数学必修4人教A：全册导学案.doc

《数学必修4人教A：全册导学案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学必修4人教A：全册导学案.doc（119页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1. 1.1任意角班级 姓名 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点三、知识链接：1.初中是如何定义角的？2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？四、学习过程:（一）阅读课本1-3页解决下列问题。问题1、按 方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作_旋转，我们称它形成了一个零角。零角的 与 重合。如果是零角，那么= 。问题2、任意角 问题3、画出下

2、列各角（1）780o （2） -120o （3） -660o （4） 1200o问题4、象限角与象限界角为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标 重合；（2）使角的始边和轴 重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是 的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做 ，这个角不属于任何一个象限。问题5、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1）420o （2） -75o （3） 855o （4） -510o问题6、把角放到平面直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的终边与之对

3、应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，终边相同的角有什么关系？为解决这些问题，请先完成下题：在直角坐标系中作出下列各角：（1）-32o （2） 328o （3） -392o （4） 688o （4） -752o问题7、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。把与-32o角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角 终边相同的角，连同角 在内可构成集合为 .。即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。例1. 在之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：（）； （）； （）.变式练习 1、 在之间，找出与下列各

4、角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：(1)420 (2)54 18 （3）395 8 (4)1190 302、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720o360o的元素 写出来：（1）1303o18， （2）-225o问题8、(1)写出终边在x轴上角的集合 (2) 写出终边在y轴上角的集合变式练习 写出终边在直线yx上角的集合s,并把s中适合不等式-3600720o元素写出来。问题9、思考：第一象限角的集合可表示为_.第二象限角的集合可表示为_.第三象限角的集合可表示为_.第四象限角的集合可表示为_.探究：设为第一象限角,求2, ,所在的象限.当堂检测：1、以原点为

5、角的顶点，x轴正方向为角的始边，终边在坐标轴上的角等于（ ） （A）00、900或2700 （B）k3600（kZ） （C）k1800（kZ） （D）k900（kZ）2、如果x是第一象内的角，那么（ ） （A）x一定是正角（B）x一定是锐角 （C）-3600x-2700或00x900 （D）xxk3600xk3600+900 kZ3、设A=qq为正锐角，B=qq为小于900的角， C=qq为第一象限的角 D=qq为小于900的正角。则下列等式中成立的是（ ） （A）A=B （B）B=C （C）A=C （D）A=D 4、在直角坐标系中，若a与b的终边互相垂直，那么a与b的关系为（ ） （A）b=

6、a+900 （B）b=a900 （C）b=a+900+k3600 （D）b=a900+ k3600 kZ5、设a是第二象限角，则是 象限角。6、与角1560终边相同角的集合中最小的正角是 .7、如果是第三象限角，则x在第 象限和 半轴。8、若为锐角，则180在第_象限，在第_象限.9、写出与37023终边相同角的集合S,并把S中在-720360间的角写出来.10、钟表经过4小时，时针与分针各转了 度课堂小结：1、任意角的概念与分类。 2、象限角的概念及第一，二，三，四象限角的表示。 3、终边相同角的集合表示。课后练习：习题1.1A组第5题。作业布置：习题1.1A组第1，3题。1. 1.2 弧度

7、制一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；4熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。三教学过程(一) 复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？(二) 为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制弧度制。 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。练习：圆的半径为，圆弧长为、的弧所对的圆心角分别为多少？：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，

8、角的弧度数的绝对值是： ，的正负由 决定。正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 (三) 角度与弧度的换算 rad 1=例1、把下列各角从度化为弧度：(1) （2） 变式练习 把下列各角从度化为弧度： (1)22 30 （2）210 (3)1200 (4) (5) 例2、把下列各角从弧度化为度：（1） (2) 3.5 变式练习 、把下列各角从弧度化为度：（1） （2） （3） (4) (5) 2 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化

9、为弧度的方法是： ：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整30901201502700(四) 在弧度制下分别表示轴线角、象限角的集合（1）终边落在轴的非负半轴的角的集合为 ； 轴的非正半轴的角的集合为 ； 终边落在轴的非负半轴的角的集合为 ； 轴的非正半轴的角的集合为 ； 所以，终边落在轴上的角的集合为 ； 落在轴上的角的集合为 。（2）第一象限角的集合为 ； 第二象限角的集合为 ；第三象限角的集合为 ；第四象限角的集合为 (五) 弧度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.正角零角负角正实数零负实数(六) 弧度制下的弧长公式和

10、扇形面积公式弧长公式：因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为扇形面积公式：说明：以上公式中的必须为弧度单位 例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，求该扇形的面积。变式练习 若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 (七) 课堂小结：1 弧度制的定义；2 弧度制与角度制的转换与区别；3 牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；(八) 作业布置 习题1.1A组第7，8，9题。(九) 课外探究题已知扇形的周长为8，求半径为多大时，该扇形的面积最大，并求圆心角的弧度数.（十）课后检测1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。

11、2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。3、在中，若，求A，B，C弧度数。4、以原点为圆心，半径为的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角的弧度数为 5、直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？6、选做题如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。1. 2.1 任意角的三角函数班级 姓名 学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号. 2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有

12、关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。教学过程（一）提出问题 问题1:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sin=,cos=,tan=.问题3:如果改变终边上的点的位置,

13、这三个比值会改变吗?为什么?问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?（二）新课导学1、单位圆的概念：.在直角坐标系中,我们称以 为圆心,以 为半径的圆为单位圆.2、三角函数的概念我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2 如图2所示,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做的正弦,记作sin,即sin=y; (2)x叫做的余弦,记作cos,即cos=x;(3)叫做的正切,记作tan,即tan=(x0).所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.注意:(1)正弦、余弦

14、、正切、都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sin不是sin与的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.（3）由相似三角形的知识,对于确定的角,这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变.3、例1：已知角的终边与单位圆的交点是 求角的正弦、余弦和正切值。练习1：已知角的终边经过点 ，求角正弦、余弦和正切值。例2 求 的正弦、余弦和正切值.练习2：用三角函数的定义求 的三个三角函数值4、定义推广：设角是一个任意角，P（x,y）是其终边上的任意一点，点P与原点的距离那么 叫做的正弦，即 叫做的余弦，即 叫做的正切，即4、 探究

15、.三角函数的定义域三角函数定义域5、例题讲解例3 已知角的终边经过点P(-3,-4)，求角的正弦、余弦和正切值 .练习3. 已知角的终边过点P(-12,5) ,求的正弦、余弦和正切三个三角函数值.5、探究三角函数值在各象限的符号（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）（ ） ）6、例题讲解例4、 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三象限角.反之也对。变式训练（1、） (2007北京高考)已知costan0,那么角是( )A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角（2、）教材第15页第6题

16、（三）课堂小结 知识 能力 （四）作业布置 习题1.2A组第2,9题 1.2.1 任意角的三角函数班级 姓名 学习目标 1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等. 2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.重点难点教学重点 终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点 利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.教学过程（一） 复习提问1、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。（两个定义）2、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域。3、 三角函数（正弦，余

17、弦，正切函数）值在各象限的符号。4、常见常用角的三角函数值角304560120135150角的弧度数sincostan角090180270360角的弧度数sincostan（二）新知探究1、问题 ：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？ 2、求下列三角函数值 (1)sin420; (2) sin60 3、结论 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一): sin(+k2)=sin,cos(+k2)=cos,tan(+k2)=tan,其中kZ.（作用）利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2(或0到360)角的三

18、角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.4.例题讲解例1、确定下列三角函数值的符号：（1）sin(-392) (2)tan(-) 练习(1)、确定下列三角函数值的符号： （1）tan(-672) (2)sin148010 (3)cos 例2、求下列三角函数值 (1)sin390; (2)cos; (3)tan(-690).练习(2)、求下列三角函数值 (1)sin420; (2)cos; (3)tan(-330).5、由三角函数的定义我们知道,对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法.三角函数线（定

19、义）： （1） （2） （3） （4）设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点。过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。三条有向线段的正负：三条有向线

20、段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。6、典型例题例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； 练习1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）； （2）7、课下探究 （1） 利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 tan与tan （2）利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角xyoTA21030xyoP1P21 sina 2 tana（三）课堂小结、本节课你学了哪些知识？有哪些收获？你已经正确理解、掌握它们了吗？（四）课后作业习题1.2A组第3,4题1. 2.2同角三角函数的基本关系班级 姓名 【

21、教学目标】1、 掌握同角三角函数的基本关系式.2、 能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式【教学重点】三角函数式的化简或证明【教学难点】同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用【教学过程】（一）知识回顾1若角在第三象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线2在角的终边上取一点P（3，4），请分别写出角的正弦、余弦和正切值并计算sin+cos和的值。3请分别计算下列各式：（1）（2）（3）（4）（二）新知学习由上可知：同角三角函数的基本关系式及公式成立的条件： 平方关系：（语言表述） （式子表述） 商数关系：（语言表述） （式子表述） 对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其

22、中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值？（三） 应用示例例1 已知sin=,并且是第二象限的角,求cos,tan的值.变式练习 已知cos=,且为第三象限角，求sin,tan的值。例2 已知cos=,求sin,tan的值.变式练习 已知sin=,求cos,tan的值.例3、求证:变式练习 求证：例4、化简（1） （2） （3）(1+tan2)cos2;变式练习 化简（1）（2） （3） 、要注意sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三个量之间有联系：(sina+cosa) = 1+2sinacosa; (sinacosa)= 12sinacosa知“一”求“二”（

23、四）课外探究（五）归纳小结(1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角函数值;(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.（六）作业布置习题1.2 A组第10，11，12，13题选做题：习题1.2 B组第1，2，3题1. 3三角函数的诱导公式班级 姓名 学习目标：1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导公式的特点。2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。教学难点：诱导公式的灵活应用教学过程：一、复习引入：1、诱导公式一:（角度制表示） （ ） （弧

24、度制表示） （ ）2、诱导公式（一）的作用： 其方法是先在0360内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。二、讲解新课： 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,aa+o180xyP(x,y)P(-x,-y)MMO(4-5-1)sin(180+)=-y,cos(180+)=-x, 所以 :sin(180+)=-sin，cos(180+)=-cos诱导公式二： 用弧度制可表示如下： aa-xyP(x,y)P(x,-y)MO(4-5-2)类比公式二的得来，得：诱导公式三： 180MaxyP(x,y)MO(4-5-3)P(-x,y)类比公式二,三的得来

25、，得：诱导公式四： 用弧度制可表示如下：对诱导公式一，二，三，四用语言概括为：+k2（kZ），的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号（函数名不变，符号看象限。）三、例题讲解例1将下列三角函数转化为锐角三角函数。（1）cos (2)sin(1+) (3)sin() (4)cos()例2求下列三角函数值： （1）cos210； (2)sin（）变式练习 1、 求下列三角函数值：（1）；（2）（3）sin()； (4)cos(60)sin(210)2、求下列三角函数值：(1)cos（420） （2）sin() (3)sin(1305) (4)cos()例3.化简 变式

26、练习 1、 已知cos(+)= ，2，则sin(2)的值是（ ）（A）(B) (C)(D)2、化简：（1）sin(+180)cos()sin(180) （2）sin()cos(2+)tan()四、回顾小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“- a”公式化为正角的三角函数；2用“2kp + a”公式化为0，2p角的三角函数；3用“pa”公式化为锐角的三角函数即利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:五、作业布置1求下列三角函数值：（1）；(2)；(3)；(4)2化简：3.习题1.3A组第4题。1. 3 三角函数的诱导公式班级 姓名 学习目标：1、利用单位

27、圆探究得到诱导公式五，六，并且概括得到诱导公式的特点。2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。教学难点：诱导公式的灵活应用教学过程：一、复习：1复习诱导公式一、二、三、四；2对“函数名不变，符号看象限”的理解。二、新课： 1、 如图,设任意角的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角-的终边与角的终边关于直线y=x对称,角-的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有sin=y, cos=x, cos(-

28、)=y, sin(-)=x. 从而得到诱导公式五:cos(-)=sin,sin(-)=cos.2、提出问题能否用已有公式得出+的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式?3、诱导公式六Sin(+)=cos,cos(+)=-sin.4、用语言概括一下公式五、六：的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 简记为“:函数名改变,符号看象限.”作用：利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.5、提出问题 学了六组诱导公式后,能否进一步用语言归纳概括诱导公式的特点？（奇变偶不变,符号看象限.）6、示例应用例1将下列三角函数转化为锐角三角函数

29、。（1）sin (2)cos10021 (3)sin (4)tan32432例2、 证明(1)sin(-)=-cos ;(2)cos(-)=-sin.变式练习 例3 化简变式练习 化简 1、（1） （2）2、已知sin是方程5x2-7x-6=0的根,且为第三象限角,求的值.三、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“- a”公式化为正角的三角函数；2用“2kp + a”公式化为0，2p角的三角函数；3用“pa”或 “”公式化为锐角的三角函数四、作业：习题1.3 B组第1题 五、探究1、习题1.3 B组第2题2、1. 4.1 正弦函数、余弦函数的图象班级 姓名 【教学目标】1、 通过本节

30、学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.2、 通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.【教学重点】正弦函数、余弦函数的图象.【教学难点】将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.【教学过程】一、预习提案 （阅读教材第3033页内容，完成以下问题：）1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x0,2的图象。y xo说明：使用三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范。y2、 由上面画出的x

31、0,2的正弦函数图象向两侧无限延伸得到正弦函数的图象（正弦曲线），请画出：ox3、 观察图象（正弦曲线），说明正弦函数图象的特点：由于正弦函数y=sinx中的x可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧 。正弦函数y=sinx图象总在直线 和 之间运动。4、观察正弦函数y=sinx, x0,2的图象，找到起关键作用的五个点：，xoy5、用“五点作图法”画出y=sinx, x-,的图象。6、函数（x+1）的图象相对于函数（x）的图象是如何变化的？函数y=sin（x+）的图象相对于正弦函数y=sinx的图象是如何变化的？由诱导公式知：sin（x+）=，所以函数y=sin（x+）=请画出y=cosx的图

32、象（余弦曲线）xyo7、观察余弦函数y=cosx, x0,2的图象，找到起关键作用的五个点：，y8、用“五点作图法”画出y=cosx, x-,的图象。ox二、新课讲解例1、用“五点作图法”作出y=, x0,2的图象；并通过猜想画出y=在整个定义域内的图象。练习：用“五点作图法”作出y=, x0,2的图象；并通过猜想画出y=在整个定义域内的图象。例2、用“五点作图法”作出下列函数的简图;（1）y=1+sinx, x0,2;(2)y=2cos(2x-) 练习：用“五点作图法”作出下列函数的简图;（1）y=-cosx, x0,2;(2)y=2sin(x-)+1三、课堂小结 1、 会用“五点法”作图熟练地画出一些较简单的函数图象. 2、关键点是指图象的最高点，最低点及与x轴的交点。四、作业布置 习题1.4 A组第1题1. 4.2 正弦函数、余弦函数的性质班级 姓名 【教学目标】1、通过创设情境,如单摆运动、四季变化等,让学生感知周期现象;2、