2022年概率论与数理统计答案3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 习题五1.一颗骰子连续掷4 次,点数总和记为X.估量 P10 X18. 1791,35.【解】设X 表每次掷的点数,就X4XiE Xi112131i14151617,6666662E Xi22 112 21321421521626666666从而D XiE X2E Xi2912i6212又 X1,X2,X3,X4 独立同分布 . 从而E XEi4Xii4E Xi4714,76%与 84%之间112D XDi4Xii4D Xi43535.11123所以P 10X18P |X14 | 4135 / 30.271,422. 假设一条生产线生产的产品合

2、格率是0.8.要使一批产品的合格率到达在的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件？【解】 令Xi1, 如第 个产品是合格品,0,其他情形 .而至少要生产n 件,就 i=1,2, ,n,且X1,X2, , Xn 独立同分布, p=P Xi=1=0.8. 现要求 n,使得nP 0.76iXi0.840.9.1n即P 0.76n0.8ninXi0.8 n0.84n0.8n0.91n0.80.2n0.80.2n0.80.2由中心极限定理得0.84 n0.8 n0.76 n0.8 n0.9,0.16 n0.16 n1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 -

3、- - - - - - - - 整理得n0.95,查表n1.64,1010n 268.96, 故取 n=269. 3. 某车间有同型号机床 200 部,每部机床开动的概率为 0.7,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能 15 个单位 .问至少供应多少单位电能才可以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产 . 【解】 要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值 m,而 m要满意 200 部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为 95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满意要求.令 X 表同时开动机床数目,就XB200, .E X140,D X42,0

4、.95P 0Xm P Xm m14042查表知m1401.64,m=151. 42所以供电能15115=2265单位 . 204. 一加法器同时收到20 个噪声电压VkkV=V ,求 P V 105 的近似值 . k1【解】 易知 :EVk=5,DVk=100 12,k=1,2, ,20由中心极限定理知,随机变量20Zk1V k205V205近似的N0,1.10010020100201212于是P V105PV20 510520 5100 1220102012PV1000.38710.3870.348,102012即有P V5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱

5、中随机地取出根,问其中至少有30 根短于 3m 的概率是多少？【解】 设 100 根中有 X 根短于 3m,就 XB100,2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 从而P X 30 1 P X 30 1 30 100 0.2100 0.2 0.81 2.5 1 0.9938 0.0062.6. 某药厂断言, 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人,假如其中多于 75 人治愈,就接受这一断言,否就就拒绝这一断言 . 1 假设实际上此药品对这种疾病的治愈

6、率是 2 假设实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少？0.7,问接受这一断言的概率是多少？【解】XiX1,第 人治愈,i1,2,100.其他.0,令100Xi.i11 XB100,0.8 ,P 100Xi751P X75175100 0.8100 0.8 0.2i11 1.251.250.8944.2 XB100,0.7 ,100175 100 0.71000 件,其中有P Xi751P X75100 0.7 0.3i11511.090.1379.217. 用 Laplace 中心极限定理近似运算从一批废品率为0.05 的产品中,任取20 件废品的概率 . 【解】

7、令 1000 件中废品数 X,就 p=0.05,n=1000,XB1000,0.05 ,EX=50,DX=47.5. 故P X201205013047.547.56.8956.8951306 4.5 10 .6.8956.8958. 设有 T1, ,T30 听从参数 T为 30 个器件使用的总计时间,求T 超过 350 小时的概率 . 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解】E T i1110,D T1100,0.12E T1030300,D T 3000.故P T35013503001510.9130.1814

8、.3000309. 上题中的电子器件假设每件为 率保证够用假定一年有a 元,那么在年方案中一年至少需多少元才能以95%的概306 个工作日,每个工作日为8 小时 . 【解】 设至少需 n 件才够用 .就 ETi=10,DTi=100,ET=10n,DT=100n. 从而P inT i30680.95,即0.05306 810 n.110n故0.9510 n2448,1.64n244.8,n272.10nn所以需 272a 元. 10. 对于一个同学而言,来参与家长会的家长人数是一个随机变量,设一个同学无家长、1 名家长、 2 名家长来参与会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.假设学校共

9、有 400 名同学,设各同学参与会议的家长数相与独立,且听从同一分布 . 1 求参与会议的家长数 X 超过 450 的概率？2 求有 1 名家长来参与会议的同学数不多于 340 的概率 . 【解】1 以 Xii=1,2, ,400记第 i 个同学来参与会议的家长数.就 Xi 的分布律为Xi0 1 2 P易知 EXi,DXi=0.19, i=1,2, ,400.400而XX ,由中心极限定理得i400i X i 400 1.1X 400 1.1 近似地N 0,1.400 0.19 4 19于是 P X 450 1 P X 450 1 450 400 1.14 191 1.147 0.1357.2

10、 以 Y 记有一名家长来参与会议的同学数 .就 YB400,0.8 由拉普拉斯中心极限定理得P Y 340 340 400 0.8 2.5 0.9938.400 0.8 0.24 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 设男孩诞生率为 0.515,求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】 用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数,就XB10000,要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求P X 5000. 由中心极限定理有P X50005000 10000 0.515 3130.00135.100

11、00 0.515 0.48512. 设有 1000 个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 在一次行动中：1至少有多少个人能够进入？2至多有多少人能够进入？0.9.以 95%概率估量,【解】 用 Xi 表第 i 个人能够按时进入掩蔽体i=1,2, ,1000. .令Sn=X1+X2+ + X1000. 1 设至少有 m 人能够进入掩蔽体,要求P mSn,大事mS nm1000 0.9S n9001000 0.9 0.190由中心极限定理知：P m S n 1 P S n m 1 m 1000 0.9 0.95.1000 0.9 0.1从而 m 900 0.05,90故 m 9001.6

12、5,90所以 m=900-15.65=884.35 884人2 设至多有 M 人能进入掩蔽体,要求 P0 SnM 0.95.P S n M M 900 0.95.90查表知 M 900=1.65,M=900+15.65=915.65 916 人. 9013. 在肯定保险公司里有 10000 人参与保险,每人每年付 12 元保险费,在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费 .求：1保险公司没有利润的概率为多大；2保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？【解】 设 X 为在一年中参与保险者的死亡人数,就XB10000,0.006. 1

13、公司没有利润当且仅当“1000X=10000 12”即 “X=120” .于是所求概率为5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - P X1201120 10000 0.00610000 0.006 0.99410000 0.006 0.99416011e160/ 259.64 259.6459.64259.640.0517 e30.181102 由于 “公司利润 60000 ”当且仅当 “0X 60” 于是所求概率为P 0X606010000 0.0060 10000 0.00610000 0.006 0.9941000

14、0 0.006 0.994P| X-Y| 6 的估量 . 0600.5.59.64 2001 研考【解】 令 Z=X-Y,有E Z 0,D ZD XYD XD Y 2XPD XD Y 3.所以P |ZE Z | 6P |XY| 6D X2Y31.6361215. 某保险公司多年统计资料说明,在索赔户中, 被盗索赔户占20%,以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. 1 写出 X 的概率分布；2 利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率近似值. 1988 研考【解】1 X 可看作 100 次重复独立试验中,被盗户数显现的次数,而在每次试

15、验中被盗户显现的概率是0.2,因此, XB100,0.2 ,故 X 的概率分布是P Xk k C 100k 1000.2 0.8k,k1,2,100.2 被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率即为大事14 X 30 的概率 .由中心极限定理,得P 14X3030 100 0.214 100 0.2 100 0.2 0.8100 0.2 0.82.5 1.50.994 9.330.927.16. 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50 千克,标准差为 5 千克,假设用最大载重量为5 吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的

16、概率大于 0.977. 【解】 设 Xii=1,2, ,n是装运 i 箱的重量单位：千克,n 为所求的箱数,由条件知,可把 X1,X2, ,Xn 视为独立同分布的随机变量,而 n 箱的总重量 Tn=X1+X2+ + Xn 是独立同分布随机变量之和,由条件知：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - E Xi50,D Xi5,E T n 50 , D T n 5 n .依中心极限定理,当 n 较大时,T n 50 n 近似地 N 0,1 ,故箱数 n 取决于条件5 nP T n 5000 P T n 50 n 5000 50 n5 n 5 n1000 10 n0.977 2.n因此可从1000 10 n2 解出 n98.0199, n即最多可装 98 箱. 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页