2022年电大高等数学基础形成性考核册答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学基础作业 1 第 1 章函数第 2 章 极限与连续（一）单项挑选题x以下各函数对中,（C）中的两个函数相等 A. fxx2,gxx B. fx x2,gx C. fx ln3 x,gx3lnx D. fxx1,gxx21x1分析 ：判定函数相等的两个条件（1）对应法就相同（2）定义域相同A 、f x x2x ,定义域x x0；gxx,定义域为R 定义域不同,所以函数不相等；B、f x x2x ,gxx对应法就不同,所以函数不相等；x x0C、f x ln3 x3lnx ,定义域为x x0,gx3lnx,定义域为所以两个函数相等D、fxx

2、1,定义域为R；g x x21x1,定义域为x xR x1x1定义域不同,所以两函数不等；应选 C 设函数fx的定义域为,就函数fx fx的图形关于（ C）对称 A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. y xx 对称,分析 ：奇函数,fx f x ,关于原点对称偶函数,fxf x ,关于 y 轴对称yfx 与它的反函数yf1x 关于 y奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设 g xfxxffx ,就 gxfxfxg x所以 g xfx 为偶函数,即图形关于y 轴对称应选 C 以下函数中为奇函数是（B）ln 1x2y x ,为偶函数 A. yln 12 x B. yxcosx C.

3、 yaxyax D. yln12x2分析： A、xln1xB、yxxcosxxcosxy x ,为奇函数或者 x 为奇函数, cosx 为偶函数,奇偶函数乘积仍为奇函数C、yxaxaxy x ,所以为偶函数2D、yxln1x ,非奇非偶函数应选 B 1 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以下函数中为基本初等函数是（C） A. y x 1 B. y x C. y x 2 D. y 1 , x 01 , x 0分析：六种基本初等函数（1）y c （常值）常值函数（2）y x , 为常数幂函数（3）y a xa

4、 0, a 1指数函数（4）y log a x a 0, a 1对数函数（5）y sin , x y cos , x y tan , x y cot x 三角函数y arc sin , 1,1 ,（6）y arc cos , 1,1 ,反三角函数y arc tan , x y arc cot x分段函数不是基本初等函数,故 D 选项不对对比比较选 C 以下极限存运算不正确选项（D）2x A. lim x x 22 1 B. lim x 0 ln 1 x 0sin x 1 C. lim x x 0 D. lim x x sinx 0分析： A、已知 lim x x 1n 0 n 02xlim x

5、 x 2 x 22 lim x xx 22 x 2x 22 lim x1 1x 22 1 10 1B、limln1 x 0 x ln1 0 0初等函数在期定义域内是连续的sin x 1C、lim x x lim x x sin x 0x 时,1 是无穷小量,sin x 是有界函数,x无穷小量 有界函数仍是无穷小量D、lim xxsin1lim xsin1,令t10,x,就原式lim t 0sint1xx1xtx应选 D 当xx0时,变量（ C）是无穷小量 A. sin B. 1 xx2 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - -

6、- - - - C. xsin1 D. ln x2x分析； lim x afx0,就称 fx 为 xa 时的无穷小量仍为无穷小量A、lim x 0sinx1,重要极限xB、lim x 01,无穷大量xC、lim x 0xsin10,无穷小量 x 有界函数sin1xxD、limln x 0x2=ln0+2ln 2应选 C 如函数fx在点x 满意（ A）,就fx在点0x 连续；x lim x 0lim x xf 0xxfx 0 A. x lim x 0fxfx0 B. fx在点x 的某个邻域内有定义 C. lim x x 0fxfx0 D. lim x x 0fxlim x x 0fx 分析：连续

7、的定义：极限存在且等于此点的函数值,就在此点连续即连续的充分必要条件lim x x 0fxfx0x lim x 0fxfxf0应选 A （二）填空题函数fx x29ln 1x 的定义域是x x3x3分析：求定义域一般遵循的原就（1）偶次根号下的量01 （2）分母的值不等于0 （3）对数符号下量（真值）为正（4）反三角中反正弦、反余弦符号内的量,肯定值小于等于（5）正切符号内的量不能取k2k0,1,2然后求满意上述条件的集合的交集,即为定义域fx x29ln 1x 要求3 32tx1tx3x290x3 或x3求交集x30得x3,就fxx 2-xxx1x0x1定义域为x x3已知函数fx1x2x分

8、析：法一,令tx1得xt12t 就f2t1t就f t t1法二,f x1x x1x1 1x1所以f t 3 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 11x2x分析：重要极限lim 1 x1xe,等价式lim 1 x 0x1exx推广 lim x afx就lim1 x af1fxex1lim x afx0就lim1 x afxf x1elim1 x1xlim1 x12x12e 22x2x1如函数fx1xx,x0,在x0处连续,就 ke x0xk,x0fxlim x x 0fxf分析：分段函数在分段点x

9、 处连续lim x x 0x lim 0fxx lim 0xk0kk所以 kex lim 0fxx lim 1 0x1ex0函数yx1,x0的间断点是xsinx,x0分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范畴内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）x lim 0fxx lim 0x10011不等,所以x0为其间断点lim x 0fxlim sin x 0x如x lim x 0fxA,就当xx 0时,fxA称为xx0时的无穷小量分析：lim x x 0f x A lim x x 0f x lim x x 0AAA0所以fxA为xx0时的无穷小量（

10、二）运算题设函数求：f2,f 0,f 1 ffx 1 eex,x0x,x0解：f22,f00,1e求函数ylg2x1的定义域x4 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：ylg2x1有意义,要求2x10解得x1或x0xxx02x0就定义域为x x0 或x12在半径为 R 的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数解：D A R O h E B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形,设高为直角三角形 AOE 中,利用勾股定理得2 2 2

11、2AE OA OE R h就上底2 AE 2 R 2h 2h,即 OE=h,下底 CD 2R 求故Sh2R2R2h2h RR2h232x321sinx2lim x 0sin3 xsin2x解：lim x 0sin3xlim x 0sin3x3 xlim x 0sin3x31 133 xsin23 xsin2x2 xxsin 2 x222求2x2xx lim 1x211 1sinx1 lim x1x21x lim1x1x1lim x1xx11解：sinx1sinx1sin1求x11 13lim x 0tan3x31x解：lim x 0tan3xlim x 0sin3x1xlim x 0sin3x

12、1xxxcos33xcos3求lim x 0xlim x 012 x1sinx解：lim x 01x21lim x 0 1x21 1x21sinx 1x21sinx 125 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0 1x 2x10101xlim x11 x xx1x 31e1e41sinx1 1x求lim xx1x1lim x1x3解：lim xx1xlim xx 3xx 3x311x1e 3xx求lim x 4x26x8x4x2lim x 4x232x25x4解：lim x 42 x6x8lim

13、 x 442x 25x4x4x1x14 13设函数x22,x11fxx,1xx1,x1争论fx的连续性,并写出其连续区间解：分别对分段点x1,x1处争论连续性（1）lim x 1fxflim x 1x11 10x 在x1处不连续x lim 1fxx lim 1x1所以lim x 1xlim x 1fx ,即 f（2）lim x 1fxlim x 1x221221x 在x1处连续lim x 1fxlim x 1x1f1即 ff11所以lim x 1fxlim x 1fx由（ 1）（ 2）得 fx 在除点x1外均连续1,故 fx 的连续区间为, 1高等数学基础其次次作业第 3 章导数与微分（一）单

14、项挑选题设f00且极限lim x 0fx 存在,就lim x 0fx（C）xx A. f0 B. f0 C. fx D. 0 cvx 6 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设fx在x 可导,就lim h 0fx02h fx0（D）2h A. 2fx 0 B. fx 0 C. 2fx 0 D. fx0）设fx x e,就lim x0f 1xf1 （ Ax A. e B. 2e C. 1e D. 1 e4x x1 x2x99,就f02 f设x（D A. 99 B. 99 C. 99 D. 99.以下结论中正确

15、选项（ C ） A. 如fx在点x 有极限,就在点x 可导B. 如f x 在点x 连续,就在点x 可导 C. 如fx在点0x 可导,就在点x 有极限 D. 如fx在点0x 有极限,就在点x 连续（二）填空题设函数fx 2 xsin1,x0,就f0 02 14x0,x05 x设f exe2x5 ex,就dflnx2lnxdxx1曲线fx x1 在 1,2处的切线斜率是k2曲线fxsinx在 4,1 处的切线方程是y2 x 22设yx2 ,就 y2x 1lnx 2 x设yxlnx,就 y1x（三）运算题求以下函数的导数y ：3exx3x1exx2xyxx3 exyx23 22ycotxx2lnxy

16、2 cscxx2xlnxyx2y2xlnxxlnxln2xsinx2ln2 3 cosycosx32xyxxx47 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - ylnxx2ysinx 12 x lnxx2cosxxsinxsin2xyx4sinxlnxy4x3sinxcosxlnxxysinxxx2y3xcosx2xsinxx23xln3332xyextanxlnxyextanxexx1cos2x求以下函数的导数 y ：yee1x 2xx2yx211ylncosx3yysinx33x23x2tanx3cosx3xx

17、xyyx7y7 x 81211x1883xx1 x32 xcos ex1yy23228 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - yexsin2 exyncosex2nxsinnx yy2x xe2sinex2sinnxcosnxysinn1xcosxcosnxnsiny5sinx22yy2xln5cos x25sinxesin2xyysin2xe sin2xxx2x e2yyxx2x2xlnx2x xe2xexeexyxexexexlnxeexexy ：x在以下方程中,yy x 是由方程确定的函数,求ycosx

18、2 ey2 2 eyyycosxysinxyysinxcosx22 ey9 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - ycosylnxy2siny.ylnxcosy.1xyx1cosyxsinylnxsinyx2y2 xcosy . y2siny2yxyx2yy2xcosyx22yx2siny2y2y2y2 xy 2 y sin2 xy 2 cos yyx2yxlnyyy1xy . eyyyy1lnxeyy21eyy2yyxyx21eyyy21ex siny2y yexcosy .ysiny2yx esinyyx

19、 ecoseyexy3y eyex3y2yyex3y2eyy5x2yy5xln5y2yln210 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - y15xln522yln求以下函数的微分 d y： y cot x csc x1 cos xdy 2 2 dxcos x sin x y ln xsin x1sin x ln x cos xdy x2 dxsin x1 x y arcsin1 xdy11x21x x 1xdx1x2 112dx 11 12xx xy31 1xx两边对数得：lny1 3ln1xeln1x y1

20、1111xy3x11 xxdxy1 31x 11x1x3ysin2exx edxsin2 exdy2sinexex 3ytanex 3dy2 secex 33 x2dx32 xex 32 secxdx11 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求以下函数的二阶导数：yxlnxxxy1lnx1yyxxsinxyxcosxsinyyxsinx2cosarctanxyy11x2y12 xx 2 23x 2y2x 3x2ln3y4x23x2ln232ln33x2（四）证明题设fx是可导的奇函数,试证fx 是偶函数f

21、x证：由于fx 是奇函数 所以fxfx 两边导数得：fx 1 fxfx所以fx是偶函数；高等数学基础第三次作业第 4 章导数的应用（一）单项挑选题如函数,fx满意条件（ D）,就存在a,b,使得,ffbfa ba A. 在ab内连续 B. 在a,b 内可导 C. 在a,b内连续且可导 D. 在a,b内连续,在ab 内可导函数fx x24x1的单调增加区间是（D）, A. 2 B. 1 ,1 C. 2, D. 2,函数yx24 x5在区间6,6内满意（ A）12 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. 先

22、单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降0 D. 单调上升fx的（ C）函数fx满意fx的点,肯定是 A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点设fx在a,b内有连续的二阶导数,x0 a,b,如f x 满意（fC ）,就fx在0x 取到微小值x 00 B. fx00fx 00 A. fx 00,f C. fx00,fx 00 D. fx00,fx00x0,就x在此区间内设fx在a,b内有连续的二阶导数,且fx0,f是（ A ） A. 单调削减且是凸的 B. 单调削减且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的（二）填空题 设f x 在a,b 内 可 导

23、 ,x0a,b , 且 当x,x 0时fx0, 当xx0时fx0,就x 是fx的 微小值点f0x0fa如函数fx在点x 可导,且x 是fx的极值点,就函数yln 1x2的单调削减区间是,0 函数fx ex2的单调增加区间是0,b上的最大值是如函数fx在a,b内恒有fx 0,就fx在a函数fx 25 x3x3的拐点是 x=0 （三）运算题求函数yx1 x2 5的单调区间和极值2,5令yx1 2 x5 22 x5 x2 驻点x,2 x5列表：X 2,2 2,5 5 y+ 极大- 微小,44+ 极大值：f227y 上升27 下降0 上升微小值：f50求函数yx22 x3在区间0,3内的极值点,并求最

24、大值和最小值令：y2x20x1驻点）f0 3f 3 6f 12和点最大值f 3 6最小值f1 2试确定函数yax3bx2cxd中的a,b,c,d,使函数图形过点13 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 ,10,且x2是驻点,x1是拐点448 b4 b2xda11解：10abccdb3012 a4 bc1606a2 bd24求曲线y22x上的点,使其到点A 2,0 的距离最短解：设px ,y 是y22 x 上的点,d 为 p 到 A 点的距离,就：dx22y2x222x令d22 x2 2xxx12 x0xx2222 2y22x 上点 ,12 到点A ,2 0 的距离最短；圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 的体积最大？设园柱体半径为R,高为 h,就体积V2 RhL2h2hL ,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体令：Vh2h L2h2L23h20VL3hh3L3R2L当h3,R2L时其体积最大；333一体积为V 的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为R,高为 h,就体积VR2hS 表面积2Rh2R22V2R2R令：S2 V