2022年数值分析试题及答案汇总.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数值分析试题一、 填空题( 2 0 2 )1.A32,X2设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值,就 x 有2 213位有效数字;2.如fx=x 7 x 3 1 , 就f20,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7= 1 ,3.f20,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8= 0 ;,就使用该迭代设, A_5 _, X_ 3_, AX_15_ _;4.非线性方程 fx=0 的迭代函数 x= x在有解区间满意| x| 1 ,运算时不会放大 fxi的误差;8. 要使 20的近似值的相对误差小
2、于 0.1%,至少要取 4 位有效数字;9. 对任意初始向量 X 0及任意向量 g,线性方程组的迭代公式 x k+1=Bx k+gk=0,1, 收敛于方程组的精确解 x*的充分必要条件是 B1 ;10. 由以下数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 ;x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y=fx -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为 |fxn+1|0 ;14. 使用迭代运算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代运算;二、判定题( 10 1 )1、 如 A 是 n 阶非奇特矩阵,就线性方程组 AXb肯定可以使用高斯消元法求解; 2、 解非线性方程 fx
3、=0 的牛顿迭代法在单根x* 邻近是平方收敛的; 3、 如 A 为 n 阶方阵,且其元素满意不等式aiinaiji1 , 2 ,.,n j j1 i就解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔迭代法肯定收敛;4、 样条插值一种分段插值; 5、 假如插值结点相同, 在满意相同插值条件下全部的插值多项式是等价的; 6、 从实际问题的精确解到实际的运算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差; 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb; 8、 迭代解法的舍入误差估量要从第一步迭代运算的舍入误差开头估量,直到最终一步 迭代运算的舍入误差; 9、 数值运算中的总误差假如只考虑截
4、断误差和舍入误差,就误差的正确安排原就是截断误差舍入误差; 10、插值运算中防止外插是为了削减舍入误差; 三、运算题( 5 10 )1、用列主元高斯消元法解线性方程组;5x 1x2x 34x 14x23x 3122x 1x 2x 311解答:(1,5,2)最大元 5 在其次行,交换第一与其次行:名师归纳总结 2 第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5x 14x23x 312x 1x2x 342x 1x 2x 311L 21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为:5x 1x4x23x3120 . 220.4x31 . 6
5、2 . 6x20 . 2x315 .8(-0.2,2.6)最大元在第三行,交换其次与第三行:5x 1x4x23x3122 . 620 . 2x315 .80 . 2x20.4x31 . 6L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为:5 x 1 4 x 2 3 x 3 122 . 6 x 2 0 . 2 x 3 15 . 80.38462 x 3 0 . 38466回代得:x 1 .3 00005x 2 5 . 99999x 3 .1 000102、用牛顿埃尔米特插值法求满意以下表中插值条件的四次插值多项式 P4x,并写出其截断误差的表达式 设 fx在插值区间上具有直到五阶连续导数
6、;xi 0 1 2 fxi 1 -1 3 f xi 1 5 解答:做差商表名师归纳总结 xi Fxi Fxi,xi+1 Fxi.xi+1.xi+2 Fxi,xi+1,xi+2,xi+3 Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4 第 3 页,共 14 页3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0 1 1 -1 -2 3 0 -1 1 -1 1 2 3 4 3 2 3 5 1 -2 P4x=1-2x-3xx-1-xx-1x-1x-2 R4x=f5 /5.xx-1x-1x-2x-2 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯
7、赛德尔迭代法均收敛, 写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代 公式 ,并简洁说明收敛的理由;2x1x 2x 3x41x15x46x284x3x4x13x2x33解答:交换其次和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优:2x1x 1x224xx3x4413x3x1x23x85xx463雅克比迭代公式:2x1x 1x224xx3x4413x3x1x23x85xx463运算机数学基础 2数值分析试题名师归纳总结 4 第 4 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、单项挑选题每道题 3 分,共 15 分 x 0.0a1a2 an
8、 10sa1 0的肯定误差x*1. 已知精确值x* 与其有t 位有效数字的近似值x stA 0.5 10 s1tB 0.5 10 stC 0.5 10s1tD 0.5 10 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为 21005210A 1210,B1410012111410012001252104211C 1421D 141021412141001213153. 过0,1,2,4,3,1点的分段线性插值函数Px= A 3x10x2B 3x10x2223x102x33x2102x3C 3x10x2D 3x10x2223x102x3x42x34. 等距二点的求导公式是 A fx k1ykyk1B fx
9、k1 hykky k1hfx k11ykyk1fxk11yyk1hhC fx k1yk1yk1D hfx k11yky kh5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是yk11ypycD B ypykhfxk1,yk2那么 yp,yc 分别为 ,ykA ypykhfxkycykhfxk1,ykycykhfxk,ypypC ypykfxk,ykykhfxk,y kycykfx k,ypycykhfxk1,yp二、填空题 每道题 3 分,共 15 分 名师归纳总结 5 第 5 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 设近似值 x1
10、,x2满意 x1=0.05, x2=0.005,那么x1x2= 7. 三次样条函数 Sx满意: Sx在区间 a,b内二阶连续可导,Sxk=yk已知 ,k=0,1,2, ,n,且满足 Sx在每个子区间 xk,xk+1 上是b n n8. 牛顿科茨求积公式 a f x d x A k f x k ,就 A k. k 0 k 09. 解方程 fx=0 的简洁迭代法的迭代函数 x满意在有根区间内,就在有根区间内任意取一点作为初始值,迭代解都收敛10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值:yk1y khfxk,y k,校正值: yk+1= 三、运算题 每道题 15 分,共 60 分 1
11、1. 用简洁迭代法求线性方程组的 X8x 13x22x 320f0,1,3,4,6 和4x 111x2x3336x 13x212x3363取初始值 0,0,0T,运算过程保留4 位小数12. 已知函数值f0=6,f1=10,f3=46, f4=82,f6=212,求函数的四阶均差二阶均差 f4,1,313.将积分区间14. 用牛顿法求8 等分,用梯形求积公式运算定积分31x2 d x,运算过程保留4 位小数1115 的近似值,取x=10 或 11 为初始值,运算过程保留4 位小数四、证明题 此题 10 分 15. 证明求常微分方程初值问题y f x , y y x 0 y 0在等距节点 a=x
12、0x1 xn=b 处的数值解近似值的梯形公式为hyxk+1 yk+1=yk+ fxk,yk+ fxk+1,yk+1 2其中 h=xk+1xkk=0,1,2, n1 运算机数学基础 2数值分析试题答案一、单项挑选题 每道题 3 分,共 15 分 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题 每道题 3 分,共 15 分 6. 0.05 x2 +0.005 x17. 3 次多项式hfxk,ykfxk1,yk1hfxk1, yk1 8. ba9. xr1 10. yk+2三、运算题 每道题 15 分,共 60 分 11. 写出迭代格式名师归纳总结 6 第 6 页,共 14 页- -
13、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1k1 0.0 375 x 2k.0 25 x 3k2 . 5x 2 k 1 .0 363 6 x 1 k 0 .0 090 9 x 3 k 3 k 1 k k x 3 .0 5 x 1 0 . 25 x 2 0 3X 0=0,0,0 T. 1 x 1 0 .0 375 0 0 . 25 0 .2 5 .2 5x 2 1 0 . 363 6 0 0 0 . 090 9 0 3 3 1 x 3 0 . 5 0 0 . 25 0 0 3 3得到 X 12.5,3,3 T 2 x 1 0 .0 375 3 .0 25 3 .2
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