2022年新人教版八级数学上册知识点总结归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 新人教版八年级上册数学第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式 第十一章 三角形1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共 端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角；2、三角形中的主要线段（ 1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线；（ 2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线；（ 3）从三角形一个顶点向

2、它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）；3、三角形的稳固性 三角形的外形是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳固性；三角形的这个性质在生产生活中应用很广,需要稳固的东 西一般都制成三角形的外形；4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性：（ 1）三角形有三条线段（ 2）三条线段不在同始终线上 三角形是封闭图形（ 3）首尾顺次相接三角形用符号“” 表示,顶点是A、 B、C 的三角形记作“ABC ” ,读作“ 三角形ABC ”；5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下：不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如

3、下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形；它是两条直角边相等的直角三角形；6、三角形的三边关系定理及推论（ 1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边；推论：三角形的两边之差小于第三边；（ 2）三角形三边关系定理及推论的作用：判定三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时,可确定第三边的范畴；证明线段不等关系；7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180 ；推论：名师归纳总结 - - - - - - -第

4、1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角；8、三角形的面积 =1 底 高 2多边形学问要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形；凸多边形多边形 分类 1：凹多边形正多边形：各边相等,各角也相等的多边形分类 2：叫做正多边形；非正多边形：1、 n 边形的内角和等于 180（ n-2）；多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于 360 ；3、n

5、边形的对角线条数等于 1/2 n（ n-3）只用一种正多边形：3、 4、6/；镶嵌拼成 360 度的角只用一种非正多边形（全等）：3、 4；学问点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 . （ 1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个 n 边形有 n 个内角；外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；（ 2）在定义中应留意：一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）；首尾顺次相连,二者缺一不行 ; 懂得时要

6、特殊留意“ 在同一平面内” 这个条件 ,其目的是为了排除几个点不共面的情形 ,即空间多边形 . 2、多边形的分类 : 1多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,假如整个多边形都在这条直线的同一侧,就此多边形为凸多边形,反之为凹多边形（见图1） .本章所讲的多边形都是指凸多边形. 第 2 页,共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 凸多边形 凹多边形图 1 2多边形通常仍以边数命名,多边形有n 条边就叫做n 边形三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形学问点二：正多边形 各个角都相等、各个边都

7、相等的多边形叫做正多边形；如正三角形、正方形、正五边形等；正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不行 . 如四条边都相等的四边形不肯定是正方形,四个角都相等的四 边形也不肯定是正方形,只有满意四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 学问点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线 要点诠释：. 如图 2,BD 为四边形 ABCD 的一条对角线；1从 n 边形一个顶点可以引n 3条对角线,将多边形分成n2个三角形；2n 边形共有条对角线；证明：过一个顶点有n 3 条对角线 n 3 的正

8、整数 ,又共有n 个顶点,共有nn-3 条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,凸n 边形,共有条对角线；学问点四：多边形的内角和公式1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明：证法 1：在边形内任取一点,并把这点与各个顶点连接起来,共构成个三角形,这个三角形个三角形,的内角和为,再减去一个周角,即得到边形的内角和为. 证法 2：从边形一个顶点作对角线,可以作条对角线,并且边形被分成这个三角形内角和恰好是边形的内角和,等于. 个三角形证法 3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连,得个三角形,边形内角和等于这的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数,即 . 要点诠释：名师归纳总结 - -

9、 - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1留意：以上各推导方法表达出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想；2内角和定理的应用：已知多边形的边数,求其内角和；已知多边形内角和,求其边数；学问点五：多边形的外角和公式1.公式：多边形的外角和等于360 . 所以边形的内角和加外角和为,2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,外角和等于. 留意： n 边形的外角和恒等于360 ,它与边数的多少无关；要点诠释：1外角和公式的应用：已知外角度数,求正多边形边数；已知正多边形边数,求外角度数 . 2多边形的边数与内

10、角和、外角和的关系： n 边形的内角和等于n2180 n 3,n 是正整数 ,可见多边形内角和与边数n 有关,每增加1 条边,内角和增加180 ；多边形的外角和等于360 ,与边数的多少无关；学问点六：镶嵌的概念和特点 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全掩盖,通常把这类问题叫做用多边形掩盖平面 或平面镶嵌 ；这里的多边形可以外形相同,也可以外形不相同；2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：360 ；相邻的多边形有公共边；1用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360 ；2只用一种正多

11、边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形,怎样判定它能否拼成一个平面图形,且不留一点间隙？解决问题的关键在于正多边形的内角 特点；当环绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360 时,就能铺成一个平面图形；事实上,正 n 边形的每一个内角为,要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点,恰好掩盖地面, 这样 360,由此导出k2,而 k 是正整数,所以n 只能取 3,4, 6；因而,用相同的正多边形地砖铺地面,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用；留意：任意四边形的内角和都等于 360 ；所以用一批外形、大小完全相同但不规章的四边形地砖也可以铺成无间隙的地板,用任意相同

12、的三角形也可以铺满地面；3用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,关键是相关正多边形“ 交接处各角之和能否拼成一个周角” 的 问题；例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三 角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌,见 下图：又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结 合在一起恰好能够铺满地面,由于它们的交接处各角之和恰好为 一个周角 360 ； 规律方法指导 1内角和与边数成正比：边数增加,内角和增加；边数减少,内角和削减. 每增加一条边,内角的和就增加180 （反过第 4 页,共 15 页来也成立）,且多边形的内角和

13、必需是180 的整数倍 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2多边形外角和恒等于360 ,与边数的多少无关. . . 3多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角,最少没有钝角4在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节问题的常用方法5在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决 同时留意转化思想在数学中的应用 . 经典例题透析 类型一：多边形内角和及外角和定理应用1一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍,它是几边形？. 三角形是一种基

14、本图形,是讨论复杂图形的基础,总结升华： 此题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数,依据条件列出关于的方程,求出的值即可,这是一种常用的解题思路. 举一反三：【变式 1】如一个多边形的内角和与外角和的总度数为,1800 ,求这个多边形的边数. 【变式 2】一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为2750 ,求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为,这个内角为. 【变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 类型二：多边形对角线公式的运用1350 ,求这个多边形的边数；【变式 1】一个多边形共有20 条对角线,就多边形的边数是（）. A 6 B 7

15、C 8 D9 【变式 2】一个十二边形有几条对角线；总结升华：对于一个n 边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个公式,以后只要用相应的n 的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在懂得的基础之上才能记得牢；类型三：可转化为多边形内角和问题【变式 1】如下列图,1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6=_. 【变式 2】如下列图,求A B C D E F 的度数；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型四：实际应用题4如图,一辆小汽车从P 市动身,先到B 市,再到 C 市,再到A 市,最终返回 P 市,这辆

16、小汽车共转了多少度角？思路点拨：依据多边形的外角和定懂得决 . 举一反三：【变式 1】如下列图,小亮从 A 点动身前进 10m,向右转 15 ,再前进 10m,又向右转 15 , ,这样始终走下去,当他第一次回到动身点时,一共走了_m. 【变式 2】小华从点 A 动身向前走 10 米,向右转 36 ,然后连续向前走 10 米,再向右转 36 ,他以同样的方法连续走下去,他能回到点 A 吗？如能,当他走回点 A 时共走了多少米？如不能,写出理由；【变式 3】如下列图是某厂生产的一块模板,已知该模板的边 AB CF,CD AE. 按规定 AB、CD 的延长线相交成 80角,因交点不在模板上,不便测

17、量 . 这时师傅告知徒弟只需测一个角,便知道 AB、CD 的延长线的夹角是否合乎规定,你知道需测哪一个角吗？说明理由 . 思路点拨：此题中将 AB 、CD 延长后会得到一个五边形,依据五边形内角和为 540 ,又由 AB CF,CD AE,可知BAE+ AEF+ EFC=360 ,从 540 中减去 80 再减去 360 ,剩下 C 的度数为 100 ,所以只需测C 的度数即可,同理仍可直接测A 的度数 . 总结升华：此题实际上是多边形内角和的逆运算,关键在于正确添加帮助线 . 类型五：镶嵌问题5分别画出用相同边长的以下正多边形组合铺满地面的设计图；1正方形和正八边形；2正三角形和正十二边形；

18、3正三角形、正方形和正六边形；思路点拨： 只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角,那么这些多边形就能作平面镶嵌；解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60 、90 、120 、135 、 150 ；1由于 90 2 135 360,所以一个顶点处有 1 个正方形、 2 个正八边形,如图 1所示；2由于 60 2 150 360,所以一个顶点处有 1 个正三角形、 2 个正十二边形,如图 2所示；3由于 60 2 90120 360,所以一个顶点处有 1 个正三角形、 1 个正六边形和 2 个正方形,如图 3所示；总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组

19、合成平面图形,实质上是相关正多边形“ 交接处各角之和能否拼成一个周角” 的问题；举一反三：【变式 1】分别用外形、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是 A 、B、C、D、解析：用同一种多边形木板铺地面,只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用,不能用正五边形木板,故名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 2】用三块正多边形的木板铺地,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是 8,就第三块木板的边数应是 A、 4 B、5 C、 6 D

20、、 8 【答案】 A（提示：先算出正八边形一个内角的度数,再乘以 2,然后用 360 减去刚才得到的积,便得到第三块木板一个内角的度数,进而得到第三块木板的边数）练习1多边形的一个内角的外角与其余内角的和为 600 ,求这个多边形的边数2 n 边形的内角和与外角和互比为 13： 2,求 n3五边形 ABCDE的各内角都相等,且 AE DE, AD CB吗？4将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形？5四边形 ABCD中, A+B=210 , C4 D求： C或 D的度数6在四边形 ABCD中, ABACAD, DAC 2BAC求证： DBC2 BDC第十二章 全等三角形一、全等三角形能够完全重合

21、的两个三角形叫做全等三角形；一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等；（ 2）：全等三角形的周长相等、面积相等；（ 3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等；3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ SSS” 边角边 :两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“ SAS” 角边角 :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ ASA” 角角边 :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ AAS” 斜边 .直角边：斜边和一条直角边对应相等的

22、两个直角三角形全等（可简写成“ HL” 4、证明两个三角形全等的基本思路：二、角的平分线：1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；三、学习全等三角形应留意以下几个问题：（ 1:要正确区分 “ 对应边 ”与 “ 对边 ” ,“ 对应角 ” 与“对角 ” 的不同含义；第 7 页,共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）：表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（ 3）： “ 有三个角对应相等” 或“ 有两边及其中一边的对角对应相等” 的

23、两个三角形不肯定全等；（ 4）：时刻留意图形中的隐含条件,如“ 公共角 ” 、“ 公共边 ” 、 “ 对顶角 ”1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个三角形全等时,相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角；夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角；2、全等三角形的表示和性质全等用符号“ ” 表示,读作“ 全等于”；如 ABC DEF ,读作“ 三角形ABC 全等于三角形DEF ” ；注：记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；3、三角形全等的判定

24、三角形全等的判定定理：（ 1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“ 边角边” 或“SAS” ）（ 2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ 角边角” 或“ASA” ）（ 3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ 边边边” 或“SSS” ）；直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,仍有 HL 定理（斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“ 斜边、直角边” 或“HL ” ）4、全等变换只转变图形的位置,二不转变其外形大小的图形变换叫做全等变换；全等变换包括一下三

25、种：（ 1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换；（ 2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180 ,这种变换叫做对称变换；（ 3）旋转变换：将图形绕某点旋转肯定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换；第十二章 轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠,假如直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形；这条直线就是它的对称轴；这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称；2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,假如它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称；这条直线叫做对称轴；折叠后重合的点是对应点 ,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区分与联

26、系名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页学问回忆：精选学习资料 - - - - - - - - - 3、轴对称图形和轴对称的区分与联系图形轴对称图形轴对称AAA区分BCBCCB1 轴对称是指 两个 图形的位置关系 , 必需涉及 两个 图形;2 只有 一条 对称轴 .1 轴对称图形是指 一个具 有特殊外形的图形 ,只对 一个2 对称轴 不肯定图形而言 ; 只有一条联系假如把轴对称图形沿对称轴假如把两个成轴对称的图形分成两部分 , 那么这两个图形拼在一起看成一个整体 , 那就关于这条直线成轴对称 .么它就是一个轴对称图形.4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形

27、；假如两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；假如两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称；二、线段的垂直平分线 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线；2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中,关于x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等 . 点（ x, y）关于

28、x 轴对称的点的坐标为_. 点（ x, y）关于 y 轴对称的点的坐标为_. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、（等腰三角形 学问点回忆 1.等腰三角形的性质 .等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；（三线合一）2、等腰三角形的判定：假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）五、（等边三角形）学问点回忆 1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于 600 ；2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 600 的等

29、腰三角形是等边三角形；3.在直角三角形中,假如一个锐角等于 30 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半；1、等腰三角形的性质（ 1）等腰三角形的性质定理及推论：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边；即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合；推论 2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60 ；（ 2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于451802A等腰三角形的底角只能为锐角

30、,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角）；等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,就ba 2等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A,底角为 B、 C,就 A=180 2B, B= C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）；这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形；推论 3：在直角三角形中,假如一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的性质与判定中等腰三角形性质等腰三

31、角形判定1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角；1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；线2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交2、假如一个三角形的一边中线垂直这条边（平点与底边两端点距离相等；分这个边的对角） ,那么这个三角形是等腰 三角形角1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；1、假如三角形的顶角平分线垂直于这个角的对平2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交边（平分对边） ,那么这个三角形是等腰三分点究竟边两端点的距离相等；角形；线2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形；高1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；1、假如一个三角形一边上的高平分这条

32、边（平线2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点分这条边的对角） ,那么这个三角形是等腰和底边两端点距离相等；三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形；角等边对等角等角对等边边底的一半 腰长 周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（ 1）三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形；（ 2）要会区分三角形中线与中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半；三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系；常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此

33、有：结论 1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半；结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形；结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分；结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第十四章 整式乘除与因式分解 一回忆学问点1、主要学问回忆：幂的运算性质：amanamn（ m、n 为正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加amn amn （ m、 n 为正整

34、数）幂的乘方,底数不变,指数相乘abnanbn（ n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积aman am n （ a 0, m、 n 都是正整数,且m n）同底数幂相除,底数不变,指数相减零指数幂的概念：a 0 1 （ a 0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l负指数幂的概念：1 p apa（ a 0, p 是正整数）任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂,等于这个数的 p 指数幂的倒数p p n m也可表示为：m n（m 0,n 0,p 为正整数）单项式的乘法法就：单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因

35、式单项式与多项式的乘法法就：单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加多项式与多项式的乘法法就：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加单项式的除法法就：单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加 2、乘法公式：平方差公式： （ ab）（a b） a2 b2 文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差完全平方公式： （ a b）2 a2

36、2abb2（ ab）2a22ab b2 文字语言表达：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍 3、因式分解：因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解把握其定义应留意以下几点：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）分解对象是多项式,分解结果必需是积的形式,且积的因式必需是整式,这三个要素缺一不行；（ 2）因式分解必需是恒等变形；（ 3）因式分解必需分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系因式分解与整式乘法

37、是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式二、娴熟把握因式分解的常用方法1、提公因式法（ 1）把握提公因式法的概念；（ 2）提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情形下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母 各 项含有的相同字母；指数 相同字母的最低次数；（ 3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；其次步是提取公因式并确定另一因式需留意的是,提取完公因式后,另一 个因式的项数与原多项式的项数一样,这一点可用来检验是否漏项（ 4）留意点：提取公因式后各因式应当是最简形式,即分解到“ 底”“ ” 号,使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法 运用公式法分

38、解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2b2 （a b）（ a b）完全平方公式：a2 2abb2（ a b）2a 2 2abb2（ a b） 2 3.十字相乘法；假如多项式的第一项的系数是负的,一般要提出第十五章 分式学问点一：分式的定义A一般地,假如A,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子B叫做分式, A 为分子, B 为分母；学问点二：与分式有关的条件分式有意义：分母不为0（B0）A0A0分式无意义：分母为0（B0）分式值为0：分子为 0 且分母不为0（B0）A0分式值为正或大于0：分子分母同号（B0或B0）分式值为负或小于0：分子分母异号（A0

39、A0B0或B0）分式值为1：分子分母值相等（A=B ）A+B=0 ）分式值为 - 1：分子分母值互为相反数（学问点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于A0 的整式,分式的值不变；0；第 12 页,共 15 页AACAC字母表示：BBC,BBC,其中 A、B、 C 是整式, C名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 拓展：分式的符号法就：分式的分子、分母与分式本身的符号,转变其中任何两个,分式的值不变,即AAACAB0；BBBB留意：在应用分式的基本性质时,要留意0 这个限制条件和隐含条件学问点四：分式的约分 定义：依据分式

40、的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分；步骤：把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因；留意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂；分子分母如为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分；学问点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式；学问点五：分式的通分 分式的通分：依据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原先的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分； 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定；最简公分母的定义：取各分母全部因式的最高次幂的积作公分母,这样的

41、公分母叫做最简公分母；确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独显现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的； 保证凡显现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；留意：分式的分母为多项式时,一般应先因式分解；学问点六分式的四就运算与分式的乘方 分式的乘除法法就：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母；式子表示为：acacbdbd分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘；式子表示为acadadbdbcbc分式的乘方：把分子、分母分别乘方；式子ananbbn分式的加减法就：同分母分式加减法：分母不变,把分子相加减；式子表示为abacbcc异分母分式加减法：先通分,化为同分母的分式,然后再加减；式子表示为acadbcbdbd整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为 1 的分式