2022年新人教版八级数学下册勾股定理知识点和典型例习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 新人教版八年级下册勾股定理全章学问点和典型例习题一、基础学问点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦 早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四, 弦五 ” 形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,

2、常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是DEHGC图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理F常见方法如下：AbbaBc方法一： 4SS 正方形EFGHS 正方形 ABCD,41ab ba22 c ,化简可证aacccb2方法二：bc四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三BaaabAD角形的面积与小正方形面积的和为S41abc22 abc2大正方形面cb2E积 为Sa2 b2 a2a b2b所 以a2b22 c方 法 三 ：cabCS 梯形1 2ab ab,S 梯形2SADESABE

3、21ab1c2,化简得证22.勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC 中,C90,就ca2b2,bc2a2,ac2b2知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题.勾股定理的逆定理假如三角形三边长a , b , c 满意a2b22 c ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边名师归纳总结 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重

4、要方法,它通过“数转第 1 页,共 9 页化为形 ”来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和2 a2 b 与较长边的平方2 c 作比较,如它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形；如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2b22 c ,时,以 a ,b , c 为三边的三角形是钝角三角形；如a22 b2 c ,时,以 a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a , b , c 及a2b22 c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三b 为边长 a , b , c 满意a2c22 b ,那么以

5、a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,时,这个三角形是直角三角形 .勾股数不能说成： 当斜边的平方等于两条直角边的平方和能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b22 c 中, a ,b ,c 为正整数时,称a , b, c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等2 n1,2 , n n21（n2,n 为正整数）；m2n2,2mn m22 n （mn m ,n 为正整数）2 n1,2n22 ,22 n2 n1（

6、n 为正整数）勾股定理的应用 勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的 证明问题 在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边 和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）,构造 直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形, 在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用 C 勾股定理及其逆定理

7、在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不 可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常：BDA见图形CCCA30BADBBDA10、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；二、 经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C90已知AC6BC8求 AB 的长这样的两个命题叫做互逆名师归纳总结 已知AB17,AC15,求 BC的长分析：直接应用勾股定理a22 b2 c第 2 页,共 9 页解：ABAC2BC210- -

8、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BCAB2AC28题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 假如梯子的底端离建筑物 物的高度是多少米？9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑解析：这是一道大家熟知的典型的“ 知二求一”的题；把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理！依据勾股定理 AC 2+BC 2=AB 2, 即 AC 2+9 2=15 2, 所以 AC 2=144, 所以 AC=12. 例题 2 如图（ 8）,水池中离岸边 D点 1.5 米的 C处,直立长着一根芦苇,出水部分 BC的长是 0.5

9、米,把芦苇拉到岸边,它的顶端 B 恰好落到 D点,并求水池的深度 AC.解析： 同例题 1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知ACD中 ,ACD=90 , 在 Rt ACD中,只知道 CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“ 知二求一”的类型；标准解题步骤如下（仅供参考）：解： 如图 2,依据勾股定理,AC 2+CD 2=AD设水深 AC= x 米,那么 AD=AB=AC+CB= x+0.5 2 x 2+1.5 2=（ x+0.5 ）解之得 x=2. 故水深为 2 米. 题型三 ：勾股定理和逆定理并用且例题 3 如图 3,正方形 ABCD中, E 是 BC边上的中点, F

10、是 AB上一点,FB1AB那么 DEF是直角三角形吗？为什么？4解析： 这道题把许多条件都隐匿了,乍一看有点摸不着头脑；认真读题会意可以发觉规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由FB1AB可以设 AB4=4a,那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a, 那么在 Rt AFD 、 Rt BEF和 Rt CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判定DEF是否是直角三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 具体解题步骤如下：解： 设正方形 ABCD的边长为 4a, 就

11、 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a 在 Rt CDE中, DE 2=CD 2+CE 2=4 a 2+2 a 2=20 a 2 同理 EF 2=5a 2, DF 2=25a 2 在 DEF中, EF 2+ DE 2=5a 2+ 20a 2=25a 2=DF 2 DEF是直角三角形,且DEF=90 . 注：此题利用了四次勾股定理,是把握勾股定理的必练习题；题型四 ：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点 E,将 ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点 F,求 CE的长 .解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合

12、理设元是 关键；具体解题过程如下：解： 依据题意得 Rt ADERt AEF AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,就 DE=EF=CDCE=8x 在 Rt ABF中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2,即 8 2+BF 2=10 2,BF=6cm CF=BC BF=10 6=4cm 在 Rt ECF中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2,即 8 x 2=x2+4 26416x+x2=2+16 x=3cm, 即 CE=3 cm 注：此题接下来仍可以折痕的长度和求重叠部分的面积；题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面

13、 AD边是否垂直与 AB边和 CD边,他测得 AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与 CD边是否垂直？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 由于实物一般比较大,长度不简单用直尺来便利测量；我们通常截取部分长度来验证；如图4,矩形 ABCD表示桌面外形,在AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm想想为什么要设为这两个长度？ ,连结 MN,测量 MN的长度；假如 MN=15,就 AM 2+AN 2=MN 2, 所以 AD边与 AB边垂直；假如 M

14、N=a 15, 就 9 2+12 2=81+144=225, a 2 225, 即 9 2+12 2利用勾股定懂得决实际问题a 2,所以 A不是直角；例题 6 有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离地高 4.5 米的墙上,任何东西只要移至 5 米以内,灯就自动打开,一个身高 1.5 米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析： 第一要弄清晰人走过去,是头先距离灯 5 米仍是脚先距离灯 5 米,可想而知应当是头先距离灯5 米；转化为数学模型,如图 6 所示, A 点表示掌握灯,BM表示人的高度,BC MN,BCAN当头（ B点）距离 A 有 5 米时,求 BC的长度；已知AN=4.5 米,

15、所以 AC=3米,由勾股定理,可运算 BC=4米 . 即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开；题型六 ：旋转问题：例 1、如图, ABC 是直角三角形, BC 是斜边, 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后, 能与 AC P 重合,如 AP=3,求 PP 的长；变式 1：如图, P 是等边三角形ABC内一点, PA=2,PB=2 3 ,PC=4, 求 ABC的边长 . 分析：利用旋转变换,将BPA绕点 B逆时针挑选 60 ,将三条线段集中到同一个三角形中,依据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形 . 变式 2、如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90 , E、 F是BC上的点,且

16、EAF=45 ,2 2 2摸索究 BE、CF、EF 间的关系,并说明理由 . 题型七 ：关于翻折问题例 1、如图,矩形纸片ABCD的边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点 B 恰好落在 CD边上的点 G 处,求 BE的长 . 变式：如图, AD 是 ABC的中线, ADC=45 ,把ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C的 位 置 ,BC=4,求 BC的长 . 题型八 ：关于勾股定理在实际中的应用：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1、如图,大路MN 和大路 PQ

17、 在 P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160 米,点 A 到大路 MN的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时,四周 100 米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在大路 MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；假如受到影响,已知拖拉机的速度是 18 千米 /小时,那么学校受到影响的时间为多少？题型九 ：关于最短性问题例 5、如右图 119,壁虎在一座底面半径为2 米,高为 4 米的油罐的下底边沿A处,它发觉在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫, 便打算捕获这只害虫,为了不引起害虫的留意,它有意不走直线,而是围着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然突击结果,壁虎的

18、偷袭得到胜利,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 .（ 取 3.14,结果保留 1 位小数,可以用运算器运算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体,把全部面都分为 9 个小正方形,其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,就它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点,最少要花几秒钟？三、 课后训练：一、填空题1如图 1,在高 2 米,坡角为 30 的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需 _米D C D B E O A B C 第 4 题图 A 图1 第 3 题图 F 2种盛饮料的圆柱形杯（如图）,测得内部底面半径为 2.5 ,高为 12 ,吸管放进杯里,杯口外面至少要

19、露出 4.6 ,问吸管要做；3已知： 如图, ABC 中, C = 90 ,点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点,OD BC,OEAC ,OFAB ,点 D、 E、 F 分别是垂足,且 BC = 8cm , CA = 6cm,就点 O 到三边 AB , AC 和 BC 的距离分别等于 cm 4在一棵树的 10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处,距离以直线运算,假如两只猴子所经过的距离相等,就这棵树高 _ 米；5. 如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、A 202 32dm,A 和 B是这

20、个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,就蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 _. 二、挑选题）B第 6 页,共 9 页1已知一个Rt 的两边长分别为3 和 4,就第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt 始终角边的长为11,另两边为自然数,就Rt 的周长为（）A、121 B、120 C、132 D、不能确定3假如 Rt 两直角边的比为512,就斜边上的高与斜边的比为（）A、60 13 B、512 C、12 13 D、60169 4已知 Rt ABC中, C=90 ,如 a+b=14cm,c=10cm,就 Rt ABC的面积是（A、24

21、cm2B、36cm2C、 48cm2D、60cm25等腰三角形底边上的高为8,周长为 32,就三角形的面积为（）A、56 B、48 C、 40 D、32 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6某市在旧城改造中,方案在市内一块如下列图的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米D E 售价 a 元,就购买这种草皮至少需要（）A A、450a 元B、225a 元C、150a 元D、300a 元F C 20m 15030m B 第 7 题图第 6 题图7已知,如图长方形ABCD中, AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点

22、 D重合,折痕为EF,就 ABEB的面积为（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm28在 ABC 中, AB=15,AC=13,高 AD=12,就 ABC 的周长为CA42B32C 42 或 32 D37 或 33 9. 如图,正方形网格中的ABC,如小方格边长为1,就ABC是 （）（ A）直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D以上答案都不对A三、运算1、如图, A、B 是笔直大路 l 同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是 300m和 500m,两村庄之间的距离为 d 已知 d 2=400000m 2 ,现要在大路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小；问

23、最小是多少？BAl2、如图 1-3-11 ,有一块塑料矩形模板 ABCD,长为 10cm,宽为 4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P落在 AD边上（不与 A、 D重合）,在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点 C？如能,请你求出这时 AP 的长；如不能,请说明理由 . 再次移动三角板位置,使三角板顶点 P在 AD上移动,直角边 PH 始终通过点 B,另始终角边 PF与 DC的延长线交于点 Q,与 BC交于点 E,能否使 CE=2cm？如能,请你求出这时 AP的长；如不能,请你说明理由 . 四、思维训练：1、如下列图是从长为40cm、宽

24、为 30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm,宽为 10cm 的矩形后,剩下的一块下脚料；工人师傅要将它做适当的切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等,接缝尽可能短的正方形工件, 请依据上述要求, 设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图 2,3 中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕迹）；10cm40cm30cm30cm名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、葛藤是一种刁钻的植物,它自己腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,经常饶着树干回旋而上,它仍有一

25、手绝技,就是它绕树盘升的路线,总是沿着短路线回旋前进的；莫非植物也懂得数学吗？假如阅读以上信息,你能设计一种方法解决以下问题吗？假如树的周长为3 cm,绕一圈上升4cm,就它爬行路程是多少厘米？10 圈到达树顶,就树干高多少假如树的周长为8 cm,绕一圈爬行10cm,就爬行一圈上升多少厘米？假如爬行厘米？C13 、 在 , ABC中 , A CB=90 , CD AB于D, 求 证 ：ADB21212；BCACCD1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的全部线

26、段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 假如两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也相互平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 18018 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和

27、它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合名师归纳总结 - - -

28、- - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角）31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 6034 等腰三角形的判定定理（等角对等边）假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,假如一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于

29、斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 假如两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理 3 两个图形关于某直线对称,假如它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45 逆定理假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平

30、方和、等于斜边 c 的平方,即 a2+b2=c2 47 勾股定理的逆定理 假如三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形名师归纳总结 48 定理四边形的内角和等于360第 9 页,共 9 页49 四边形的外角和等于36050 多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（n-2） 18051 推论任意多边的外角和等于36052 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线相互平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线相互平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角- - - - - - -