2022年概率论与数理统计各章重点知识整理.docx

《2022年概率论与数理统计各章重点知识整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率论与数理统计各章重点知识整理.docx（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计各章重点学问整理第一章 概率论的基本概念一. 基本概念随机试验 E:1可以在相同的条件下重复地进行 ;2每次试验的可能结果不止一个 , 并且能事先明确试验的全部可能结果 ; 3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会显现 . 样本空间 S: E 的全部可能结果组成的集合 随机大事 大事: 样本空间 S 的子集. . 样本点 基本领件 :E 的每个结果 .必定大事 S: 每次试验中肯定发生的大事. 不行能大事 :每次试验中肯定不会发生的大事.二. 大事间的关系和运算1.AB大事 B 包含大事 A 大事 A 发生必定导致大事B 发生 .

2、 2.AB和大事 大事 A 与 B 至少有一个发生 . 3. AB=AB积大事 大事 A 与 B 同时发生 . 4. A- B差大事 大事 A 发生而 B 不发生 . 5. AB= A 与 B 互不相容或互斥 大事 A 与 B 不能同时发生 . 6. AB= 且 AB=S A 与 B 互为逆大事或对立大事 表示一次试验中 A 与 B 必有一个且仅有一个发生 . B=A, A=B . 德. 摩根律ABABABAB运算规章交换律 结合律 安排律三. 概率的定义与性质1.定义 对于 E 的每一大事 A 给予一个实数 ,记为 PA,称为大事 A 的概率 . 1非负性 PA0 ; 2归一性或规范性 PS

3、=1 ; 3可列可加性 对于两两互不相容的大事 A1,A2, A iAj= , i j, i,j=1,2, , PA1A2 =P A1+PA 2+2.性质1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 P = 0 , 留意 : A 为不行能大事PA=0 . 2有限可加性 对于 n 个两两互不相容的大事 A1,A2, ,A n , PA1A2 A n=PA 1+PA 2+ +PA n 有限可加性与可列可加性合称加法定理 3如 A B, 就 PAPB, PB- A=PB- PA . 4对于任一大事 A, PA1, PA=1-

4、 PA . 5广义加法定理 对于任意二大事 A,B ,PAB=PA+PB - PAB . 对于任意 n 个大事 A1,A 2, ,A n PA 1A 2A nin1PA i1ijnPA iAj1ijknPA iAjA k +-1n-1PA1A2 A n 四.等可能 古典概型1.定义 假如试验 E 满意:1样本空间的元素只有有限个,即 S=e1,e2, ,e n;2每一个基本领件的概率相等 ,即 Pe1=Pe2= = Pe n .就称试验 E 所对应的概率模型为等可能 古典概型. 2.运算公式 PA=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本领件数 , n 是 S中包含的基本领件总数 . 五.条

5、件概率1.定义 大事 A 发生的条件下大事 B 发生的条件概率 PB|A=PAB / PA PA0. 2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA0; PAB=PB P A|B PB0. PA1A2 A n=PA1PA2|A1PA3|A1A2 PA n|A1A2 A n-1 n2, PA1A2 A n-1 0 3. B1,B2, ,B n 是样本空间 S 的一个划分 BiBj= ,i j,i,j=1,2, ,n, B1B2 B n=S ,就当 PB i0 时,有全概率公式PA=in P1BiPABiiiPB iPAB ii. 当 PA0, PB i0 时,有贝叶斯公式 P Bi|A=PABPA

6、n P1B iPAB六. 大事的独立性2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.两个大事 A,B,满意 PAB = PA PB 时,称 A,B 为相互独立的大事 . 1两个大事 A,B 相互独立 PB= P B|A . 2如 A 与 B, A 与 B , A 与 B, , A 与 B 中有一对相互独立 , 就另外三对也相互独立 .2.三个大事 A,B,C 满意 PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC, 称 A,B,C 三 大事两两相互独立 . 如再满意 PABC =PA PB PC,

7、就称 A,B,C 三大事相互独立 . 3.n 个大事 A1,A2, ,A n,假如对任意 k 1kn,任意 1i1i2 i kn.有PA i1A i2A ikPA i1PA i2PA ik,就称这 n 个大事 A1,A2, ,A n 相互独立 . 其次章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验 E 的样本空间 S=e上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量 . 2.随机变量 X 的分布函数 Fx=PX x , x 是任意实数 . 其性质为 :10 Fx 1 ,F-=0,F =1.3Fx右连续 ,即 Fx+0=Fx. 2Fx单调不减 ,即如 x1x2 ,就 Fx1 Fx 2

8、. 4Px1Xx2=Fx 2-Fx 1. 二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量 1.离散型随机变量的分布律 PX= x k= p k k=1,2, 也可以列表表示 . 其性质为 : 1非负性 0Pk1 ; 2归一性 p k 1 . k 12.离散型随机变量的分布函数 Fx= P 为阶梯函数 ,它在 x=x k k=1,2, 处具有跳动点 ,X k x其跳动值为 p k=PX=x k . 3.三种重要的离散型随机变量的分布1X0-1分布PX=1= p ,PX=0=1 p 0p1 . pnkk=0,1,2, ,n 0p0 k.三.连续型随机变量1.定 义ft如 果 随 机 变

9、 量X 的 分 布 函 数 Fx 可 以 表 示 成 某 一 非 负 函 数 fx 的 积 分Fx=xdt,- x , 就称 X 为连续型随机变量 ,其中 f x称为 X 的概率密度 函数. 2.概率密度的性质1非负性fx0 ; 2归一性fxdx=1 ; / x . 3 Px 10. 0如x03XN ,2 参数为,的正态分布fx1ex22-x0. 22特殊, =0, 2 =1 时,称 X 听从标准正态分布 ,记为 XN 0,1,其概率密度x1ex2, 标准正态分布函数x1xet2dt, -x=1- x .2222如 XN ,2, 就 Z= XN 0,1, Px1z = PZz /2= ,就点

10、z ,- z , z / 2分别称为标准正态分布的上双侧分位点 . 留意：z =1- , z 1- = - z . 四.随机变量 X 的函数 Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - X x 1x2x kp k p 1p2p kY=gX gx1 gx2 gx k 如 gx k k=1,2, 的值全不相等 ,就由上表立得 Y=gX 的分布律 . 如 gx k k=1,2, 的值有相等的 ,就应将相等的值的概率相加 2.连续型随机变量的函数,才能得到 Y=gX 的分布律 . 如

11、X 的概率密度为 fXx,就求其函数 Y=gX 的概率密度 fYy常用两种方法：1分布函数法 先求 Y 的分布函数 FYy=PY y=PgX y=k y f X x dxk其中 ky是与 gXy 对应的 X 的可能值 x 所在的区间 可能不只一个 ,然后对 y 求导即得fYy=F Y /y . 2公式法 如 gx到处可导 ,且恒有 g /x0 或 g / x0 ,就 Y=g X 是连续型随机变量 ,其概率密度为 f Y y f X h y0 h y其它 y其中 hy是 gx的反函数 , = min g - ,g = max g - ,g . 假如 f x在有限区间 a,b以外等于零 ,就 =

12、min g a,g b = max g a,g b . 第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 如 X 和 Y 是定义在样本空间 S上的两个随机变量 ,就由它们所组成的向量 X,Y 称为二维随机向量或二维随机变量 . 对任意实数 x,y,二元函数 Fx,y=PX x,Yy称为X,Y 的X 和 Y 的联合 分布函数 . 2.分布函数的性质1Fx,y分别关于 x 和 y 单调不减 . 20Fx,y1 , Fx,-=0, F-,y=0, F-,-=0, F, =1 . 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - -

13、 - - - - 3 Fx,y关于每个变量都是右连续的,即 Fx+0,y= Fx,y, Fx,y+0= Fx,y . 4对于任意实数 x 1x 2 , y 1y 2 Px 1Xx 2 , y 1Yy 2= Fx2,y2- Fx2,y1- Fx1,y2+ Fx 1,y1 二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义如随机变量 X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i,y j i ,j =1,2,称X,Y 为二维离散型随机变量 .并称 PX= x i,Y= y j = p i j 为X,Y 的联合分布律 .也可列表表示 . 2.性质1非负性 0p i j1 . 2归一性ijp ij1 . 3.

14、X,Y 的X 和 Y 的联合 分布函数 Fx,y=xixyjyp ij三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义假如存在非负的函数f x,y,使对任意的 x 和 y,有 Fx,y=yxfu,vdudv就称X,Y 为二维连续型随机变量 ,称 fx,y为X,Y 的X 和 Y 的联合 概率密度 . 2.性质 1非负性f x,y0 . 2归一性,2Fx,y fx,y d x d y1. 3如 f x,y在点x,y连续 ,就fx,yxy4如 G 为 xoy平面上一个区域 ,就Pxy Gfx,y dxdy . G四.边缘分布1. X,Y 关于 X 的边缘分布函数 FX x = PX x , Y = F

15、 x , . X,Y 关于 Y 的边缘分布函数 FY y = PX0,就称P X x i , Y y j p i jPX=x i |Y=yj P Y y j p j ,为在 Y= y j 条件下随机变量 X 的条件分布律 . 同样,对于固定的 i,如 PX=x i0,就称PY=y j|X=x i P Xx i,Yyjp ij,P Xx ip i为在 X=x i 条件下随机变量 Y 的条件分布律 . 第四章 随机变量的数字特点一.数学期望和方差的定义随机变量 X 2 离散型随机变量连续型随机变量数学期望 均值EX 分布律 PX=x i= pi i =1,2, 概率密度 f x i1x ip i级

16、数肯定收敛 xfx dx 积分肯定收敛 方差 DX=EX-EXi1x iEX2p ixEX2fxdx=EX2-EX2级数肯定收敛 积分肯定收敛 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数数学期望 EY=EgX i1g x ip i级数肯定收敛 g xfxdx积分肯定收敛 标准差X= DX . 二.数学期望与方差的性质1. c为为任意常数时 , Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX . 2.X,Y 为任意随机变量时 , E X Y=EX EY . 3. X 与 Y 相

17、互独立时 , EXY=EXEY , 4. DX = 0 PX = C=1 ,C 为常数 . DX Y=DX+DY . 三.六种重要分布的数学期望和方差EX DX 1.X 0-1分布 PX=1= p 0p1 p p 1- p 2.X b n,p 0p1 n p n p 1- p 3.X 4.X Ua,b 的指数分布a+b/2 b-a 2/12 5.X 听从参数为2 6.X N ,2 2 四.矩的概念 随机变量 X 的 k 阶原点矩 EX k k=1,2,随机变量 X 的 k 阶中心矩 EX-EX k 随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 EX kY l l=1,2,随机变量 X 和 Y 的

18、 k+l 阶混合中心矩 EX-EX k Y-EY l 第六章 样本和抽样分布 一.基本概念总体 X 即随机变量 X ; 样本 X 1 ,X 2 , ,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量 ;样本值x1 ,x2 , ,x n 为实数 ;n 是样本容量 . 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数 .如：样本均值 X 1 nX i 样本方差 S 2 1 nX i X 2样本标准差 S n i 1 n 1 i 1样本 k 阶矩 A k 1 nX i k k=1,2, 样本 k

19、 阶中心矩 B k 1 n X i X k k=1,2, n i 1 n i 1二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , D X = DX / n . 特殊,如 X N , 2 ,就 X N , 2 /n . n2. 2分布 1定义 如 XN 0,1 ,就 Y = X i 2 2n自由度为 n 的 2 分布. i 12性质 如 Y 2n,就 EY = n , DY = 2n . 如 Y 1 2n1 Y 2 2n2 ,就 Y 1+Y 2 2n1 + n2. 如 X N , 2 , 就 n 12 S 2 2n-1,且 X 与 S 2 相互独立

20、 . 3分位点 如 Y 2n,0 1 ,就满意P Y 2 n P Y 1 2 n P Y 2/ 2 n Y 1 2/ 2 n 的点 2 n , 1 2 n , 2/ 2 n 和 1 2/ 2 n 分别称为 2 分布的上、下、双侧 分位点 . 3. t 分布1定义 如 XN 0,1 ,Y 2 n,且 X,Y 相互独立 ,就 t=Xntn自由度为 n 的 t 分布 . Y2性质 n时 ,t 分布的极限为标准正态分布. 样本均值样本方差XN ,2 时, Xn t n-1 . S两个正态总体相互独立的样本X N 1,1 2 且1 2=22=2X 1 ,X 2 , ,X n1XS12 Y N 2,2 2

21、 Y 1 ,Y 2 , ,Y n2YS229 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就XY12 t n1+n2-2 , 其中2 Swn 11 2 S 1n 21 S2 2S w11n 1n 22n 1n 2的点3分位点如 t t n ,0 1 , 就满意分位点 . PttnPttnPtt/2ntn,tn,t/2n 分别称 t 分布的上、下、双侧留意: t 1- n = - t n. 4.F 分布1定义 如 U2n1, V 2n2, 且 U,V 相互独立 ,就 F =Un 1Fn1,n 2自由度为Vn 2n1,n2的 F

22、 分布 . 2性质条件同 3.2 S 1 221S 2 222Fn1-1,n2-1 分别称为 F 分布的上、下、双侧3分位点如 F Fn1,n2 ,0 1,就满意PFFn1,n2PFF1n 1,n2PFF/2n 1,n 2FF 1/2n 1,n 2的点Fn 1,n2,F1n 1,n 2,F/2n 1,n 2 和F1/2n 1,n 2分位点 . 留意 : F1n 1,n2F1.n 1.n2第七章参数估量一.点估量总体 X 的分布中有 k 个待估参数1, 2, , k. X 1 ,X2 , ,X n 是 X 的一个样本 , x1 ,x2 , ,x n 是样本值 . 1.矩估量法先求总体矩111,2

23、,k解此方程组 ,得到111,2,k, 221,2,k221,2,kkk1,2,kkk1,2,k10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11A 1,A 2,A k以样本矩 Al 取代总体矩 l l=1,2, ,k得到矩估量量22A 1,A 2,A k, 如代入样本值就得到矩估量值. ,A 1A2,A kkk2.最大似然估量法如总体分布形式 可以是分布律或概率密度 为 px, 1, 2, , k,称样本 X1 ,X2 , ,X n的联n合 分 布 L 1 , 2 , , k p x i , 1 , 2 , , k

24、为 似 然 函 数 .取 使 似 然 函 数 达 到 最 大 值 的i 11 , 2 , , k ,称为参数 1, 2, , k的最大似然估量值 ,代入样本得到最大似然估量量 . 如 L 1, 2, , k关于 1, 2, , k可微,就一般可由似然方程组 L 0 或 对数似然方程组 ln L 0 i =1,2, ,k 求出最大似然估量 . i i3.估量量的标准1 无偏性 如 E = ,就估量量 称为参数 的无偏估量量 . 不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , ES 2=DX, EA k= k=EX k,即样本均值 X , 样本方差 S2,样本 k 阶矩 Ak分别是总体均值

25、EX, 方差 DX, 总体 k 阶矩 k的无偏估量 ,2有效性 如 E 1=E 2= , 而 D 1 D 2, 就称估量量 1比 2有效. P3一样性 相合性 如 n时 , ,就称估量量 是参数 的相合估量量 . 二.区间估量1.求参数的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤. 未知 ,且其分布完全确定 . 1查找样本函数 W=WX 1 ,X2 , ,X n, ,其中只有一个待估参数2利用双侧分位点找出 W 的区间 a,b,使 PaW b=1 -3由不等式 aWb 解出就区间 ,为所求 . 2.单个正态总体11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 -

26、- - - - - - - - 待估参数其它参数W 及其分布置信区间2 2 已知XnN 0,1 XSnz/2 21 2 未知Xn t n-1 Xt/2n1 Sn未知n1 S2 2n-1 n1 S2,n1 S2/22n1 2 1/2n3.两个正态总体1均值差 1- 21 n 2,另其它参数W 及其分布置信区间2 1,2 2XY2 112 22 N0,1 XYz22 1n2 2已知n 12n 1n 22 12 2XY112tn1+n2-2 XYt2n 1n 22S w12未知S w1n 1n 1n 2/2 改为其中 Sw 等符号的意义见第六章二. 3 2. 2 1, 2未知, W=2 S 12 S 2 Fn1-1,n2-1,方差比1 2/2 2 的置信区间为2 12 22S 1S 2 2F/2n 11,1n21 ,2S 1S 2 2F1/2n 11,1n 21 留意:对于单侧置信区间 ,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标外的下 上限取为 - 即可. 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页