标为 3,6名师归纳总结 2 由于 OE2EB,所以xE2xB2,yE2y B4,E2,44.解得k1,第 5 页,共 26 页33设直线 DE 的解析式为ykxb,代入 D0,5,E2,4,得b5,2 kb2- - - - - - -精

12、选学习资料 - - - - - - - - - b5所以直线DE 的解析式为y1x523 由 y 1x 5,知直线 DE 与 x 轴交于点 F10,0,OF 10,DF 5 5 2如图 3,当 DO 为菱形的对角线时,MN 与 DO 相互垂直平分, 点 M 是 DF 的中点 此时点 M 的坐标为 5,5 2,点 N 的坐标为 5,5 2N 的坐标如图 4,当 DO 、DN 为菱形的邻边时,点N 与点 O 关于点 E 对称,此时点为4,8如图 5,当 DO 、DM 为菱形的邻边时,NO5,延长 MN 交 x 轴于 PPO由 NPO DOF ,得NP DOPO OFNO DF,即NPPO5解得NP

13、5,5105 52 5此时点 N 的坐标为 2 5,5 图 4 图 3 考点舒展假如第（ 3）题没有限定点N 在 x 轴上方的平面内,那么菱形仍有如图6 的情形图 5 图 6 例 7 2022年福州市中考第21 题满分解答（1）BE、PE、BF 三条线段中任选两条名师归纳总结 （2）如图 2,在 Rt CEH 中, C 60 , EC x,所以EH23x由于 PQFE第 6 页,共 26 页2BE4x,所以S 平行四边形EFPQPQEH3x 4x3x23 x22（3）由于S 平行四边形EFPQ3x223 x3（ x22 2）23,所以当x2 时,2平行四边形EFPQ 的面积最大- - - -

14、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时 E、F、P 分别为ABC 的三边 BC、AB、AC 的中点, 且 C、Q 重合, 四边形 EFPQ是边长为 2 的菱形（如图3）图 3 图 2 过点 E 点作 EDFP 于 D,就 ED EH3 2 个时, 0r3 ；如图 4,当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是如图 5,当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是4 个时, r3 ；如图 6,当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是6 个时,3 r2；如图 7,当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是3 个时, r2 时；0 个

15、时, r2 时图 6 如图 8,当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是图 4 图 5 图 7 图 8 考点舒展名师归纳总结 此题中 E 是边 BC 上的动点, 设 ECx,假如没有限定0x2,那么平行四边形EFPQ第 7 页,共 26 页的面积是如何随x 的变化而变化的？EFPQ 也就不存在了事实上,当x2 时,点 P 就不存在了,平行四边形因此平行四边形EFPQ 的面积随 x 的增大而增大- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8 2022年江西省中考第24 题满分解答（1）A （ 1,0）,B（ 3,0）, C（0,3）抛物线的对称轴是

16、 x 1（2）直线 BC 的解析式为 y x3把 x1 代入 y x 3,得 y2所以点 E 的坐标为（ 1,2）0 ,把 x1 代入yx22 x3,得 y4所以点 D 的坐标为（ 1,4）因此 DE=2由于 PF/DE,点P 的横坐标为m,设点P 的坐标为m ,m3 ,点F 的坐标为m22 m3 ,因此FP2 m2m3 m3 2 m3 mm 2当四边形PEDF 是平行四边形时,DE=FP 于是得到m23m2解得m 12,1（与点 E 重合,舍去） 因此,当 m=2 时,四边形PEDF 是平行四边形时设直线 PF 与 x 轴交于点 M,那么 OM+BM =OB=3因此SSBCFSBPFSCPF

17、21FPOM1FPBM图 3 221m23m 33m9 2m22m 的变化范畴是0m3图 2 考点舒展在此题条件下,四边形PEDF 可能是等腰梯形吗？假如可能,求m 的值；假如不行能,请说明理由如图 4,假如四边形PEDF 是等腰梯形,那么DG=EH,因此yDyFyPy E1于是42 m2m3 m3 2解得m 10（与点 CE 重合,舍去）,m 2（与点 E 重合,舍去） 名师归纳总结 因此四边形PEDF 不行能成为等腰梯形第 8 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 4 1.5 因动点产生的梯形问题24 题例 1 2022年上海市松江

18、区中考模拟第思路点拨1这道题的最大障碍是画图,画出对称轴就可以了A、B、C、D 四个点必需画精确,其实抛物线不必画出,2抛物线向右平移, 不变的是顶点的纵坐标,不变的是 D、P 两点间的垂直距离等于 73已知 DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、P 两点间的垂直距离等于 7,那么点 P 向右平移到直线 x3 时,就停止平移满分解答得（1）直线 y3x3 与 x 轴的交点为A1,0,与 y 轴的交点为B0,3将 A1,0、B0,3分别代入 yax22xc,a23.c0,解得a1,cc3.所以抛物线的表达式为yx 22x3对称轴为直线x 1,顶点为 1,4（2）如图 2,点 B 关于直线

19、 l 的对称点 C 的坐标为 2,3由于 CD /AB,设直线 CD 的解析式为 y3xb,代入点 C2,3,可得 b3所以点 D 的坐标为（ 0,3）过点 P 作 PHy 轴,垂足为H,那么 PDH DPE 由tanDPE3,得tanPDHPH37DH7而 DH 7,所以 PH3因此点 E 的坐标为（ 3,6）名师归纳总结 所以S 梯形BDEP1 BD2EP PH24第 9 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 图 3 考点舒展第（ 2）用几何法求点 D 的坐标更简便：由于 CD /AB,所以 CDB ABO因此BCOA1所以 B

20、D3BC6,OD3因此 D（0,3）BDOB3例 2 2022年衢州市中考第24 题思路点拨1假如四边形 ABPM 是等腰梯形,那么 AB 为较长的底边,这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形,AB 边分成的 3 小段,两侧的线段长线段2 AOB 与 COD 重叠部分的外形是四边形 EFGH ,可以通过割补得到,即OFG减去OEH3求 OEH 的面积时,假如构造底边 12OH 上的高 EK,那么 Rt EHK 的直角边的比为4设点 A移动的水平距离为m,那么全部的直角三角形的直角边都可以用xm 表示满分解答（1）将 A1,2、O0,0、C2,1分别代入 yax2bxc,得aabc

21、2,1.解得a3,b7,c0所以y32 x7xc0,c2222ABPM 是等腰42 b（2）如图 2,过点 P、M 分别作梯形ABPM 的高 PP、MM ,假如梯形梯形,那么AM BP,因此 yAy MyPyB27x直线 OC 的解析式为y1x ,设点 P 的坐标为 ,1x,那么M x ,32222解方程23x27x1x ,得x 12,x 222223x2 的几何意义是P 与 C 重合,此时梯形不存在所以P2 1 , 3 3图 2 图 3 （3）如图 3, AOB 与 COD 重叠部分的外形是四边形EFGH ,作 EK OD 于 K名师归纳总结 设点 A移动的水平距离为m,那么 OG1 m,

22、GBm第 10 页,共 26 页在 Rt OFG 中,FG1OG11m所以SOFG11m2224在 Rt AHG 中, AG2m,所以HG1A G12m11m 222所以OHOGHG1m 11m3m 22在 Rt OEK 中, OK 2 EK；在 Rt EHK 中, EK 2HK ；所以 OK 4HK- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此OK4 3OH43m2 m所以EK1OK1m1m123322所以SOEH1 2OHEK13m m3mm1 4224于是SS1 41m23m21m2OFGSOEH422228由于 0m1,所以当m1时, S取得最大值,最

23、大值为328考点舒展第（ 3）题也可以这样来解：设点A的横坐标为a由直线 AC：y x3,可得 Aa, a3由直线 OC：y1x ,可得F a ,1a H3 a23,022由直线 OA：y2x 及 Aa, a3,可得直线OA：y2x3a3,由直线 OC 和直线 OA可求得交点E2a2,a1由 E、F、G、H 4 个点的坐标,可得例 3 2022 年北京市海淀区中考模拟第 24 题答案（1）抛物线的解析式为 y x 2 2x,直线的解析式为 y2x（2）如图 1,当 P 为 OA 的中点时,PQ 的长度取得最大值为 4（3）如图 2,假如四边形 AOMN 是梯形,那么点 N 的坐标为 3,3,梯

24、形 AOMN 的面积为 9图 1 图 2 例 4 2022年义乌市中考第24 题思路点拨1第（ 2）题可以依据对边相等列方程,也可以依据对角线相等列方程,但是方程的解都要排除平行四边形的情形2第（ 3）题重叠部分的外形分为三角形和梯形两个阶段,临界点是 PO 的中点满分解答名师归纳总结 （1）设抛物线的解析式为ya x2 4k ,代入A（ 2, 0）、C0,12 两点,得第 11 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 ak0,解得a1,16 ak12.k4.所以二次函数的解析式为 y x 4 2 4 x 2 8 x 12,顶点 P 的坐

25、标为（ 4, 4）2（2）由 y x 8 x 12 x 2 x 6,知点 B 的坐标为（ 6,0）假设在等腰梯形 OPBD ,那么 DPOB6设点 D 的坐标为 x,2x2 2 2由两点间的距离公式,得 x 4 2 x 4 36解得 x 或 x 2如图 3,当 x 2 时,四边形 ODPB 是平行四边形5所以,当点 D 的坐标为 2 ,4时,四边形 OPBD 为等腰梯形5 5图 3 图 4 图 5 （3）设 PMN 与 POB 的高分别为PH、PG 3t t3t在 Rt PMH 中,PM2t , PHMHt 所以P G2t4在 Rt PNH 中, PHt ,NH1PH1t所以MN3t222 如

26、图 4,当 0t2 时,重叠部分的面积等于PMN 的面积此时S1224如图 5,当 2t4 时,重叠部分是梯形,面积等于PMN 的面积减去PDC 的面积由于SP DCP G2,所以SP DC2tt423t23 2 t442SPMNPH4此时S3t232t429t212t12444考点舒展第（ 2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一,依据对角线相等画圆以P 为圆心, OB 长为半径画圆,与直线y2x 有两个交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点方法二,依据对边相等画圆以B 为圆心, OP 长为半径画圆,与直线y2x 有两个交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点例

27、5 2022 年杭州市中考第 24 题思路点拨名师归纳总结 1第（ 1）题求点 M 的坐标以后, Rt OCM 的两条直角边的比为12,这是此题的基第 12 页,共 26 页本背景图2第（ 2）题中,不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等,依据数形结合,列关于 t 与 x 的比例式,从而得到t 关于 x 的函数关系3探求自变量x 的取值范畴,要考虑梯形不存在的情形,排除平行四边形的情形4梯形的两底的长度之比为12,要分两种情形争论把两底的长度比转化为QH 与- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MO 的长度比满分解答1x21由于 ABOC 4,A、B 关

28、于 y 轴对称,所以点A 的横坐标为2将 x 2 代入 y1,得 y2所以点 M 的坐标为（ 0,2）4HQ HP1 22 如图 2,过点 Q 作 QH x 轴,设垂足为 H,就 HQ y x 1,HPx t 4因 为 CM /PQ , 所 以 QPH MCO 因 此 tan QPH tan MCO , 即OM1所以1x211xt整理,得t1x2x2OC2422如图 3,当 P 与 C 重合时,t4,解方程41x2x2,得x152如图 4,当 Q 与 B 或 A 重合时,四边形为平行四边形,此时,x 2因此自变量x 的取值范畴是x15,且 x 2 的全部实数图 2 图 3 图 4 时t由于 s

29、inQPH sinMCO,所以HQ PQOM,即PQ CMHQ（如图 5）此CMOM当PQHQ1时,HQ1OM1解方程12 x11,得x0CM 2OM224当PQHQ2时,HQ2 OM4解方程1x214,得x2 3CMOM4如图 6,当x2 3时,t82 3；如图 6,当x2 3时,t82 3图 5 图 6 图 7 考点舒展名师归纳总结 此题情境下,以Q 为圆心、 QM 为半径的动圆与2x 轴有怎样的位置关系呢？2第 13 页,共 26 页设点 Q 的坐标为x ,1x21,那么QM2x1x2121x21444而点 Q 到 x 轴的距离为12 x14- - - - - - -精选学习资料 - -

30、 - - - - - - - 因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心 Q 到 x 轴的距离,圆 Q 与 x 轴相切例 6 2022年上海市奉贤区中考模拟第24 题思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式,设交点式比较简便2过 AOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交,可以确定存在三个梯形3用抛物线的解析式可以表示点 M 的坐标满分解答1由于 BC/x 轴,点 D 在 BC 上, C0,2,所以点 D 的纵坐标为 2把 y 2 代入2y x,求得 x3所以点 D 的坐标为 3,232由于抛物线与 x 轴交于点 O、A4,0,设抛物线的解析式为 yaxx4,代入 D 3,2,得 a 2所求的二次

31、函数解析式为 y 2x x 4 2x 2 8x 3 3 3 33 设点 M 的坐标为 x , 2x 2 8x3 3如图 2,当 OM /DA 时,作 MNx 轴, DQx 轴,垂足分别为 N、Q由 tanMON2 x 2 8 xtanDAQ ,得 3 3 2x由于 x0 时点 M 与 O 重合,因此 2x 82,解得 x7此时点 M 的坐标为（ 7,3 314）如图 3,当 AM /OD 时,由 tanMAN tanDOQ ,得 23 x 2 83 x 24 x 32 2 10由于 x4 时点 M 与 A 重合,因此 x,解得 x 1此时点 M 的坐标为 1, 3 3 3如图 4,当 DM /

32、OA 时,点 M 与点 D 关于抛物线的对称轴对称,此时点 M 的坐标为（1, 2）图 2 图 3 图 4 考点舒展名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第（ 3）题的、用几何法进行运算,依据是两直线平行,内错角的正切相等假如用代数法进行,运算过程比较麻烦以为例,先求出直线AD 的解析式,再求出直线 OM 的解析式,最终解由直线 OM 和抛物线的解析式组成的二元二次方程组例 7 2022 年广州市中考第 25 题思路点拨1依据 ABC 的面积和 AB 边上的高确定 字母表示AB 的长,这样就可以把两个点的坐标用一个2

33、数形结合,依据点 A、B、 C 的坐标确定 OA、OB、OC 间的数量关系,得到AOC COB,从而得到ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,AB 是它的外接圆直径,再依据对称性写出 m 的取值范畴3依据直角梯形的定义,很简洁确定符合条件的点 D 有两个, 但是求点 D 的坐标比较麻烦,依据等角的正切相等列方程相对简洁一些满分解答（1）由于 OC1, ABC 的面积为 5 ,所以 AB5 4 2设点 A 的坐标为（ a,0）,那么点 B 的坐标为（ a5 , 0）2设抛物线的解析式为 y x a x a 5 ,代入点 C（0,1）,得 a a 5 1解2 21得 a 或 a 22由于二次函数的解析式 y x 2px q 中,p 0,所以抛物线的