2022年概率统计公式大全.docx

《2022年概率统计公式大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率统计公式大全.docx（60页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （ 1）n P m第 1 章随机大事及其概率m .从 m个人中挑出n 个人进行排列的可能数；mn .排 列 组 合公式（ 2）加 法 和 乘法原理（ 3）一 些 常 见 排列（ 4）随 机 试 验 和 随 机 事件Cnn .m .n.从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数；mm加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,其次种方法可由n种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来

2、完成,第一个步骤可由m种方法完成,其次个步骤可由n 种方法来完成,就这件事可由m n 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个）次序问题 假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试 验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下, 不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组大事,它具有如下性质：每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事；（ 5）基本领件、样 本 空 间和大事任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用来表示；基本领件

3、的全体,称为试验的样本空间,用表示；一个大事就是由中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母A,B,C, 表示大事,它们是的子集；为必定大事,.为不行能大事；不行能大事 （.）的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理,必定大事（ ）的概率为1,而概率为1 的大事也不肯定是必定大事；关系：（ 6）事 件 的 关 系与运算假如大事 A 的组成部分也是大事B的组成部分, （A发生必有大事B 发生）：AB假如同时有AB,BA,就称大事A 与大事 B 等价,或称A 等于 B：A=B；A、B中至少有一个发生的大事：AB,或者 A+B；属于 A而不属于 B 的部分所构成的大事,称为A与 B

4、的差,记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB,它表示 A 发生而 B不发生的大事；A、B 同时发生： AB,或者 AB；AB= ,就表示A 与 B 不行能同时发生,称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 -A 称为大事 A 的逆大事,或称A 的对立大事,记为A ；它表示 A 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABC A BC=A BC 安排率： AB C=AC BC A BC=ACBC 德

5、摩根率：i1Aii1AiABAB,ABABPA ,如满设为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实数足以下三个条件：1 0 PA 1,（ 7）2 P =1 1A ,A , 有3对于两两互不相容的大事概 率 的 公理化定义PA iPAiii1常称为可列（完全）可加性；就称 PA 为大事 A 的概率；（ 8）11,2n,Pm2 P 1P 2Pn1；n设任一大事A ,它是由1,2m组成的,就有古典概型PA=P12m =P1P 2mA所包含的基本领件数同时样本空n基本领件总数如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,（ 9）间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述,就称此

6、随机试验为几何概型；对任一大事 A,几何概型PALA；其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）；（ 10）LPA+B=PA+PB-PAB 加法公式当 PAB 0 时, PA+B=PA+PB PA-B=PA-PAB （ 11）当 BA时, PA-B=PA-PB PA0 ,就称PAB为大事 A 发生条件下,事减法公式当 A= 时, P B =1- PB 定义 设 A、B是两个大事,且（ 12）PA条件概率件 B 发生的条件概率,记为PB/APAB；P A1 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）

7、2022-1-1 条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；（ 13）例如： P /B=1P B /A=1-PB/A An|A 1A2乘法公式：PABPAPB/A PBPA/B更一般地,对大事A1,A2, An,如 PA1A2 An-1 0 ,就有PA 1A2AnPA 1PA2|A 1 PA3|A 1A2 P乘法公式An1 ；两个大事的独立性设大事A、B满意PABPAPB,就称大事A、B是相互独立的；如大事 A 、 B 相互独立,且P A0,就有PBPBPB|A PABP APAPA 如大事 A , B 相互独立, 就可得到 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也都相互独（

8、 14）立；必定大事和不行能大事 与任何大事都相互独立；独立性 与任何大事都互斥；多个大事的独立性设 A,B,C是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB ；PBC=PBPC ； PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、B、C相互独立；对于 n 个大事类似；（ 15）设大事B1 ,B2,Bn满意P0i,12 ,n,1B1,B2,B n两两互不相容,PB in全 概 率 公2Ai1iB,2BiPBnPA|Bn；式就有PA PB1 PA|B 1P B2PA|B设大事B ,B , ,B 及 A满意1B ,B , ,B 两两互不相容,0, i1,2, ,n,n（ 1

9、6）就2B iAA i1iB,且P A 0,i=1 ,2, n；贝 叶 斯 公P /nPB iP A/B i式（ 用 于 求后验概率）j1P BjP A/Bj此公式即为贝叶斯公式；P B i ,（i 1,2 , ,n）,通常叫 先验概率 ；P B i / A ,（i 1,2 , ,n ）,通常称为 后验概率 ；贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果溯因 ” 的推断；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 我们作了n次试验,且满意（17）伯 努 利 概型每

10、次试验只有两种可能结果,A 发生或 A不发生；n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验；用p表示每次试验A 发生的概率,就A 发生的概率为1pq,用Pnk表示n重伯努利试验 中A显现k0kn次的概率,PnkCkpkqnk,k2,1,0,n；n其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即事件X=Xk 的概率为PX=xk=p k,k=1,2, ,（ 1）就称上式为离散型随机变量,X 的概率分布或分布律；有时也用分布列

11、的形式给出：离 散 型 随PXXx k|x 1 ,x2 ,xk,机 变 量 的p 1 ,p2 ,p k；分布律明显分布律应满意以下条件：（ 2）连 续 型 随机 变 量 的 分布密度（1）p k0,k,12,（2）k1pk1；设Fx 是随机变量 X 的分布函数, 如存在非负函数fx,对任意实数x,有Fxxfx dx,就称 X 为连续型 随机变量；fx称为 X 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度；密度函数具有下面4 个性质：1fx0, 2fx dx1, 3P x 1Xx 2x 2fx dx, x 14如fx 在点x 处连续,就有Fxfx；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页

12、,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （ 3）PXxPxXxdxfxdxXb xkpk在离离 散 与 连续 型 随 机积分元fx dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P变 量 的 关系散型随机变量理论中所起的作用相类似；a,的概率；分布设 X 为随机变量,x 是任意实数,就函数FxPXx 称为随机变量X 的分布函数,本质上是一个累积函数；PaXb Fb Fa可以得到X 落入区间函数Fx表示 随机变量落入区间（, x 的概率；分布函数具有如下性质：（ 4）10Fx1 ,x；Fx1 1Fx2；2Fx是单调不减 的函数,即x

13、1x2时,有分布函数Flim x3Flim xFx 0,Fx；4Fx0Fx,即Fx 是右连续 的；0 ；5PXxFxFx对于离散型随机变量,Fx pk；xkxx对于连续型随机变量,Fx fx dx；0-1 分布PX=1=p, PX=0=q 即 B1,p 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （ 5）二项分布在 n 重贝努里试验中,设大事A 发生的概率为p ；大事 A 发生的次数是随机变量,设为X ,就 X 可能取值为0,1,2 ,n；其中PXkP nkCkpkqnk,n

14、八大分布q1p,0p,1k0,1,2,n,即 Bn,p 就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 ； 记 为XBn,p；Xkpkq1k,k0 1.,这就是 0-1 分布 ,P当n1时,所以 0-1 分布 是二项分布的 特例 ；设随机变量 X 的分布律为k泊松分布PXkk.e,0 , k = 0,1,2 ,或就称随机变量X听从参数为的泊松分布,记为X即 P 者 P ；泊松分布 是二项分布的 极限分布（ np= , n）；超几何分布P XkCk M.Cnk,lk,1,0 2,lNMCn NminMn 几何分布随机变量 X听从参数为n,N,M 的超几何分布,记为

15、Hn,N,M ；PXkqk1p,k1 2, ,3,其中 p0,q=1-p ；随机变量 X听从参数为p 的几何分布,记为Gp ；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 匀称分布指数分布设随机变量 X 的值 只落在 a ,b 内, 其密度函数f x在a ,b上为常数b1a,即fxb1a,axb其他,0 ,就称 随机变量 X 在 a ,b 上听从匀称分布 ,记为 XUa,b ；分布函数为0,xb；当 ax 1x2b 时, X 落在区间（x 1, x2）内的概率为Px 1Xx2x

16、2x 1；baex,x0, fx0, x0, 其中0 ,就称随机变量X 听从参数为的指数分布；X的分布函数为F x 1,ex,x0, 0x0；记住积分公式：xnexdxn .01 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 设随机变量 X 的密度函数为正态分布fx 1ex2,x,、的222其中、0为常数,就称随机变量X 听从参数为正态分布或高斯（Gauss）分布,记为XN,2；fx具有如下性质：1fx的图形是关于x对称的；2当x时,f1为最大值；2如XN,2,就 X 的分布函数为

17、Fx 1xet2dt222参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N01, ,其密度函数记为x1ex2,x,22分布函数为x 1xet2dt；22 x 是不行积函数,其函数值,已编制成表可供查用；（ 6）下分位表：假如X -x 1- x且 0 1/2；N,2,就XN01, P x 1Xx 2x 2；x 1P X；分位数上分位表：P X；已知 X 的分布列为（ 7）离散型Xxix 1,x2,xn,ix的概率；PXp1 ,p2,pnYgX的分布列（yigxi互不相等）如下：函数分布Yigx1 ,gx2,gx n,PYyp1 ,p2,pn ,如有某些gix相等,就应将对应的ip 相加作为g

18、1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 先利用 X 的概率密度 fXx 写出 Y 的分布函数 FYy PgX 连续型y ,再利用变上下限积分的求导公式求出 f Yy ；第三章 二维随机变量及其分布假如二维随机向量 =（X,Y）的全部可能取值为至多可列（ 1）离散型个有序对（ x,y ）,就称为离散型随机向量；设=（X,Y）的全部可能取值为x i,yji,j,12,且大事 =xi,yj 的概率为 pij, 称PX,Yx i,yjpiji,j,1,2为=（X, Y）的分布律或

19、称为X 和 Y 的联合分布律 ；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：联合分布X Y y1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：（1） pij0（ i,j=1,2, ）；（2）p ij1 .ij1 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 对 于 二 维 随 机 向 量 X , Y , 如 果 存 在 非 负 函 数f x , y x , y , 使对 任意一个其邻边分别平行于坐标轴的 矩形区域 D,即 D=X,Y

20、|axb,cyx1时,有 F（ x2,y ） Fx1,y;当 y2y1时,有 Fx,y（3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续 的,即（4）F,FFx ,yFxx0 ,y,Fx,yFx,y0;.F,yFx,0,F,1（5）对于x 1x2,y1y2,1,y2Fx1,y10. Fx2,y2x2,y1F1 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （4）离 散 型 与PXx,YyPxXxdx,yYydy fx,ydxdy连 续 型 的关系X 的边缘分布为离散型P.P Xx

21、ijp ij i,j,1 ,2；Y 的边缘分布为（ 5）连续型P .jP Yyjiyp iji,j1 2,；边 缘 分 布X 的边缘分布密度为x ,dy；密度f XxfY 的边缘分布密度为f Yyfx ,ydx .在已知 X=xi 的条件下, Y取值的条件分布为离散型P Yyj|Xxipij；pi.在已知 Y=yj 的条件下, X取值的条件分布为（ 6）连续型PXx i|Yyjpijj,p.条件分布在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为fx|yffx,y；Yy在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为（7）一般型fy|xffx,yjXxF YyXxFX,Y=Fpijpi.p.离

22、散型有零不独立独立性连续型fx,y=fXxfYy 直接判定,充要条件：联合概率密度函数可分别变量；正概率密度区间为矩形；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 二维正fx ,y1,22,1122e2 112x122x1y2y222,11221态分布其中10 ,0|,|1是 5 个参数如 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互独立, h,g 为连续函数,就：随机变量 h（X1,X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相互独立；的函数 特例： 如 X与 Y 独立 ,

23、就： h（X）和 g（Y）独立 ；例如：如 X与 Y 独立,就： 3X+1 和 5Y-2 独立；设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为fx ,y1x ,y DX,Y）S D,0其他其中 SD为区域 D的面积,就称（ X,Y）听从 D上的 匀称分布,记为（U（D）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y 1 O D11 x 图 3.1 （ 8）二维 匀称分布 y 1 D2O 1 2 x 图 3.2 y d D3c O a b x 图 3.3 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全

24、）2022-1-1 设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为（ 9）二维fx ,y21211,2e21x122x1y2y22 121122,其中1,2,10 ,20 |,2 1,|1是 5 个参数,就称（ X,Y）听从二维正态分布,2,.正态分布记为（ X,Y） N（1,22由边缘密度的运算公式,可以推出 布,二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分即 XN（1,2,YN2,2.2,X,Y未必是 二维正态分布；12但是 ,如 XN（1,2,YN2,12依据定义运算：F ZzPZz PXYz对于连续型, f Zz fx ,zx dxZ=X+Y 两个 独立的 正态分布的 和仍为正态分布（12,22）；1

25、2n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布；（ 10）Z=max,min如X1,X2XCii,2C22ii关 于 随 机ii变 量 的 函n相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为数的分布Fx 1x,Fx 2x Fx nx,就 Z=max, minX1,X 2, Xn的分布X 1,X 2, X n 函数为：maxx Fx 1xFx 2xFx nxFF minx11Fx 1x1Fx 2x1Fx nx1 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 设 n 个随机

26、变量X1,X2,Xn相互独立,且听从标准正态分布,可以证明它们的平方和WinX21i的分布密度为2 分布f1un1eu2 n ,22u0,u2nn22我们称随机变量,0n的u0.2 分布,记为 WW听从自由度为其中nxn1exdx .220所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数；2 分布满意可加性：设Y i2ni,就ZikY i2n 1n2nk.11 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且XN01,

27、 ,Y2 n,可以证明函数t 分布F 分布TXnY/的概率密度为n1n1ftn2n1t22t.n2我们称随机变量T 听从自由度为n 的 t 分布,记为Ttn ；t1ntn设X2n 1,Y2n2,且X 与 Y 独 立,可 以 证明FX/n1的概率密度函数为Y/n2fyn 12n22n 1n 1yn 111n1yn12n 2,y022n 1n2n2n220n1,其次个自由度为n20,y我们称随机变量F 听从第一个自由度为的 F 分布,记为Ffn1, n2. F1n 1,n21Fn2,n 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 第四章随机变量的数字特点连续型离散型设 X 是离散型随机变量,其分期望布 律 为PX1xxk pk ,设 X是连续型随机变量, 其概率密度为 fx,k=1,2, ,n ,（期望就是平均值）nkpkE