2022年新修订的数学教学大纲新增了导数的初步知识.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载在高新修订的数学教学大纲新增了导数的初步学问,它的增加为数学注入了新的活力,中新教材中,导数学问的增加,为解决中学最值问题供应了一种有效的途径和简便的方法；利用导数解决中学最值问题,往往将中学最值问题转化为函数最值问题,继而用导数加以求解；利用导数解决函数最值得这类题的一般方法是：1、依据求导法就对函数求出导函数； 2、令导数等于 O,解出导函数的零点；3、分区间争论,得出函数的单调区间；4、判断极值点,求出极值；5、求出区间端点值与极值进行比较,求出最值；为了对导数与中学最值问题进行探究,接下来将从导数在解决二次函数、三角函数

2、与其它函数最值问题这三个方面进行例说；2.1 导数在二次函数中的应用二次函数的最值问题是高中数学中比较典型的学问点；在历年的高考题目中,对二次函数的最值问题主要是求二次函数在某个区间内的最大值或最小值；这类题目一般都含有参数,是高考的热点,也是难点； 用数形结合思想对这类题目进行解题,虽然不失为一种很好的解题方法,但比较繁琐；假如运用导数的学问来解答,就非常便利； 导数的作用主要是判断函数在此区间上的单调性与函数的极值点,解题的关键在于考察二次函数的极值点与区间的相对位置关系；二次函数的区间最值问题可分为以下两大类 类型题的解法；2.1.1 二次函数在闭区间上的最值 2.1.1.1.不含参数型

3、 这类题比较简洁, 不需要对参数的变化范畴进行分类争论,个区间上的单调性,就可以得到二次函数的最大 小值；四小类 ,下面举例说明各种只需依据导数判定函数在这例 1 1997 年全国高考题 函数 y cos 2 x 3 cos x 2 的最小值是 _. A2 B0 C-14 D6. 解 令 t cos x,就 t -1,1 ,y f t t 2 3 t 2,f t 2 t 3 0,因此在区间 1,1上是减函数,就当 t 1 时,函数 y 的最小值是 f 1 0；点评 此题以三角函数学问为载体,先通过换元, 将三角问题转化为二次函数在区间 1,1 上的最小值的问题；2.1.1.2 含参数型1区间变

4、化而二次函数的极值点不变；依据极值点与区间的位置关系,需要分三种情形讨名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 论；极值点在区间左边；学习必备欢迎下载极值点在区间上；极值点在区间右边；解题步骤是先对函数求导；依据导数判定函数在这个区间上的单调性和求出极值点,进而求出函数的最值；例 2 2002 年全国“ 期望杯” 竞赛题 已知函数 y f x 2 x 2 8 x ,1 x R , 在区间 t , t 2 上,将函数 f x 的最大值表示成函数 g t ；解 对函数求导得 y f x 4 x 8,极值点是 x 2；下面分三种情

5、形争论：i当 t 2 2,即 t , 0 时,有 t x t 2,就 f x -4x 8 0,知 f x 在区间2 t , t 2 上是增函数,此时 f x 的最大值 g t f t 2 2 t；ii 当 t 2 , t 2 ,即 t ,0 2 时,知 t x 2 时,f x -4x 8 0,函数 y f x 是增函数,2 x t 2 时,f x -4x 8 0,函数 y f x 是减函数,就此时 f x 的最大值 g t f 2 9；iii 当 t 2,即 t 2 , 时,有 x t 2,f x 0,就 f x 在区间 t , t 2 上是减函数,此时其最大值 g t f t 2 t 2 8

6、 t 1；22 t 9 , t , o ,综上,g t 9 , t 0 , 2 , . 22 t 9 t ,1 t 2 , 点评 此题是由区间的运动变化,引起极值点与区间的位置关系的变化,从而使问题在不同的情形下有不同的解,是一道需要用运动变化的观点来解答的经典数学问题；2区间不变而二次函数的极值点变化；这类题比较复杂,依据区间与二次函数对称轴的位置关系,需要分三种情形争论：区间在极值点的左边；极值点在区间上；区间在极值点的右边；例 3 2004 年上海高考题 已知倾斜角为 45 的直线过点 A ,1 2 和点 B , B 在第一象限, 且AB 32；对于平面上任意一点 P,当点 Q 在线段

7、AB 上运动时 ,称 PQ 的最小值为 P 与线段 AB 的距离 .已知点 P t 0, 在 x 轴上运动, 写出点 P 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关系式；名师归纳总结 解 依据题意得 ,直线 l 的方程是yx3,设点 B 的坐标是a,a3,就第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |AB|学习必备12欢迎下载232 aa3 解得a2,又 B 在第一象限 ,只能够at2；设线段 AB 上的点 Q 的坐标是x,x3 ,就记f2,极值点是|PQ|xx3 2 1x4 xxt2x3 22x22 t3 xt29,fx 4x2t3x

8、t3；2下面分三种情形争论：i当t221,即t1时,有x1t23,fxt3 20,因此fx在区间,14上是增函数,fxminf 1 22t3 t29t22t5,ht22 t5；fxii 当1t231t5时,有1xt23时,t230,函数y4,即fxt23x4时,fxt230,函数yfx|；是减函数；是增函数；,就h2 t 23知fxmin2t3 2t3 2t291t3 2ft2342iii 当t234,即t5时,有x4t23,fxt30,知fx在区间,14上2是减函数,fxminf42168 t3 t29t28t17,就ht28 t17；t22 t5 ,t,1 ,综上所述 ,h tt2|t3|

9、,tt,1 5 ,2217,5t 为参数,关于点Q 的横坐8 t点评 此题以解析几何学问为载体,利用两点间距离公式,得到以标 x 的函数, 依据二次函数的极值点与区间的相对位置关系,分三种情形争论,从而得到了问题的解；2.1.2 二次函数在非闭区间上的最值由于这类题的区间和极值点都变化,这类题非常复杂,属高难度的问题；依据区间与极名师归纳总结 值点的位置关系, 需要分两种情形争论：极值点在这个区间上；极值点不在这个区间上；第 3 页,共 9 页解题步骤是先对函数求导,依据导数判定函数在这个区间上的单调性,进而求出函数的最值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

10、 - 学习必备fx欢迎下载|xa|,1xR求fx的最小值；例 4 2002 年全国高考题 设 a 为实数, 函数x2解 分两种情形争论：2 11当 x , a 时,函数 f x x x a 1,f x 2 x 1 极值点是 x；2如 a , 1,有 x a 1,就 f x 2 x 1 0,因此 f x 在 , a 上是减2 2函数,从而函数 f x 在 , a 上的最小值是 f a a 2 1；如 a 1 , ,当 x 1时,就 f x 2 x 1 0,所以 f x 在 , 1 上是减2 2 2函数；当 1 x a 时,就 f x 2 x 1 0,所以 f x 在 x 1, a 上是增函数,

11、故 f x 2 2在 , a 上的最小值是 f 1 3 a；2 42 12当 x a , 时,函数 f x x x a 1,f x 2 x 1 极值点是 x；2如 a , 1,当 a x 1,就 f x 2 x 1 0,f x 在 a , 1 上是减函2 2 2数；当 x a 1,就 f x 2 x 1 0,f x 在 1, 上是增函数,此时 f x 的2 2最小值是 f 1 3 a；2 41 1 如 a , ,有 x a,就 f x 2 x 1 0,所以 f x 在 a , 上是2 2增函数 ,此时 f x 的最小值是 f a a 2 1；综上,当 a , 1 时,函数 f x 的最小值是

12、3a；当 a 1, 1 时,函数 f x 2 4 2 2的最小值是 a 21；当 a 1 , 时,函数 f x 的最小值是 3a；2 4点评 此题由于含有肯定值符号,去掉肯定值符号时,需要对x的范畴进行争论；又由于函数的极值点的变化,又需要对函数的极值点与区间的相对位置进行争论 ,从而增加了问题的难度 ,是一道高难度的考题；2.2 导数在三角函数中的应用导数在函数中应用相当广泛,除了前面我们已经介绍的二次函数,其实导数在三角函数中也有应用 .我们可以利用导数学问求解三角函数中涉及到最值的问题,并利用导数新解一 类最值问题；2.2.1 利用导数解决涉及三角函数最值问题名师归纳总结 - - - -

13、 - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5 已知函数ysin2xacos2x学习必备欢迎下载x8,求 a 的值；图象的一条对称轴为分析 此题一般先化为 y a 2 1 sin 2 x 的形式 ,然后在 2 x k k Z 中2令 x 进而求解 ;或在等式 f x f x 中赋值求解,由三角函数的图象8 8 8可知函数在对称轴点处取到最值 ,利用导数学问,只要 y x 0 就可求出 a 的值；8解 由于 x 是图象的一条对称轴, 所以函数 y sin 2 x a cos 2 x 在 x 处取到最8 8值,这时函数的导数 y 2 cos 2 x 2

14、a sin 2 x 的值为零,即 yx 2 cos 2 a sin 0,求得 a 1；8 4 4例 6 已知函数 y A sin x , x R 其中 A 0 , 0 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点 函数取最大值的点 为 M ,2 2 2 ,与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N6,0 ,求这个函数的解析式；分析 求解此题一般是先求出 A ,三角函数中常将 M 2 2, 2 代入解析式,或用“五点法” ,或用图象平移求出 .由于 M 点是图象的一个最高点,由导数学问知函数在该点处的导数为零求得；解 依据题意有 A 2 2 T 4,所以 T= 16,于是 2 T；所以所求解析式为4 T 8y

15、 2 2 sin x ；因 为 M 点 是 图 象 的 一 个 最 高 点,所 以8y x 2 2 2 c o s 2 0 即 cos 0 求得满意条件的 的最小正数解8 8 4是；因此所求的函数解析式是 y 2 2 sin x ；4 8 4中学数学中涉及到三角函数最值的问题有许多,而解决这类问题,同学往往利用三角函数的三角函数性质来解决,形成一个固定思维,利用导数解决这类问题,就为同学供应了一个新的解题方法, 而且使解题思路更加清晰,解题过程更加明白,也很好地锤炼了同学综合应用学问的才能；2.2.2 利用导数新解一类三角最值问题名师归纳总结 例 7 已知02,求81的最小值；第 5 页,共

16、9 页cossin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 1 81264学习必备欢迎下载sin2cos 2161cossin2 cossincos2 sin2 265 64 tan 16 t a n c o t c o t2 2 265 16 tan cot 48 tan 6 cot 6 cot 16 t a n 4 c o t 65 2 16 t a n 2c o t 26 3 3 8 t an 2c o t c o t 1 2 52 2 2当且仅当 16 tan cot 8, tan cot , 4 tan cot 均成立,即 tan 1 0 时取

17、等号；所以 8 1 min 5 5；2 2 cos sin解法 2 8 1 2 642 16 12 sin 2 cos 2 cos sin cos sin cos sin2 265 64 tan 16 t a n c o t c o t2 265 8 8 t a n c o t c o t 8 t a n 8 t a n c o t 3 2 3 265 8 3 8 tan cot cot 3 8 tan 8 tan cot 1251当 且 仅 当 8 t an c o t,8 tan cot 2均 成 立 , 即 t an2 时 取 等 号 ； 所 以 8 1 min 5 5；cos sin方

18、法 3 设 y 8 1,就 y 8 sin 12 cos 8 sin2 cos2cos sin cos sin cos sin3 3 38 sin2 cos2 cos 8 tan2 1 . 令 y 0,得 tan 1；当 tan 1时,y 0；cos sin sin 2 2当 tan 1时 ,y 0； 故 t a n 1时 , y 有 极 小 值 , 即 最 小 值 ； 此 时2 2c o s 2, s i n 1, 代入原式得 y min 5 5；5 5点评 不难看出 ,方法以上解法都是先对原式平方,利用“1 sin 2cos 2” 的代换, 再结合平均值不等式加以解决,而在运用平均值不等式

19、时需要具备较强的配凑技巧,此法虽妙但不易把握；而方法 3 运用导数来解决,过程简洁明白 ,且易于把握,淡化了技巧,突出了通法,充分表达了导数解法的优越性；2.3 导数在其它函数中的应用除了上面提到过的二次函数、三角函数,在中学数学教学中,我们仍学习了对数函数、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载指数函数等,而在实际中往往结合几类函数综合命题；接下来,将从三次函数、复合函数、与函数有关的方程这三个方面进行例说；2.3.1 三次函数3 2例 8 求函数 f x x 3 x 3 x 2 , x ,1 2 的

20、最大值和最小值；分析 函数 f x 在闭区间上的最大 小值是函数 f x 在此区间的极大 小 值与区间端点函数值中的最大 小值；解 f x 3 x 2 6 x 3,令 f x 0,方程无解；因 f x 3 x 26 x 3 3 x 1 2,令 f x 0 得 x 1,没有驻点；由于 x 1 2, ,当x 1 1, 时 f x 0,当 x ,1 2 时,f x 0,所以函数 f x 在 x 1,1 先单调递减后单调递增；所以当 x 1 时,函数 f x 取得最小值；故当 x 1 时,f 1 9；当 x 2 时,f 2 0；所以当 x 1 时,f x min f 1 9,当 x 2 时,f x m

21、ax f 2 0；例 9 在边长为 a cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子图 1；箱底的边长是多少时,箱子的容积最大.最大容积是多少. 解 如图,设剪掉的小正方形的边长为x ,就盒的底边长为a2x,高为 x 盒的容积名师归纳总结 由 于Vxa2x20xa2xa6x 1a, 因 此 在第 7 页,共 9 页2Va2x 24xa2xaa2xa6xa0,a内函数 V 只有一个可能的极值点xa 6,它也是容积V 的极值点, 所以当xa时有26- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 最大容积V2a3；学习必备欢迎下

22、载27点评 此题的关键在于建立V 与 x 的关系式,再利用导数解决最值问题；此题考查了函数、导数及其应用等学问,考查运用数学学问分析和解决实际问题的才能,并对自变量进行了争论,仍考查了分类思想方法；例 10 求曲线y2x上的点,使其到点A3 ,0的距离最短；y 2,d与d2在同一点取到解 曲线y2x上的点到点A 30,的距离公式为dx3 2x3 2y2, 求 导 数最 大 值 , 为 计 算 方 便 求d2的 最 大 值 点 ； 将y2x代 入d2d22x3 1；令d20得x5；并由此解出y10,即曲线y2x上的点225,10和点5,10到点A3 ,0的距离最短；2222点评 此题的关键在于找

23、出点到曲线的距离的函数关系式,然后再依据求最值得方法求出最大值,对 d 求导数,由于 d 是根式函数,求导比较复杂,转化为d2的导数,对2 d 进行求导数；求出2 d 的最大值,由于d 是距离为正,开方就是d 的最大值了；2.3.2 复合函数 在中学函数问题中,经常会遇到复合函数；简洁地利用函数性质来解决问题是不够的,而利用导数解决该类问题,就为解题供应了一个强有力的工具,既统一明白题方法,又使解题思路更加清晰,回避了各种解题技巧；例 11 求函数fxx4lnx4在e ,e 上的最大值与最小值1,x41舍去 ；所以x1解 由fx4x344x1 xx1 x21 0,解得xx时,f1 1为函数的极

24、值；又fe 4 e4,f1e4,通过比较可见函数efxx4lnx4有最大值e44,最小值 1；点评 解决函数最值,第一先要求出函数导数,然后让此函数的导数等于零,求出驻点和不名师归纳总结 可导点,然后比较三类点:导数为0 的点、不行导点和区间端点的函数值,其中最大者便是第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x在a,b学习必备在欢迎下载上的最大值,最小者便是f x a ,b 上的最小值；例 12 已知函数fx x22xa,x,1,当a1 2时,求函数f x 的最小值；上是x解 当a1时,fxx12得x1120,得函数fx在x1 ,2

25、2xfx112；因x,1,所以f2x2xfxminf1 7；增函数 .所以当x1时,2点评 此题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式,利用函数单调性,利用二次函数的配方法； 解决fx x12这类函数, 如x0,就优先考虑用均值不等式求最2x小值；但要留意等号是否成立；而假如利用导数判定函数fxaxb的增减性来求最值,x就统一明白题方法；2.3.3 与函数有关的方程例 13 如x,y是正数,xy1,求18的最小值；统一明白题方法,x2y2解 由xy1得y1x0,x,1故181 182；x2y2x2x令fx1182,就fx21163,令f x0得x1x2xx3x3当0x1时,fx ;0当1x1 时,fx 0；33所以当x1时,fxmin27,故（18）min27；3x2y2点评 此题的关键在于将方程转化为函数问题,再利用导数解决最值问题,使解题思路更加清晰,回避了各种解题技巧；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页