2022年数字信号处理复习总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念；0.1 信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体,以某种函数的形式传递信息；这个函数可以是时间域、频率域或其它域,但最基础的域是时域；分类：周期信号 /非周期信号确定信号 /随机信号能量信号 /功率信号连续时间信号 /离散时间信号 /数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备,或者说,凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统；3.信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工；包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估量、识别等等；所谓

2、“ 数字信号处理 ” ,就是用数值运算的方法,完成对信号的处理；0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值运算的方法对信号进行变换和处理；不仅应用于数字化信号的处理,而且也可应用于模拟信号的处理；以下争论模拟信号数字化处理系统框图；（ 1）前置滤波器1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 将输入信号 xat中高于某一频率（称折叠频率,等于抽样频率的一半）的重量加以滤除；（ 2） A/D 变换器在 A/D 变换器中每隔T 秒（抽样周期）取出一次xat的幅度,抽样后的信号称为离散信号；在A/D 变换器中的保

3、持电路中进一步变换为如干位码；（ 3）数字信号处理器（DSP）（ 4） D/A 变换器依据预定要求,在处理器中将信号序列xn进行加工处理得到输出信号yn；由一个二进制码流产生一个阶梯波形,是形成模拟信号的第一步；（ 5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频重量,生成所需的模拟信号 yat；0.3 数字信号处理的特点（ 1）敏捷性；（2）高精度和高稳固性； （3）便于大规模集成； （ 4）对数字信号可以储备、运算、系统可以获得高性能指标；0.4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP）一般有两层含义,一层是广义的懂得,为数字信号处理技术 DigitalSignal

4、Processing,另一层是狭义的懂得,为数字信号处理器 DigitalSignalProcessor；0.5 课程内容该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典 ”处理方法,包括： （1）离散傅里叶变换及其快速算法； （ 2）滤波理论（线性时不变离散时间系统,用于分别相加性组合的信号,要求信号频谱占据不同的频段）；在争论生阶段相应课程为“现代信号处理 ” （AdvancedSignalProcessing）；信号对象主要是随机信号,主要内容是自适应滤波（用于分别相加性组合的信号,但频谱占据同一频段）和现代谱估量；第一章：本章概念较多,需要懂得和识记的内容较多,学习时要留意；2 名师

5、归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.1 离散时间信号1.离散时间信号的定义离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列,它是整数自变量 n 的函数,表示为 xn ；一般由模拟信号等间隔采样得到：x n x a t nT x a nT n； 时域离散信号有三种表示方法：1）用集合符号表示 2）用公式表示 3） 用图形表示2.几种基本离散时间信号（ 1）单位采样序列（ 2）单位阶跃序列（ 3）矩形序列（ 4）实指数序列（ 5）正弦序列 是正弦序列数字域的频率,单位是弧度；对 连 续 信 号 中 的 正 弦 信 号 进 行 采

6、 样 , 可 得 正 弦 序 列 ； 设 连 续 信 号 为, 它 的 采 样 值 为另外需要说明的是, 的单位为弧,因此（重点）这个式子具有一般性,它反映了由连续信号采样得到的离散序列,其数字频率与模拟频率的一般关系；度, 的单位为弧度 /秒；本书中,我们一律以 表示数字域频率,而以 及 f 表示模拟域频率；例：已知采样频率FT = 1000Hz, 就序列 x（n） = cos0.4n 对应的模拟频率为 400 弧度 /s；说明：此题旨在懂得数字频率与模拟频率之间的关系：F T；（ 6）复指数序列复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列；（ 7）周期序列 重点 全部n

7、存在一个最小的正整数N ,满意：x nxnN,就称序列xn是周期序列,周期为N；留意：按此定义,模拟信号是周期信号,采纳后的离散信号未必是周期的 sin0n,即为周期性序列；周期N2 k,式中, k 、 N 限例：正弦序列sin0n的周期性：N当0N2k, k 为整数时,sin0n03 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 取整数,且 k 的取值要保证 N 是最小的正整数；可分几种情形争论如下： （1） 当2/0为整数时,只要k1,N2/0就为最小正整数,即周期为2/0；（ 2）当2/0不是整数,而是一个有理数时,设2

8、/0P /Q,式中, P 、Q是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约数）,取kQ,就NP,即周期为 P ；（3）当2/0是无理数时,就任何 k 皆不能使 N 为正整数,这时,正弦序列不是周期性的；例： Xn = cos0.4 n的基本周期为 5 ；k,其中 N 和 k 均为整数, N 为基本周期 （使得 N 为最小整数时k 取值）；此题 = 0.4,说明 基本周期的定义即运算公式：N2代入上式得到：N5 ,k1；3.信号运算（ 1）加法：两个信号之和当由同序号的序列值逐点对应相加得到；（ 2）乘法：两个信号之积由同序号的序列值逐点对应相乘得到；（ 3）移位：,序列右移（称为延时） ；当,

9、序列左移（称为超前） ；（ 4）翻转：4.信号分解（重点）任一信号 xn 可表示成单位脉冲序列的移位加权和：简记为1.2 时域离散系统x nT.y ny n T x n 时域离散系统定义1 线性系统（重点）判定公式：如y n 1 =T x n ,y2 =T x2 就y n T ax n bx 2 ay n by 2 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 时不变系统（重点）判定公式： yn=Txn yn-n=Txn-n 例：判定以下系统是否为线性、时不变系统；（ 1）y n x n 2 x n13 x n2；（

10、2）y n x2 ；解 ：（ 1）令：输入为x nn0,输出为 y n x nn 02 x nn 013 x nn 022 y n y nn 0x nn 02 x nn 013 x nn 0故该系统是时不变系统；y n T ax n bx n ax n1bx n13 ax n2bx n2ax n bx n 2T ax n ax n 2ax n13ax n2T bx 2 bx 2 2bx2n13 bx2n2T ax n bx 2 aT x n bT x2 故该系统是线性系统；（ 2）y n x2 令：输入为x nn 0,输出为 y n x2nn 0,由于y nn 0x2nn0 y n 故系统是时

11、不变系统；又由于T ax n bx 2 ax 1 bx 2 2 aT x n bT x22 ax 1 bx2 2因此系统是非线性系统；3 线性时不变系统（LTI 系统）输入与输出之间关系（重点）：h n T y n x m n m m5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - y n Tx m nm my（n ）=mx m h nm =x（ n）*h （n ）重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积【说明】离散时间 LTI 系统的单位冲激响应 hn为系统对单位冲激序列 n的零状态响应；单位冲激响

12、应的概念特别重要；在时域,LTI 系统可以由其单位冲激响应 hn唯独确定,因此,我们经常用单位冲激响应描述 LTI 系统；在这种情形下,LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y（n）= x m h n m =x（n）*h（n）m物理意义 ： 卷积和运算具有显式意义,即可以用来确定系统的输出；假如系统确定,就其单位冲激响应是唯独的；由此,可求系统对任意输入的响应；留意： 运算卷积和的关键是求和区间的确定；因此,经常需要绘制序列xm 和 hn-m的图形；利用序列xm 和 hn-m的图形可助我们便利地确定求和区间；卷积的求解方法：线性卷积是一种特别重要的一种运算,对它的求解,一般我们采纳作图

13、法；线性卷积满意交换律,设两序列长度分别是 N 和 M,线性卷积后序列的长度为 N M 1；卷积的运算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程；1）将 和 用 和 表示,画出 和 这两个序列；2）挑选一个序列,并将其按时间翻转形成序列；3）将 移位 n,得到；4）将 和 相同 m 的序列值对应相乘后,再相加；例：已知 xn= R n,hn= R n,求 yn=xn*hn ；解：（翻转,移位,相乘,相加）yn=x m h nnm=mR 4m R 4nm x n 和h n 的卷积y n ；m例：设x n n 04,h n R 4 , x n 和 h n 如图 1 所示；求6 名师归纳总结 - - -

14、 - - - -第 6 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - x n 4 0 1 2 3 4 n 1 R4n2 3 n 0 1 图 1 解 方法一：用图解法求卷积和；1 将 x n 和 h n 用 x m 和 h m 表示 图 2 中a、b图 ；x m 4R 4 m R 4 m m m m0 1 2 3 4 0 1 2 3 - 3 -2 - 1 0a b c R 4 1 m R 4 2 m m m y n -2 - 1 0 1- 1 0 1 2 d e 10R 4 5 m m n0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 f g 图 2 图解法求卷积过程

15、2 将 h m 进行反折,形成 h m 图 2 中 c图 ；将 h m 移位 n ,得到 h n m 图 2 中d、e、 f图；3 将 x m 和 h n m 相同 m 的序列值相乘,再相加,得到 y n 图 2 中 g图；y n 1,3,6,10,9,7,4 1n7再争论解析法求线性卷积；y n x m h n m 用式 m求解上式第一要依据 x m 和 h n m 的非零值区间确定求和的上下限,x m 的非零值区间为 1m4,h n m 的非零值 区 间 为 0n m3, 或 n 3mn, 由 两 个 非 零 值 区 间 可 得 n 的 取 值 区 间 为 1n7, 它 们 的 乘 积x

16、m h n m 的非零值区间应满意：1m4 和 n 3mn因此当n1、n7时,y n 0；1n n1；当1n3nmy n 2时,m07 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 4n7时,y n 43m1n18n；m n2与图解法结果一样；yn用公式表示为n n 1/ 2 1n3y n n 18 n / 2 4n70 其他方法二：当序列 x n 和 h n 的长度分别为有限长 N 和 M 时,可采纳“ 不进位乘法” 求两序列线卷积；x n 0,1,2,3,4 h n 1,1,1,1如图 1 所示：,y n 0,1,3,

17、6,10,9,7,4例：两线性时不变系统级联,其单位取样响应分别为h 1n 和h 2n ,输入为xn,求系统的输出y n；已知：xnun,h 1n n n4 ,h2nanu n；解：设第一个系统的输出为n,就3 anu n n x n h 1n u n n n4 u n un4 nn1 n2 n3因而输出为yn nh 2n n n1n2 nan u nn a1u n1an2u n2 an3 un3 4. 系统因果性和稳固性的判定（重点）（记住 . ）1稳固系统： 有界的输入产生的输出也有界的系统,即：如| |,就 |y n |线性移不变系统是稳固系统的充要条件：| |（记住 . ）n或：其系统

18、函数Hz的收敛域包含单位圆|z|=1 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2因果系统：n时刻的输出y n 0只由n时刻之前的输入x n nn打算 （记住 . ）线性移不变系统是因果系统的充要条件：h n 0,n0（记住 .）或：其系统函数Hz的收敛域在某圆外部：即：|z|Rx 3）稳固因果系统 ：同时满意上述两个条件的系统；线性移不变系统是因果稳固系统的充要条件：n|h n |, 0,n0或： Hz 的极点在单位园内Hz的收敛域满意： |z|R x,R x1例：判定线性时不变系统的因果性、稳固性,并给出依据；1y

19、 n 1N1n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关； 假如x n M,就y n M,x nk；Nk0（ 2）y n Nn n 0x k ；k n n 01,该系统就是因果系统, 由于输出只与解 ：（1）只要因此系统是稳固系统；（ 2）假如x n M,y n n n 0x k 2n 01M,因此系统是稳固的；系统是非因果的,由于输出仍和xn的k n n 0将来值有关；留意：假如给出的是 hn ,用上面要求记住的充要条件判定！1.3 线性常系数差分方程1 差分方程定义卷 积 和 是 一 种LTI 系 统 的 数 学 模 型 , 一 般 情 况 下 , 我 们 可 以 用 差 分 方 程 描 述LTI

20、系 统 的 输 入 输 出 关 系 ；NMa kynkbkx nkk0k0差分方程给出了系统响应yn 的内部关系；为得到yn 的显式解,必需求解方程；2 差分方程求解（重点） ：1 经典法2 递推法3 变换域法0 .5yn1 1 .5 xn,输入序列为xnn,求输出序列yn ；例：设系统的差分方程为yn解：一阶差分方程需一个初始条件；就设初始条件为：y1 00 015.y0 05.y1 1 .5x y1 0 .5y 0 1.5x 1 . 759 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - y2 05.y 1 1.5x 2 0

21、.375yn 1.50.5nun设初始条件改为：y111205.就y0 05.y 11 .5x0 y1 0 .5y0 15.x 1y2 05.y1 1.5x 2 yn 20.5 nun该例说明,对于同一个差分方程和同一个输入信号,由于初始条件不同,得到的输出信号是不相同的；1.4 模拟信号数字处理方法1 模拟信号数字处理框图（重点）x a ：模拟信号输入预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器）1 采样：将信号在时间上离散化 A/DC ：模 /数转换2 量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值s=采样幅度值）3 编码：将幅度值表示成二进制位（条件f2fc）数字信号处理：对信号进行运算处理D/

22、AC ：数 /模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生跳变）平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器）,使信号变得平滑y at ：输入信号经过处理后的输出信号2连续信号的采样对连续信号进行抱负采样,设采样脉冲,就采样输出（重点表达式 ）在争论抱负采样后,信号频谱发生的变化时,可遵循下面的思路：1）由； 2）由；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3）依据频域卷积定理,由运算出；运算过程：1）2）周期信号可以用傅里叶级数绽开,因此其中系数所以其傅里叶变换3）重点表达式 因此,采样后信

23、号频谱产生周期延拓,周期为 s,同时幅度为原先的1/T 倍；这是一个特别重要的性质,应娴熟把握；（重点）1/T；3 时域抽样定理 （重点）一个限带模拟信号ax t ,如其频谱的最高频率为F,对它进行等间隔抽样而得x n ,抽样周期为T,或抽样频率为F s只有在抽样频率Fs2F时,才可由ax t 精确复原x n ；例：有一连续信号ax cos2ft,式中,f20Hz,2（ 1）求出ax t 的周期；（ 2）用采样间隔T0.02 s对xa 进行采样,试写出采样信号x % 的表达式；（ 3）求出对应x % 的时域离散信号序列 x n ,并求出x n 的周期；11 名师归纳总结 - - - - - -

24、 -第 11 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）x at周期为T10.05sf（ 2） tx tt2nTcos 2fnTtnTT0.05s xnn5 2,因而周期（ 3） xn的数字频率2N=5,所以 xn=cos0.8 n+ /2 =0.8,故0.8简答题：1是不是任意连续信号离散后,都可从离散化后的信号复原出原先的信号？为什么？2一个连续时间信号经过抱负采样以后,其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下,频谱不会产生失真？3离散信号频谱函数的一般特点是什么？其次章：本章涉及信号及系统的频域分析方法,概念较多,但很基础,学习时要留意；2.1 序列的傅里

25、叶变换的定义及性质1.定义DTFT 是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具；物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析,便于争论问题；如序列 满意肯定可和条件就其傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT ）定义为Xejx nejn-记住 . n反变换定义为 ：x n 1Xej ejnd-记住 . 2傅里叶变换对12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.性质1）周期性（重点） ： DTFT 是关于 的周期为 2 的周期函数；X ejx n ej2Mn

26、X ej2MM为整数n2线性（重点）：设X1ejFT x n ,X2ejFT x2 ,那么 aX1ejbX2ejFT ax n bx23）时移特性4）频移特性5）时域卷积定理（重点）6）频域卷积定理7）帕斯瓦尔定理时域总能量等于频域一周期内总能量；7 幅度频谱为 的偶函数,相位频谱为 的奇函数； s2 n2,完成下面各题： （1）求出8 Xej的实部为 的偶函数,Xej 的虚部为 的奇函数；例：设系统的单位取样响应h n n a u n ,0a1,输入序列为x n 系统输出序列y n ；（ 2）分别求出x n 、h n 和y n 的傅里叶变换；解 ：（ 1）y n h n *x n nn a

27、u n * 2 n2n a u n 2 a2 u n22F s2X ejw 2 n2ejwn1 2ej2wn（2）H ejwnn a u n ejwnn0n a ejwn11jwaeY ejwH ejwg X ejw1 2ej2wjw1ae2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：X ejT XajX ejT1kXajjks式中TT13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3 序列的 Z 变换1 Z 变换定义LTI 系统分析的重要数学工具；给定一离散时间序列xn ,其 z 变换定义为：X

28、z x n znZ 变换为离散时间信号与kR x z R x- 记住. 其中,z e s, s j； z 变换存在情形下的 Z 变量取值范畴称为 收敛域 ROC；留意： Z 变换 +不同收敛域 对应不同收敛域的不同序列唯独序列（ Z 变换 +收敛域） 重点 例：求以下序列的 Z 变换及收敛域：（ 1）2 nu n 1；（ 2） 2 nu n ；（ 3） 2 n u n u n 10n n n n n 1 1解：（1）ZT 2 u n 2 u n z 2 z 1 1 , zn n 0 1 2 z 2n n n n n n nZT 2 u n 1 2 u n 1 z 2 z 2 zn n 1 n

29、1（ 2）2 z 1 11 1 , z1 2 z 1 2 z 29n n nZT 2 u n u n 10 2 z（ 3）n 010 101 2 z1 1 ,0 z1 2 zj说明 上题也可以改为求序列的傅立叶变换；可以利用 X e X z z e j；2 Z 变换和 DTFT 之间的关系 重点 jDTFT 为单位圆上的 z 变换；数学表达为：X e X z z e j- 记住并懂得 . 3. 序列特性与 Xz 的收敛域 ROC 的关系； 重点 收敛区域要依据序列的性质而定；同时,也只有 Z 变换的收敛区域确定之后,才能由 Z 变换唯独地确定序列；一般来来说,序列的 Z 变换的收敛域在 Z 平

30、面上的一环状区域：R x | z | R x14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有限长序列：x nx nN1nN2,0| z|0其它x n N 1 n右序列：x n , |Z|Rx- 0 其它x n n N 2左序列：x n ,0 其它（ |z|0 时： 0|Z|Rx+； N20 时： 0|Z|Rx+）双边序列：x n , n,R x | z | R x总结： a. ROC 不包含任何极点；b.有理z变换的收敛域ROC 由其极点界定；Im z Rez c. 对于有限长序列xn, 其 z 变换的收敛域ROC 为

31、整个 z-平面,可能在z = 0 或 z = 除外；d. 对于因果序列xn, 其 z 变换的收敛域ROC 由其离原点最远的极点确定,其形式为zR xIm z Rez 图 2.1: 因果序列的z 变换的收图 2.2: 反因果序列的z 变换的e. 对于反因果序列敛域 ROC ROC 由其离原点最近的极点确定,其形式为z收敛域 ROC xn, 其 z 变换的收敛域R x；4. Z 反变换 重点 常用序列的Z 变换 重点 -记住 .：a|b|Z 1,|z|0Z u n 111,|z| 1zn Z a u n 111,|z| |azn Z b un1111,|z| |bz逆变换15 名师归纳总结 - -

32、 - - - - -第 15 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - x n 21j. cX z zn1dzx,C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线留数定理：x n X z z n 1 在 内极点留数之和 留数帮助定理：x n X z z n 1 在 外极点留数之和 利用部分分式绽开：X z A k1,然后利用定义域及常用序列的 Z 变换求解； 重点 1 a z基本要求：用部分分式绽开法求 z 反变换；例 ： 假 设 X z 11 11, 收 敛 域 ROC 为 0 . 3 z 0 5. , 就 X z 的 z 反 变 换 为1 0 . 5 z 1 0 3. zn

33、n 0 . 5 u n 1 0 3. u n ；说明： 此题要求把握序列的时域特性域 z 变换收敛域之间的对应关系；详细说,有限长序列的 z 变换的 ROC 是怎样的,右边序列的 z 变换的 ROC 是怎样的,因果序列的 z 变换的 ROC 是怎样的,左边序列的 z 变换的 ROC 是怎样的,反因果序列的 z 变换的 ROC 是怎样的；n 1u n 1 1 ROC : z1 z典型序列的 z 变换表达式是否记住了？这两个典型 z 变换对,对求 zn 1u n 1 ROC : z1 z变换或逆 z 变换特别重要；例：已知Xzzz.5zz2,试求与X z 对应的全部可能的序列xn；z.0 5,0解：