2022年数值计算方法教案_数值积分.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案第四章 数值积分一问题提出：fx（1）针对定积分Ibfx dx ,如fx5 x ,a=0,b=1 ,即有I15 x dxx611,但当a0606sin x,fxsinx , ,时,很难找到其原函数；2x（2）被积函数并没有详细的解析形式,即fx 仅为一数表；二定积分的几何意义定积分Ibfx dx 的几何意义为,在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面a积,这四条曲线分别是yfx ,y=0,x=a,x=b；bxyy=fxa三机械求积公式1. 中矩形公式Ibfx dxbafa2b；a几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积；

2、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - y名师精编精品教案y=fxaa+bbx22. 梯形公式Ibfx dxb2afafba梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：yay=fxbx3. 辛普生公式Ibfx dxb6afa4fa2bf ba辛 普 生 公 式 的 几 何 意 义 ： 阴 影 部 分 的 面 积 为 抛 物 线 曲 边 梯 形 , 该 抛 物 线 由名师归纳总结 a f a ,a2b,fa2b,b f b 三点构成；第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

3、- - - - - y名师精编精品教案y=fxaa+bbx24. 求积公式的一般形式bfx dxkn0A f kxk,其中kx 称为节点,kA 称为求积系数,或权；a5. 求积公式的代数精度（衡量求积公式精确度的一种方法）含义：衡量一个积分公式的好坏,要用详细的函数来衡量,查找怎样的函数来衡量呢？简洁的多项式函数是一个抱负的标准；定义：如某积分公式对于xkk0,1,m 均能精确成立,但对于m x1不能精确成立；就称该公式具有 m次代数精度；名师归纳总结 说明：代数精度只是衡量积分公式好坏的1 种标准；a ,左=右；例 1讨论中矩形公式bfx dxbafa2b的代数精度及几何意义；a解：当fxx

4、01时,公式左边bfx dxb1dxba ,公式右边baa当fx1 x 时,公式左边bfx dxbx dxx2bb22a2,aa2a第 3 页,共 11 页公式右边baa2b2 b2a2,左=右；当fx2 x 时,公式左边bfx dxb2 x dx3 xbb33a3,aaa3公式右边baa2b2,左右；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故中矩形公式具有名师精编精品教案1 次代数精度 ；从定积分的几何意义可以看出,当被积函数为一条直线时,中矩形公式是严格成立的,中矩形面积与梯形面积相等,如下图所示；yay=a+bxbxa+b2例 2讨论梯形公式Ibfx

5、dxb2afafb的代数精度及几何意义；a解：当fxx01时,公式左边bfx dxb1dxba ,公式右边ba ,左=右；aa当fx1 x 时,公式左边bfx dxbx dxx2bb22a2,aa2a公式右边b2aabb22a2,左 =右；3 xbb33a3,当fx2 x 时,公式左边bfx dxb2 x dxaa3a公式右边b2a a2b2,左右；故梯形公式也具有1 次代数精度 ；从定积分的几何意义知, 当被积函数为一条直线时, 其积分值本身就是一个梯形的面积,如下图所示；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - y名师

6、精编精品教案y=a+bxabx例 3讨论辛普生公式Ibfx dxb6af a4fa2bfb的代数精度及几何a意义；解：当fxx01时,公式左边bfx dxb1dxba ,公式右边ba ,左=右；aa当fx1 x 时,公式左边bfx dxbx dxx2bb22a2,aa2a公式右边b6aa4a2bbb2a2,左 =右；2当fx2 x 时,公式左边bfx dxb2 x dx3 xbb33a3,aa3a公式右边b6aa24a2b2b2b6a2 a22 ab22 bb33a3,左 =右；当fx3 x 时,公式左边bfx dxb3 x dxx4bb44a4,aa4a公式右边b6aa34a2b3b3b44

7、a4,左 =右；当fx4 x 时,左右；故梯形公式具 有 3 次代数精度；当被积函数为一条直线或一条抛物线时,过其曲线上3 个点构造的抛物线就是其本身曲线,所以积分公式严格成立；当被积函数为 3 次多项式时,辛普生公式也严格成立,如下图所示,两个曲边梯形面积刚好相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案yabx6. 求积公式的确定方法一：待定系数法；例 1. 构造一个至少具有一次代数精度的积分公式；分析：构造一次代数精度的公式,即当fx1及 fxx 时 ,公式严格成立,故有2个约束条件,于是可以确定

8、具有2 个参数的积分公式；解：设积分公式为：b afx dxA f aA f b ；针对fx1及 fxx ,代入积分公式的左边和右边,有：1bbaA 0A 1Ab 1,解得A 01ba ,A 11ba2a2A a 0222于是有积分公式：bfx dxb2afab2afb ；a该公式即为 梯形求积公式；名师归纳总结 例 2. 构造一个至少具有2 次代数精度的求积公式；A 21ba第 6 页,共 11 页解：设积分公式为bfx dxA faA fa2bA fb ；a针对fx1, fxx 及fx2 x ,代入积分公式的左边和右边,有：baA 0A 1A 21b2a2A aA 1a2bA b,解得：A

9、 01ba ,A 12ba ,26361b3a3A a2A 1a2b2A b23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 积分公式为：Ibfx dx名师精编精品教案f bb6af a4fa2ba该公式即为辛普生公式,需要留意的是,该公式的代数精度并不是 2 次,而是 3 次的；方法二,插值法 （插值型求积公式） ,即过函数 fx 的 n+1 节点 x0,x1, , xn,作n 次多项式函数nPx ,依据拉格朗日公式：P nxnlkx fx k,就有n+1 nk0bfx dxbP nx dxkn0blkx dxfxkkn0A fx k,其中,A kblkx dx

10、aaaa代数精度的分析：如被积函数fx 是次数小于 n 的多项式函数,那么由其曲线上的节点构成的n 次多项式函数P nx 即是被积函数 fx 本身；就： 插值型积分公式具有至少次代数精度；说明：如 fx 是一条直线,那么过其曲线上3 个点构造的抛物线P 2xa 0a x2 a x ,其中必有a 20,即P 2xfx ；3 次多项式函 数同理,如fx 是一条抛物线,那么过其曲线上 4 个点构 造的P x 3a 0a x 1a x 223 a x ,其中必有 3a 30,即P 3xfx ；四牛顿 - 柯特斯公式1. 牛顿柯特斯公式（ 等间距的插值型求积公式）把区间 a,b分为 n 等份,步长为 h

11、 h（ ba）/n 就 n+1 个点分别为：kxakh ,k0,1,n ；由这 n1 个点构造的插值型求积公式为：nC 称为柯特斯系数 ,Ibak0C f kxk该公式称为牛顿柯特斯公式,C kb1abj jn0 kxxjjdxax kx当 n1 时（即 2 个点, 1 等份）,有梯形公式（ 1 次代数精度）：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案b aI 1 f a f b2当 n2 时（即 3 个点, 2 等份）,有公式辛普生公式（ 3 次代数精度）：I2b6af a4fa2bf b当 n4 时（

12、即 5 个点, 4 等份）,有柯特斯公式（ 5 次代数精度）I4ba7fkx032fx 1h12f4x 232fx 37fx 490x k0,1,2,3, 4,baakh ,2. 复化求积公式1.复化梯形求积公式T nn1hfx kfx k1hf af b2n1fx kk022k12.复化辛普生公式S nn1hfxk4fx k1fxk1hfafb4n1fx k12n1fx kk066k0k1223. 变步长算法梯形公式的逐次分半算法含义：把区间 a,b分成 n 等份运算其 n 个小梯形面积其 2n 个小梯形面积T 2n；T n预备学问：IT 2n1T 2n3就有：IT 2nT 2nT nT ；

13、再把区间 a,b分成 2n 等份运算先运算T T ,如T 2T 1,再运算T , 直到T 2nT n为止,就T 2n就是答案；4. 龙贝格求积公式复化积分的误差公式名师归纳总结 IT nh2fbffafah 第 8 页,共 11 页12IS n1h4b180 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - IC n2h6f5bf5a名师精编精品教案945 4龙贝格公式推导IT 2n1I4T 2n1T nS nTnT2nIIT n433IS 2n1I16S 2n1S nCnSnS2nIIS n161515IC2n1I64C2n1CnR nCnC2nIICn64636

14、3公式R n64C2n1C 称为龙贝格公式 ,龙贝格公式不是牛顿柯特斯公式；6363龙贝格公式求积算法T1 T2 S1 C1 R1 T4 S2 T8 S4 C2 T16 S8 C4 R2 5. 高斯公式（1）.含义：积分公式的一般形式；bfx dxkn0A fxk待定值 ；a以前的节点是按等间距来挑选,为了获得更高的代数精度节点也可以作为（2）.一点 高斯公式名师归纳总结 设一点高斯公式的形式为：b afx dxA fx 01 次代数精度；第 9 页,共 11 页其实A x 都是需要待定的值；依据代数精度概念,0 0令fx1,fxx ,使积分公式精确成立,有baA 01b2a2A x 02解得

15、：A 0ba,x 0a2b,故一点高斯公式为：b afx dxbafa2b,即为中矩形公式,它具有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案（3）.二点高斯公式b设一点高斯公式的形式为：af x dx A f x 0 A f x 1其实 A A x 0 , x 都是需要待定的值；依据代数精度概念,令 f x 1, f x x f x x 2 , f x x ,使积分公式精确成立,有 3b a A 0 A 11 2 2b a A x 0 0 A x 1 121 3 3 2 2b a A x 0 0 A x 1 131 4 4 3 3b a A

16、x 0 A x 14该方程组不是线性方程组,故其求解比较困难,最终解得：解得：A 0A 1b2a,x 0baa2b,x 1baa2b,故二点高斯公式为：2 32 3b afx dxb2af,它具有 3 次代数精度 ；baa2bfbaab2 32 32n 点高斯公式具有至少2n1 次代数精度；（4）.勒让德多项式P nxn.dnx21n2ndx1P xx ,x23x21P 2x3P 3xx33x5P 4xx4303535；可以证明, 勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式：1fx dxkn0A fxk1（5）.三点高斯公式名师归纳总结 确定公式1fx dxk20A f kxk中的 6 个参

17、数；第 10 页,共 11 页1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 3 次勒让德多项式P 3x3.名师精编3精品教案x x3x3dx21x33x6.3 dx555就其零点为：x 03,x 10,x 23；令f x1, f xx f xx2,使积分公式精确成立,55有A 0A 1A 2202,A 18,A 2f5,故三点高斯公式为：A x 0A x 1 1A x2A x 02A x 12A x 223解线性方程组,得A 0599911fxdx5f3805f395995作业：1. 数值积分公式3 0fx dx3f1f2是否为 差值型求积公式 ？其代数精度是多少122. 确定求积公式b afx dxA faA f bA fa 中的参数A A 2,A ,使其具有尽可能高的代数精度；3. 确定求积公式1fx dxA f1A f1A f1中的参数A1,A2,A ,使其具133有尽可能高的代数精度；b-a=A1+A2 0.5b2-a2=A1a+A2b+A3 1/3b3-a3=A1a2+A2b2+2A3a 1/4b4-a4=A1a3+A2b3+3A3a2 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页