2022年数学第二章知识点小结及典型习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 点线面位置关系总复习1、（ 1）平面含义：平面是无限延展的,没有大小,厚薄之分；另外,留意平面的表示方法；（2）点与平面的关系：点 A 在平面 内,记作 A；点 A 不在平面 内,记作 A点与直线的关系：点 A 的直线 l 上,记作： Al；点 A 在直线 l 外,记作 A l；直线与平面的关系： 直线 l 在平面 内,记作 l ；直线 l 不在平面 内,记作 l ；2、四个公理与等角定理：（1）公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A . 符号表示为LAL B L L A B 公理 1 作

2、用： 判定直线是否在平面内.（只要找到直线的两点在平面内,就直线在平面内）（2）公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；A C B 符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ,使 A 、B 、C ；公理 2 的三个推论：（1）：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面；（2）：经过两条相交直线,有且只有一个平面；（3）：经过两条平行直线,有且只有一个平面；公理 2 作用： 确定一个平面的依据；（3）公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线；符号表示为： P = =L,且 PL 公理 3 说明：两个不重合的平面只要有公共

3、点,那么它们必定交于一条过该公共点的直线,且线唯独；P L公理 3 作用： 判定两个平面是否相交的依据,是证明三线共点、三点共线的依据；即：判定两个平面相交的方法；说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；可以判定点在直线（交线）上,即证如干个点共线的重要依据；（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 a b a c c b 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；强调：公理公理 4 作用： 判定空间两条直线平行的依据；都相互平行）（说明空间中平行于一条已知直线的全部直线（5）等角定理：空间中假如两个角的两

4、边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 .3、（ 1）证明共面问题：方法 1 是先证明由某些元素确定一个平面,在证明其余元素也在这个平面内；方法 2 是先证明分别由不同元素确定如干个平面,再证明这些平面重合；（ 2）证明三点共线问题的方法：先确定其中两点在某两个平面的交线上,再证明第三点 是这两个平面的公共点,就第三个点在必定在这两个平面的交线上；（ 3）证明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点,再证明第三条直线也经 过这个点；4、异面直线 ：不同在任何一个平面内的两条直线；（既不平行也不相交的两条直线） 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行,又不相交

5、；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、 b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a a,b b,就把直线 a 和 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角；两条异面直线所成角的范畴是（0 , 90 ,如两条异面直线所成的角是直角,我们就说这 两条异面直线相互垂直；（两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形）说明 ：（1）判定空间直线是异面直线方法：依据异面直线的

6、定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关；（3）求异面直线所成角步骤：（一作、二证、三运算）第一步作角： 先固定其中一条直线,在这条直线取一点,过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特别的位置,顶点选在特别的位置上；其次步证明作出的角即为所求角；第三步利用三角形边长关系运算出角；条相交直线所成的角）（思路是把两条异面直线所成的角转化为两5、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系（ 1）空间两条直线的位置关系 有且只有三种：相交 直线：同一平面内,有且只有一个公共点；共面直线平行 直线：同一平面内,没有公共点

7、；异面 直线：不同在任何一个平面内,没有公共点；（ 2）直线与平面的位置关系 有且只有三种：直线在平面内有很多个公共点直线与平面相交有且只有一个公共点直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用 a 来表示三种位置关系的符号表示：a a A a 留意直线与平面的位置关系其他分类：（1）按直线与平面的公共点数分类：（自己补充）（2）按直线是否与平面平行分类：（3）按直线是否在平面内分类：（3）平面与平面之间的位置关系有且只有两种： （按有无公共点分类）两个平面平行没有公共点； ；两个平面相交有一条公共直线； b；6、空间中的平行问题（1）线线平行的判定方法：线

8、线平行的定义：两条直线共面,但是无公共点公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行线面平行的性质定理：a/ / /baa/ /bb线面垂直的性质定理：aa/ / bab5 面面平行的性质定理：a/ /b（2）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 就该直线与此平面平行；线线平行线面平行证明线面平行, 只要在平面内找一条直线b 与直线 a 平行即可； 一般情形下, 我们会用到中位线定理、平行线段成比例问题、平行公理等；线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；线面平行 线线平行性质定理

9、的作用：利用该定理可解决直线间的平行问题名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载aa/ /线面平行的判定方法：判定定理：线面平行的定义：直线与平面无公共点b面面平行的性质：a/ /a/ /a/ /b（3）平面与平面平行的判定及其性质面面平行的判定定理：假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（线面平行 面面平行）,两个平面平行的性质定理与结论：假如两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行；（面面平行线线平行）假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行；（面

10、面平行线面平行）面面平行的判定方法：面面平行的定义： 两个平面无公共点；判定定理：a/ / /b/ /ab线面垂直的性质定理：a a/ /abaP/ /公理四的推广：/ / /7、空间中的垂直问题线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线相互垂直；线面垂直： 假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,直；就说这条直线和这个平面垂平面和平面垂直：假如两个平面相交,所成的二面角 （从一条直线动身的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角）,就说这两个平面垂直；（1）线线垂直的判定方法：线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角；（共面垂直

11、、异面垂直）线面垂直的性质：a , b a b线面垂直的性质：a ,b / a b（2）线面垂直判定定理和性质定理判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面；判定线面垂直, 只要在平面内找到 两条相交直线 与已知直线垂直即可（留意： 两条直线必须相交）常常用到的学问点有：等腰三角形三线合一（中线,角平分线,高）,假如取等腰三角形底边的中点,连接顶点与中点的线既是中线也是高,所以,这条线垂直于底边；正方形的对角线是相互垂直的；三角形勾股逆定理a2b2c2,可以推出a 边与 b 边垂直；假如是要证异面垂直的两条直线,平面,从而得到两条异面直线垂直；一般采纳线面

12、垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的5 采纳三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直；性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线面垂直的判定方法：线面垂直的定义线面垂直的判定定理：abAaacbcb c平行线垂直平面的传递性推论:a a/ /bab面面平行的性质结论：/,ala5 面面垂直的性质定理：aal（3）面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直；性质定理： 假如两个平面相互垂直,

13、个平面；面面垂直的判定方法那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角面面垂直的判定定理：a aA B 面面平行的性质结论：/,8、空间角问题空间角的运算步骤：一作,二证,三运算（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0 ；O 两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角；两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b 平行的直线a ,b,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角,的范畴为（ 0 , 90 ；留意：（1）异面直线所成的角 ： 0

14、90 （锐角或者直角）（2）运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；（3）角 AOB 的度数并不等于直线（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为 所成的角：规定为 90 ；AO 与直线 BO 所成的角；0 ；平面的垂线与平面平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射 影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,取值范畴为（ 0 , 90 ）；由直线与平面所成的角 的范畴为 0 , 90 ；（0 时,或 b）求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“ 一作,二证,三运算”；关键的步骤 是“ 作角” （斜线和射影所成的角）名师归纳总结

15、 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求线面角的方法学习必备欢迎下载上的射影,射（求一条直线与平面所成的角,就是要找这条直线在平面影与它的直线所成的角即为线面角,即作垂线,找射影）定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法： 作直线上任意一点到面的垂线,角形其中一角就是该线与平面的夹角；与线面交点相连, 利用直角三角形有关学问求得三在解题时,留意挖掘题设中两个主要信息：1、斜线上一点到面的垂线；2、过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线；（3）二面角和二面角的平面角

16、 二面角的定义： 从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二 面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角；直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角；在两个 面内分别作 垂直于棱的两条射两相交平面假如所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,假如两个平 面垂直,那么所成的二面角为直二面角二面角：二面角的平面角 ,0 180求二面角的方法定义法： 在棱上挑选一个特别点,面角过这个点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线得到平垂面法： 过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生

17、交线,这两条交线所成的角为二面角的平面角垂线法： 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角；9、“ 转化思想”,要娴熟他们之间的转换线线垂直线面垂直面面垂直线线平行线面平行面面平行证明空间线面平行或垂直需要留意三点（1）由已知想性质,由求证想判定；（2）适当添加帮助线（或面）是解题的常用方法之一；（3）使用定理时要明确已知条件是否满意定理条件,再由定理得出相应结论；10、巩固专项练习名师归纳总结 1如图,在三棱锥S-ABC 中, SA底面 ABC ,ABBC,DE 垂直平分 SC,且分别交AC第 5 页,共 10 页于 D,交 SC

18、于 E,又 SA=AB ,SB=BC ,求二面角E- BD-C 的度数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、在棱长都为1 的正三棱锥学习必备欢迎下载SABC 中,侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角是 _3、在正方体ABCD A 1B 1C1D1中, BC 与平面 AB 所成的角的大小是 _； BD 与平面 AB 所成的角的大小是 _； CC 与平面 BC1 D 所成的角的大小是 _； BC 与平面 A 1BCD 1 所成的角的大小是 _；5 BD 与平面 BC1 D 所成的角的大小是 _；4、已知空间内一点 O 动身的三条射线 OA 、OB、OC

19、两两夹角为 60 ,试求 OA 与平面 BOC所成的角的大小5、已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,且 SA SB SC,SG为 SAB上的高, D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC的中点,试判定 SG与平面 DEF 内的位置关系,并赐予证明6、已知正方体ABCDA B C D 1,求证平面B AD1/ /平面BC D7、已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面, A 为垂足；求证：平面PAC 平面 PBD；名师归纳总结 8、已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面, A 为垂足,AB 为圆 O 的直径, C 是圆周上异于A、第 6 页,共 10 页B 的一点

20、；求证：平面PAC 平面 PBC；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9.如 m、n 是两条不同的直线,学习必备欢迎下载 、 是三个不同的平面,就以下命题中的真命题是A.如 m. , ,就 m C.如 m,m ,就 B.如 m, n, m n,就 D.如 , ,就 10、设 P 是 ABC 所在平面外一点,P 到 ABC 各顶点的距离相等,而且P 到 ABC 各边的距离也相等,那么ABC B.是等腰直角三角形A.是非等腰的直角三角形C.是等边三角形D.不是 A、 B、C 所述的三角形11、把等腰直角ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 BADC,就

21、BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 2 3A. 2 B. 2 C.1 D. 312、如图,已知ABC 为直角三角形,其中ACB90,M 为 AB 的中点, PM 垂直于ACB 所在平面,那么 A 、PAPBPC B、PAPBPC C、PAPBPC D、PA PB PC13、正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点, 动点 P 在表面上运动,并且总保持 PEAC,就动点 P 的轨迹的周长为 . 14、 是两个不同的平面,m、n 是平面 及 之外的两条不同直线,给出四个论断：m n；n ；m；以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题

22、：. 15、如图 1,等腰梯形 ABCD 中, AD BC,ABAD, ABC60, E 是 BC 的中点,如图2 ,将 ABE 沿 AE 折起,使二面角 BAEC 成直二面角,连接 BC, BD,F 是 CD 的中点, P 是棱 BC 的中点 . 1求证： AEBD；名师归纳总结 2求证：平面PEF平面 AECD ；第 7 页,共 10 页3判定 DE 能否垂直于平面ABC？并说明理由 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16、如图,已知PA矩形ABCD学习必备M N欢迎下载所在平面；分别是AB PC 的中点；（）求证：MN 面 PAD（ ）求证：

23、MN CD（ ）如 PDA 45 , O 求证：MN 面 PCD17、如下列图,已知BCD 中, BCD 90,BCCD 1,AB平面 BCD ,ADB60,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且AE AC AF AD01. 1 求证：不论 为何值,总有平面 BEF平面 ABC；2 当 为何值时,平面 BEF平面 ACD？18、如图,在矩形 ABCD 中,AB2BC,P、Q 分别为线段 1 求证： DP平面 EPC；AB、CD 的中点, EP平面 ABCD . 名师归纳总结 2 问在 EP上是否存在点F使平面 AFD平面 BFC？如存在,求出FP AP的值 .第 8 页,共 10 页- -

24、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案1、解：在 Rt SAC中, SA=1 ,SC=2, ECA=30 ,在 Rt DEC中, DEC=90 , EDC=60 所求的二面角为60 ；平面DEF,要证明结论成立,只需证明SG与5、分析 1：如图,观看图形, 即可判定SG /平面 DEF 内的一条直线平行观看图形可以看出：连结CG 与 DE 相交于 H ,连结 FH ,FH 就是适合题意的直线怎样证明SG/FH？只需证明 H 是 CG 的中点证法 1： 连结CG交 DE 于点 H ,名师归纳总结 DE 是ABC 的中位线,DE /AB第 9

25、 页,共 10 页在ACG 中, D 是 AC 的中点,且DH /AG, H 为 CG 的中点 FH 是SCG的中位线,FH /SG又 SG平面 DEF , FH平面 DEF ,SG/平面 DEF 分析 2：要证明SG/平面 DEF ,只需证明平面SAB /平面 DEF ,要证明平面 DEF /平面SAB,只需证明SA/DF,SB/EF而SA/DF,SB/EF可由题设直接推出证法 2： EF为SBC的中位线,EF /SBEF平面SAB,SB平面SAB,EF/平面SAB同理：DF/平面SAB,EFDFF,平面SAB /平面 DEF ,又SG平面SAB,SG/平面 DEF - - - - - -

26、-精选学习资料 - - - - - - - - - 6、证明： ABCD-A 1B 1 C 1D 1学习必备欢迎下载B,为正方体D 1A/C 1又 C1 B 平面 C1 BD,故 D 1A / 平面 C1 BD同理 D 1B 1 / 平面 C1 BD又 D 1 A D 1 B 1 D 1, 平面 AB 1D 1 / 平面 C1 BD7、证明：8、证明：AB是圆 O的直径BC ACC是圆周上异于 A、 B的一点PA 平面 ABC BC 平面 PACBC PABC 平面 ABC BC 平面 PBC 平面 PAC 平面 PBC；AC 平面 PAC,PA 平面 PACAC PA A9、 C 10、C 11、 B 12、C 13、解析：如图,取 CD 的中点 F、SC 的中点 G,连接 EF,EG, FG,EF 交 AC 于点 H,易知 ACEF,又 GH SO,GH 平面 ABCD ,AC GH, AC 平面 EFG,故点 P 的轨迹是 EFG,其周长为26. 答案：26 14、 . ； . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页