2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.3.2 抛物线的简单几何性质 .docx

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1、2.3.2抛物线的简单几何性质学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.知识点一抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e1知识点二焦点弦直线过抛物线y22px (p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2

2、x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有一个公共点；当0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程.解由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2p0，即k1且k0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；当0，即k1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；当1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离.综上所述，(1)当k1或k0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1时，直线l与抛物线C没有

3、公共点.反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练3在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的

4、方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点分类讨论思想的应用例4已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程(1)证明由题设F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k

5、2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题设可得|ba|，所以x11，x10(舍去)，设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE，可得(x1)而y.所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合所以，所求轨迹方程为y2x1.解后反思分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向进行讨论，对直线的斜率是否存在进行讨论，对判别式的取值范围进行讨论等.1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(

6、)A.y28x B.y28xC.y28x或y28x D.x28y或x28y答案C解析设抛物线y22px或y22px(p0)，依题意得x，代入y22px或y22px，得|y|p，2|y|2p8，p4.2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.(，) B.(，)C.(，) D.(，)答案B解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F(，0)，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为(，)，故选B.3.抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为()A.(1,2) B.(0,0) C.(

7、，1) D.(1,4)答案C解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.则4x24xm0.设此直线与抛物线相切，此时有0，即1616m0，m1.将m1代入式，x，y1，故所求点的坐标为(，1).4.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是()A.6x4y30 B.3x2y30C.2x3y20 D.2x3y10答案A解析设直线l的方程为3x2yc0，抛物线y22x的焦点F(，0)，所以320c0，所以c，故直线l的方程是6x4y30.选A.5.已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.答案解析由消去y得ax2x10，直线与抛物线相切，a0且

8、14a0.a.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果.(2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0).相交：有两个交点：有一个交点：A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即相离：没有公共点，即直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.