2022年热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案第一章热力学的基本规律；1.1 试求抱负气体的体胀系数, 压强系数和等温压缩系数解：已知抱负气体的物态方程为pVnRT,（1）由此易得1.8 满意pVn1VpnR1 , T（2）VTpV1pVnR1 , T（3）pTpVT1VT1nRT1 . p（4）VpVp2C 的过程称为多方过程,其中常数n 名为多方指数；试证明：抱负气体在多方过程中的热容量C 为n1C VC nn解：依据式（ 1.6.1 ）,多方过程中的热容量对于抱负气体,内能Cnlim T0QnUnpVn.（1）TTTU 只是温度 T 的

2、函数,UnCV,T所以将多方过程的过程方程式pVnC nC VpVn.（2）TC 与抱负气体的物态方程联立, 消去压强 p 可得TVn1C （常量）；（3）将上式微分,有1 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案Vn1dTn1 Vn2 TdV0,所以VnnV.（4）T1 T代入式（ 2）,即得CnC VpV1n1C V,（5）T nn其中用了式（ 1.7.8 ）和（ 1.7.9 ）；1.9 试证明：抱负气体在某一过程中的热容量 C 假如是常数,该过程肯定是多方过程

3、,多方指数 n C n C p；假设气体的定压热容量和定容热容量是常量；C n C V解：依据热力学第肯定律,有dU. Q.W.（1）对于准静态过程有. WpdV,对抱负气体有dUC dT,气体在过程中吸取的热量为.QC dT,因此式（ 1）可表为用抱负气体的物态方程pVCnC VdTpdV.Cp.C VvR 可得（2）vRT 除上式,并留意CnC VdTCpC VdV（3）TV将抱负气体的物态方程全式求微分,有dpdVndT.dV0.（4）pVT式（3）与式（ 4）联立,消去dT T,有 CCp（5）CnC VdppV2 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15

4、页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案令nC nC C,可将式（ 5）表为 V（6）C ndpndV0.假如Cp,pVC 和C 都是常量,将上式积分即得pVnC （常量）；（7）式（7）说明,过程是多方过程；1.12 假设抱负气体的 C p 和 C V 之比 是温度的函数,试求在准静态绝热过程中T 和 V 的关系,该关系式中要用到一个函数 F T ,其表达式为ln F T dT1 T解：依据式（ 1.8.1）,抱负气体在准静态绝热过程中满意用物态方程 pVC dTpdV0.pV 除,可得（1）nRT 除上式,第一项用nRT除,其次项

5、用（2）C dTdV V0.nRT利用式（ 1.7.8）和（ 1.7.9）,CpC VnR ,Cp,CV可将式（ 2）改定为将上式积分,假如1dT1dV0.（3）1TV是温度的函数,定义dT,（4）lnF T1T可得lnF T lnVC （常量）,（5）或F T VC （常量）；（6）3 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案式（6）给出当是温度的函数时, 抱负气体在准静态绝热过程中T 和 V 的关系；1.14 试依据热力学其次定律证明两条绝热线不能相交；解：假设

6、在 p V 图中两条绝热线交于 C 点,如下列图；设想一等温线与两条绝热线分别交于 A点和 B 点（由于等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样的等温线总是存在的） ,就在循环过程 ABCA中,系统在等温过程 AB中从外界吸取热量Q ,而在循环过程中对外做功W ,其数值等于三条线所围面积（正值） ；循环过程完成后,系统回到原先的状态；依据热力学第肯定律,有W Q ；这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了,这违反了热力学其次定律的开尔文说法,是不行能的；因此两条绝热线不行能相交；其次章 匀称物质的热力学性质2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：试证明其内能与体积无关. p

7、f V T ,解：依据题设,物质的物态方程具有以下形式：pf V T ,（1）故有pVf V.（2）T4 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案但依据式（ 2.2.7 ）,有UTTpVp ,（3）VT所以UTTf V p0.（4）V这就是说,假如物质具有形式为（只是温度 T 的函数 . 1）的物态方程,就物质的内能与体积无关,2.3求证： SH0; SU0.pV解：焓的全微分为令dH0,得dHHTdSVVdp.（1）S0.（2）pT内能的全微分为令dU0,得dUT

8、dSpdV.（3）Sp0.（4）VUT2.6 试证明在相同的压强降落下, 气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在 节流过程中的温度降落 . 解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数TS和TH描述. 熵函数S T ,p 的全微分为Tdp .ppdSSPdTSTp5 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案在可逆绝热过程中dS0,故有SSTTVP.（1）TpTpSPCpT最终一步用了麦氏关系式（焓H T ,p 的全微分为2.2.4 ）和式（ 2.2

9、.8 ）. 在节流过程中dH0dHHPdTHTdp .VpPV.（2）Tp,故有THHTTpTpHCTP最终一步用了式（ 2.2.10 ）和式（ 1.6.6 ）. 将式（ 1）和式（ 2）相减,得TSTHV0.（3）ppCp所以在相同的压强降落下,气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温 度降落 . 这两个过程都被用来冷却和液化气体 . 由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分,低温下移动部分的润滑技术是非常困难的问题,实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温,气体的初温必需低于反转温度 . 卡皮查（1934 年）将绝热膨胀和节流过程结合起来,先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下,

10、再用节流过程将氦液化 . 2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度 T 的函数,与比体积无关 . 解：依据习题 2.8 式（2）C VTT2pV,（1）VT2范氏方程（式（ 1.3.12 ）可以表为6 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案pnRT2 n a 2.V（2）Vnb由于在 V 不变时范氏方程的p 是 T 的线性函数,所以范氏气体的定容热容量只是 T 的函数,与比体积无关 . 不仅如此,依据 2.8 题式（ 3）我们知道, VC T V ,VC V ,V

11、 0TV2pVdV,式中的C V（3）V 0T2时范氏气体趋于抱负气体 . 令上式的V 0 ,V0就是抱负气体的热容量 . 由此可知,范氏气体和抱负气体的定容热容量是相同 的. 顺便提及,在压强不变时范氏方程的体积 2.8 题式（ 5）V 与温度 T 不呈线性关系 . 依据这意味着范氏气体的定压热容量是C VT2pV,（2）VT2T,p 的函数 . 第三章单元系的相变3.3试由C V0及pT0证明Cp0及pS0.VV解：式（ 2.2.12）给出CpC VVT2.（1）T稳固性条件（ 3.1.14）给出C V0,pT0,（2）V其中其次个不等式也可表为T1VT0,（3）Vp7 / 15名师归纳总

12、结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案故式（ 1）右方不行能取负值 . 由此可知CpC V0,（4）其次步用了式（ 2）的第一式 . 依据式（ 2.2.14）,有V由于C C恒正,且C V1,故SVSpSC V.（5）VCpTpTT0,（6）CpVpp其次步用了式（ 2）的其次式 . 3.4求证：VT p.（1）（a）TV nST V;（b）pt nnn解：（a）由自由能的全微分（式（3.2.9）dFSdTpdVdn及偏导数求导次序的可交换性,易得TV nST V.3.2.2）（2

13、）n这是开系的一个麦氏关系. （3）（a）类似地,由吉布斯函数的全微分（式（dGSdTVdpdn可得这也是开系的一个麦氏关系. pT nVT p.（4）n3.5求证：8 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案（T,解：自由能 FUTS是以UT VTTV n.F 对 n 的偏导数nT,V n 为自变量的特性函数,求FV 不变）,有T VUT VTST V.（1）nnn但由自由能的全微分dFSdTpdVdn可得FT V,TV n,（2）nST Vn代入式（ 1）,即有

14、第四章UT VTTV n.（3）n多元系的复相平稳和化学平稳4.1如将 U 看作独立变量T V n 1,L,n k的函数,试证明：,L,n k的一次齐函数 . 根（a）Uin iUVU;n iV（b）u iUuiU.n iV解：（a）多元系的内能UU T V n 1, L,n k是变量V n 1据欧勒定理（式（ 4.1.4）,有式中偏导数的下标Uin iUT V njVU,（1）niVin指全部 k个组元,jn指除i 组元外的其他全部组元 . （b）式（ 4.1.7）已给出Viniv ,9 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - -

15、 - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案其中viVT p nj,uiUT p njUinui,（2）偏摩尔体积和偏摩尔内能. 将式（2）代入式（1）,nin i有上式对in u iin iviUT n iiniUT V nj（3）Vn iin 的任意取值都成立,故有（4）u iviUT n iUT V nj.Vn i第六章近独立粒子的最概然分布6.1 中试依据式（ 6.2.13）证明：在体积V 内,在到 +d 的能量范畴内,三维自由粒子的量子态数为D d 23 V2 m 32 12 d .h解: 式（6.2.13）给出,在体积 V L 内,在 p 到 p x d p

16、x , p 到 p y d p y , p 到p x d p 的动量范畴内,自由粒子可能的量子态数为V3d p x d p y d p z .（1）h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,可得在体积 V内,动量大小在 p 到 p d p范畴内三维自由粒子可能的量子态数为43 V p 2d .（2）h上式可以懂得为将 空间体积元 4 Vp 2d p （体积 V,动量球壳 4 p 2d p）除以相格大小 h 而得到的状态数 . 自由粒子的能量动量关系为p2.2m因此10 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - -

17、 - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案p2 m,d 的能量范畴内,三维自由粒p pmd.将上式代入式（ 2）,即得在体积 V 内,在到子的量子态数为7.2试依据公式plD d2 V2m31d .（3）22h3第七章玻耳兹曼统计a lV证明,对于相对论粒子cpc2Lhn2n2n21, nx,n n z0, 1, 2, L,2xyz有p1U. 3V上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立解: 处在边长为 L 的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为n n n x yznxc2Lhn2n2n21n x,n n z0, 1, 2, L,（1）2xyz用指标 l 表示量

18、子数,ny,n V 表示系统的体积,1VL ,可将上式简记为（2）其中laV3,1a22 h c n xn22 n z2.y由此可得l1aV41l.（3）3V33V代入压强公式,得pla ll1lallU.（4）V3 V3 V此题与 7.1 题结果的差异来自能量本征值与体积 11 / 15V 函数关系的不同 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用 . 7.10 气体以恒定速度 0 沿 z方向作整体运动,求分子的平均平动

19、能量 . 解: 依据 7.8 题式（ 9）,以恒定速度 子的速度分布为 沿 z 方向作整体运动的气体,其分N2m3em2 x 2y z02d xd yd z.（1）22kTkT分子平动量的平均值为32 y2 ze2m x 22 y z 02d d x yd z2 zemz02d z2.2m212 m xkTkT21m 2xd x1m2 yem 2yd y1m2m21m2 xe2kT2kT2kTkT222上式头两项积分后分别等于1 2kT ,第三项的积分等于 0 2em z 0d z12m z 02d z2 0 zemz 02d z2m21m z 02ekT2kT2 kTkT21kT2 m 01

20、2 m 0.22因此,3 kT 1 m 0 2 .（2）2 2式（ 2）说明,气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量 3 kT 及整体运2动能量 1 m 之和. 27.12 依据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度 r 2 和相对速率 r 的概率分布,并求相对速率的平均值 r .解: 依据麦克斯韦速度分布, 分子 1 和分子 2 各自处在速度间隔 d 和 d 的概率为dWd W 1dW 2em2 2d 2.（1）2m1em 1 2d 12m3222kT2kTkTkT上述两个分子的运动也可以用它们的质心运动和相对运动来描述. 以 表示质心速度、r表示相对速度,就12 / 15名师归纳总结

21、- - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案 cm 1 1 m 2 2,12 r.（2）m 1m 2r 2 1.在m 1m 2m 的情形下,上式简化为（3） c1 1 2,2 r 2 1 .简单验明,两种描述给出的动能K 相同,即K12 m 1 112 m 212 M c2222式中Mm 1m 2,m 1m 2m 的情形下,有m m 2,m 1m 2分别是质心的质量和相对运动的约化质量. 在M2m ,m 2.依据积分变换公式可以证明Jd d2Jd r,22 dkTvrd r（4）1,所以式

22、（ 1）也可表达为其中相对速度2kT3（5）dW2M3em c 2d c22e2kTkTdW c dW r,r 的概率分布为dW r2kT3e22 rd r.（6）2kT相对速率的分布为相对速率r 的平均值为42kT3e22 r2 rd .（7）2kT13 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案 r42kT30e22 r3 rd r（8）2kT8kT2 ,式中8hT m是气体分子的平均速率 . 7.16已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布,其能量表达式为1p2p2p2a

23、x2bx,2 mxyz其中a b是常量,求粒子的平均能量. 解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时,需要留意所难能量表达式中ax 和 bx两面三刀项都是x 的函数,不能直接将能量均分定理用于ax 项而得出ax21kT 的结论 . 要通过配方将表达为（1）21p22 p y2 p za xb22 b.2 mx2 a4 a在式（ 1）中,仅第四项是x 的函数,又是平方项 . 由能量均分定理知1p2p2p2a xb2b2（2）xyz2 ma4a2kTb2.4 a第八章 玻色统计和费米统计8.1 试证明,对于玻色或费米统计,玻耳兹曼关系成立,即S k ln .解 : 对于抱负费米系统,与分布 la

24、相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4）la l.ll.a l.,（1）取对数,并应用斯特令近似公式,得（式（6.7.7）14 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 热力学统计物理 _第四版 _汪志诚 _ 课后答案lnlllnla llna lla llnla l.（2）另一方面,依据式（ 8.1.10）,抱负费米系统的熵为Sklnlnl,ln（3）klnNUklnla ll（4）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13）.lnlln 1el由费米分布lael1l易得1elllla（5）和ll nla lal.（6）将式（ 5）代入式（ 4）可将费米巨配分函数表示为lnlllnlla l.（7）将式（ 6）和式（ 7）代入式（ 3）,有Skllllnllla la llnla la llnla l.（8）kllna llna lla l比较式（ 8）和式（ 2）,知Skln.（9）对于抱负玻色系统,证明是类似的. 15 / 15名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页