2022年浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 常考学问点及相应习题汇总一、棱锥1、正三棱锥定义 ：正三棱锥是锥体中底面是正三角形,锥；性质：1 底面是等边三角形；2 侧面是三个全等的等腰三角形；三个侧面是全等的等腰三角形的三棱3 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）；4. 常构造以下四个直角三角形（见图）：说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎全部元素；在正三棱锥运算题中,经常取上述 直角三角形；其实质是,不仅使空间问题平面化,而且使平面问题三角化,仍使已知元素 与未知元素集中于一个直角三角形中,利于解出；练习 1：1、三棱锥 A BCD的棱长全相等 , E是

2、AD 中点 , 就直线 CE与直线 BD 所成角的余弦值为 A3B3C33D162622、正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,就此三棱锥的体积为 A223B2C23D4233、侧棱长为2a 的正三棱锥其底面周长为9a,就棱锥的高为（）A、aB、2aC、3aD、3227a4、如图为正三棱柱的平面绽开图,该正三棱柱的各侧面都是正方形,对这名师归纳总结 个正三棱柱有如下判定：AB1/ BC1； AC 与 BC是异面直线；第 1 页,共 16 页AB 与 BC所成的角的余弦为 12 ； 4BC 与 1A1C垂直 . 其中正确的判定是_.- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

3、 - - - - 5、在正三棱锥PABC 中,AB6,PA5；（1）求此三棱锥的体积V ；（2）求二面角PABC 的正弦值；a, 侧面与底面成60 的二面角；6、正三棱锥 V-ABC的底面边长是求（ 1）棱锥的侧棱长（2）侧棱与底面所成的角的正切值；2、正四周体定义：正四周体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形,全部棱长都相等；它有 4 个面, 6 条棱, 4 个顶点；正四周体是最简洁的正多面体；正四周体与正三棱锥的关系：正四周体属于正三棱锥,但是正三棱锥只需要底面为正三角形,其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心,不需要四个面全等且都是等边三角形；因此,正四周体又

4、是特别的正三棱锥；性质：练习 2：名师归纳总结 1、在正四周体PABC中,假如 E、F分别为 PC 、 AB 的中点, 那么异面直线EF 与 PA第 2 页,共 16 页所成的角为B0 60 C0 45D0 30A0 90- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、正四棱锥定义：底面是正方形, 侧面为 4 个全等的等腰三角形且有公共顶点,顶点在底面的投影是底面的中心；三角形的底边就是正方形的边；性质： （1）正四棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）；（2）正四棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个

5、直角三角形,正棱锥的高、 侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；（3）正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等；（4）正四棱锥的侧面积： 假如正棱锥的底面周长为c,斜高为 h ,那么它的侧面积是s=1/2ch 练习 3：1、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为6:2,就侧面与底面的夹角为（）；（A）12（B）6（ C）4（D）32、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A 各侧面是正三角形 C 各侧面三角形的顶角为45 度 B 底面是正方形 D顶点究竟面的射影在底面对角线的交点上3、假如正四棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,就侧面与底面所成的

6、角等于（）A30B 45C60D754、在正四棱锥 PABCD中,如侧面与底面所成二面角的大小为 60 ,就异面直线 PA与 BC所成 角的正切值为；5、如正四棱锥全部棱长与底面边长均相等,求斜高与棱锥高之比相邻两个侧面所成二面角的大小；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、棱锥定义 ： 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥；概念： 棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥的对角面 ; （棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面）性质：

7、1棱锥截面性质定理及推论定理：假如棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相像,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比；推论 1：假如棱锥被平行于底面的平面所截,就棱锥的侧棱和高被截面分 成的线段比相等；推论 2：假如棱锥被平行于底面的平面所截,就截得的小棱锥与原棱锥的 侧面积之比也等于它们对应高的平方比,或它们的底面积之比；2一些特别棱锥的性质 侧棱长都相等的棱锥,它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的 圆心（外心）,同时侧棱与底面所成的角都相等；侧面与底面的交角都相等的棱锥,它的二面角都是锐二面角,所以顶点在 底面内的射影在底多边形的内部,并且它到各边的距离

8、相等即为底多边形的内 切圆的圆心（内心）,且各侧面上的斜高相等；假如侧面与底面所成角为 ,就 有 S底=S侧 cos；练习 41、三棱锥PABC中, PA底面 ABC ,ABC 是直角三角形,就三棱锥的三个侧面中）直角三角形有（A个B个C至多个D个或个）2、正 n 棱锥的侧面积是底面积的2 倍,就侧面与底面所成二面角的度数为（C6D与 n 的取值有关A3B23、假如一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下） 为 1:8:27 ,名师归纳总结 就这时棱锥的高被分成上、中、下三段之比为（）第 4 页,共 16 页（A） 1:321 :3332 B 1:3 2 :3 3 C1:

9、1 : 21 D1:1:1 34、已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分,就截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为 A.2 1 B.2 1 C.1 2 -1 D.1 3 2 -1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、三棱锥 V-ABC的三条侧棱两两为 300角,在 VA上取两点 M、N,VM6,VN8,用线绳由自 M 向 N 围绕一周,线绳的最短距离是 .6在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD底面 ABCD,PD=DC,E 为 PC 中点（1）求证： PA 平面 EDB（2）求 EB和底面 ABCD成角正切值P

10、E7如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD是平行四边形,CDABDPA底面 ABCD,且 PA=AD=2a,AB=a, ABC=60 （ 1）求证平面PDC平面 PACP（2）求异面直线PC与 BD 所成的角的余弦值AB C8、AB为圆 O的直径,圆 O在平面 内, SA , ABS=30 o,P 在圆周上移动（异于 A、B）,M为 A在 SP上的射影, 求证：三棱锥 SABP的各面均是直角三角形；（）求证： AM平面 SPB；9、三棱锥 V ABC的底面是腰长为5 底边长为 6 的等腰三角形,各个侧面都和底面成450的二面角,求三棱锥的高名师归纳总结 - - - - - - -第 5

11、页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 习题答案：练习 1： 1.A 2.C3.A 4. 5.339, 1346、解：（1）过 V 点作 V0面 ABC于点 0,VEAB 于点 E 三棱锥 VABC是正三棱锥O 为 ABC的中心60角 VEO=60就 OA=23a3a,OE=13a3a又侧面与底面成323326就在 Rt VEO中； V0=OEtan60 =3a3a62即侧棱长为21a在 Rt VAO中, VA=VO2AO2a2a27a 221 a431266练习 2： 1.C练习 3： 1.D 2.A 3.C 4. 2 5、（1）3 2；（2）-arccos1 ；3

12、38、略练习 4： 1、D 2、A 3、D 4、 D 510 6 、（2）arctan57（2）arccos579、解：过点 V 作底面 ABC的垂线,垂足为各个侧面和底面成 45 0 的二面角O V点 O为三角形 ABC的内心 设 OD x ,就有名师归纳总结 1 556 x164ADOBC第 6 页,共 16 页22 x 3 2VO为3三棱锥的高2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、棱柱定义： 有两个面平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱；两个相互平行的平面叫做棱柱的底面,其余各

13、面叫做棱柱的侧面；两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点,不在同一个面上的两个顶点的连线 叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高；棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面；分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱,画斜棱柱时,一般将侧棱 画成不与底面垂直；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；画直棱柱时,应将侧棱画成 与底面垂直；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；平行六面体 :底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体；长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体；对角线的求法： 由棱柱的三条棱长的平方的和的开方

14、；性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形,全部的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形；3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形；4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截 面都是矩形；练习题：1如图：在正三棱柱1ABCA 1B 1C1中,EBB 1,截面A 1EC侧面AC1. 求证：BEEB 1；如AAA 1B 1,求平面A1EC与平面A 1B 1C 1所成锐二面角的度数 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - -

15、- - - - - - - 2已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是边长为1 的正三角形,AA 1B 1AA 1 C 145,顶点 A 究竟面A 1B 1 C1和侧面B1C的距离相等,求此三棱柱的侧棱长及侧面积3、在正三棱柱 A1B1C1ABC中, AA1=AB=a, D是 CC1 的中点, F是 A1B的中点 . 求证： DF 平面 ABC；（） 求证： AFBD；4 已知：如图,直棱柱ABCAB的各棱长都相等,D 为 BC中点, CE CD于 E（1）求证： CE平面 ADC2求二面角 DAC C的平面角的大小名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料

16、 - - - - - - - - - 5、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1 的底面 ABC为等腰直角三角形,ACB90,AC=1, C点到 AB1 的距离为 CE=3 ,D 为 AB 的中点 . （1）求证： AB1平面 CED；2EC1B1（2）求异面直线AB1与 CD 之间的距离； （ 3）求二面角B1ACB 的平面角 .A 1C6、在直三棱柱ADBABCA 1B1C1 中, BC=A1C1,AC1A1B,M, N分别是 A1B1,AB的中点；（1）求证：面ABB1A1面 AC1M；（2）求证： A1BAM；（3）求证：面AMC 1 面 NB1C MB 1 C1A1ANBC答案：名师归纳

17、总结 1解：在截面A1EC内,过 E作EGA 1 C, G 是垂足第 9 页,共 16 页面A 1EC侧面AC1, EG侧面A1 C取 AC 的中点 F,连结 BF,FG,由 AB=BC,得BF AC 面ABC侧面A 1C, BF侧面AC ,得 BF EG BF、 EG确定一个平面,交侧面AC 于 FG 1BE/ 侧面A 1 C, BE FG, 四 边 形 BEGF 是 平 行 四 边 形 , BE = FG BE/ AA 1, FG/ AA 1,AA1 CFGC；AFFC,FG1AA 11BB 1,即BE1 BB 12,故BEBB122- - - - - - -精选学习资料 - - - -

18、- - - - - 分别延长 CE、C1B 1交于点 D,连结A1DEB 1/ CC1,EB 11BB 11CC 1DB 11DC1B 1C 1,又A 1B 1B 1 C1,222DA 1C 190,即DA 1A 1C 1A 1C1D上的射影,依据三垂线定理,得CC1面A 1C1B 1,即A 1C 1是A1C在平面DA 1A 1 CCA 1C1是二面角的平面角CA 1C145, 即所求二面角为CC 1AA 1A 1B 1A 1C1A 1C 1C90452解：作 AO平面 A1B1C1,O 为垂足（12） AA1B1=AA1C1=450O 在 C1A1B1 的平分线上 连结 A1O 并延长交 B

19、1C1 于 D1 点A1C1=A1B1A1D1B1C1A1A B1C1BB1 B1C1四边形 BB1C1C 为矩形 取 BC中点 D,连结 AD DD1DD1/BB 1B1C1DD1 又 B1C1 A1D1B1C1平面 A1D1DA平面 A1ADD1平面 B1C1CB 过 A 作 ANDD1,就 AN平面 BB1C1CAN=AO四边形 AA1D1D 为名师归纳总结 A1D1=DD1DD13 AA1C1M 第 10 页,共 16 页2AA 13 2S 侧21323163222224、2arcsin10 55、（1）略 ；（2）1；（3）arctan2 ；26、证明：（1）三棱柱ABC A1B1C

20、1 是直三棱柱AA1面 A1B1C1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BCA1C1, M是 A1B1 的中点C1MA1B1A 1C 1又 AA1A 1B 1A ,AA 1面AA1BB1AMB1CA1B1面A1ABB1,面ABB1A1面AC1MNB（2）A1BAC1,C1M面A1ABB1,A1BAM3M、N分别是A1 B1,AB的中点,四边形ANB1M是平行四边形,AMB 1N,AM平面NB1 C,由C 1M平面A1ABB1 同理可证CN平面A1ABB1,C 1MCN,C 1M平面NB1C又AMC 1MM,平面AMC1NB1C三、正方体、长方体练习题：

21、1.棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 DD1 与 BC1 之间的距离为 Aa B2a c2a D3a22正方体的棱长为,P 为 DD 的中点, O 为底面 ABCD 的中心,就 DD 与平面 PAO所成角的正切值为A2B2C22D以上皆非23设长方体的三条棱长分别为a,b,c,如其全部棱长之和为,一条对角线的长度为,体积为,就111为abcA11B4C11D24112114.长方体的表面积为2 22cm ,全部棱的总长度为24cm,就长方体的对角线的长度是 A.14cmB.11 cmC.12cmD.13cm5如图在正方形ABCDA1B1C1D1 中, M 是棱 D

22、D1 的中点, O 为底面 ABCD的中点, P 为棱 A1B1 上任意一点,就直线（）OP 与直线 AM 所成的角的大小为名师归纳总结 A4B3C2D与 P点位置有关第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6如图,在长方体ABCDA 1B 1C 1D1中,D1F1C1名师归纳总结 AB6 ,AD4,AA 13,分别过 BC、A 1D1A1E1B1第 12 页,共 16 页的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积DFC分别记为V 1VAEA 1DFD1,V3VB 1E 1BC 1F 1 C；AEB如V1:V2:V 31:4:1,就截

23、面A 1EFD1的面积为 A410B83C413D167如右图,正方体ABCDA 1B 1C 1D1中,E、F是异面线段A1D和 AC 的中点,就 EF 和BD 的关系是 1A相交不垂直B相交垂直C平行直线D异面直线8如图在正方形ABCD A 1B1C1D1 中,M 是棱 DD 1 的中点, O 为底面 ABCD的中点, P 为棱 A 1B 1 上任意一点, 就直线 OP 与直线 AM 所成的角的大小为 （）A4B3C2D与 P点位置有关9长方体全面积为24cm2,各棱长总和为24cm,就其对角线长为cm. 10正方体的表面积为m,就正方体的对角线长为11长方体ABCDA 1B 1C 1D1中

24、,ABAD1,BB 12, E 为BB 的中点1求证： AE平面A 1D1E；2求二面角EAD1A 1的正切值；3求三棱椎AC1D1E的体积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 在正方体ABCDA B C D 中,（1）求证：平面A BD平面ACC A ；（2）求直线A B 与平面ACC A 所成的角；A1DD1B1C1C13. 如图,在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,E、F分别是ABBB 、 CD 的中点 . （1）证明：AD D 1 F；（2）求直线 AE 与 D1 F 所成的角；（3） 证明：平面 AED 平面 A 1FD 1 .

25、14. 如图,在长方体 ABCD A B C D 中,1 1 1 1 AB AD 1AA ,点 G 为 CC 上的点,且 CG21 4CC ；（1）求证：CD 1平面 ADG ； （2）求二面角 CAGD 的大小（结果用反余弦B1C 1表示）；D 1A1CD名师归纳总结 AB第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15.已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E、F 分别是 D1D、 BD的中点, G 在棱 CD 上,且 CG =1CD（1）求证： EFB1C；（2）求 EF与 C1G 所成角的余弦值；4（3）求二面角 FE

26、GC1的大小（用反三角函数表示）16如图,在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别是 BB 、CD的中点 . （1）证明：ADD 1F2求直线 AE 与D1F所成的角；310、2m（3）证明：平面AED平面A 1FD1. 8 C 9.2答案： 1、A 2B 3A 4.A 5 C 6.C 7.D 211解（ 1）：A 1E2AE2（12） AA1=2 A1EAE又 AEA1D1 AE平面 A1D1E（2）取 AA1 中点 F,过 F作 FPAD1 FPE即为 E-AD1-A1 的平面角EF平面 AA1D1D FPAD1 EPAD1在 Rt AA1D1 中,可求PF5t

27、anFPEEF55FP（3） EF/C1D1 EF/平面 AC1D1 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - VA-C1D1E =VE-AC1D1 =VF-AC1D1 =VC 1-AFD11SAFD1C 1D1=1112 1=1F面DC ,1334612. 0 30 13. 900 14. arccos10 15. 1051arctan131716解：ABCDA 1B 1 C 1D1是正方体,AD面DC 又 1D1ADD 1FD1F 取 AB 中点 G,连结A1 G、FG易证GFD1A 1是平行四边形A 1 G/设A1

28、G与 AE 交于点 H,AHA （或其补角）是 1AE与D1F所成的角面 AEDE是BB 的中点,RtA1AGRt ABE,GA1AGAH,AHA 190 ,即 AE与D1F所成的角为90 由知ADD 1F,由得AED 1F,ADAEA,D1FD 1F面A 1FD1,面 AED面A 1FD1四、二面角1二面角l内一点 P 到平面,和棱 l 的距离之比为 1:3 : 2 ,就这个二面角的平面角是 _ 度2已知 E是正方体AC 的棱 BC 的中点,就二面角D1B 1EC1的正切值是（）A5B5C3D3223.如一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面小关系是 ,就这两个二面角的大名

29、师归纳总结 A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定A 到直线第 15 页,共 16 页4已知等边三角形ABC 的边长为1,沿 BC 边上的高将它折成直二面角后,点BC 的距离是（）D3 2A1 B14C2 24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5已知 E是正方体AC 的棱 BC 的中点,就二面角D1B 1EC1的正切值是（）A5lB5C3D3AlCDB226. 如图,二面角的平面角为 120 ,AC,BD,ACl ,BDl ,ACBD3,CD4；（1）求 AB 的长；（2）求直线 AB 与 CD所成的角；P ABCD中,底面 ABCD为正方形,7.

30、 如图,已知四棱锥侧面 PDC 为正三角形,且平面PDC底面 ABCD, E 为 PC 的中点 . （1）求证： PA/平面 EDB； （2）求证：平面 EDB平面 PBC； （3）求二面角 DPBC 的大小 .8. 如图,四棱锥 PABCD中, PB底面 ABCD,CDPD.底面 ABCD为直角梯形, AD BC,ABBC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA上,且 PE=2EA.1 求异面直线 PA与 CD所成的角；2 求证： PC 平面 EBD；3 求二面角 ABED 的大小（用反三角函数表示）.43 arctan343答案： 1900或 1500 2.B 3. B 4、 B 5、 B 6.名师归纳总结 7. arctan6 8. 0 60 arctan5第 16 页,共 16 页- - - - - - -