2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第5章第1讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算（考题帮.数学理） .docx

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1、第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算题组1平面向量的概念及线性运算1.2014浙江,8,5分理记maxx,y=x,xy,y,xy,minx,y=y,xy,x,xy,设a,b为平面向量,则()A.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|B.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2D.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|22.2015 新课标全国,13,5分理设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.3.2015浙江,13,4分已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2=12.若平

2、面向量b满足be1=be2=1,则|b|=.题组2平面向量基本定理及坐标运算4.2016全国卷,3,5分理已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8 B.-6 C.6 D.85.2015新课标全国,2,5分已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)6.2014四川,7,5分理平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=()A.-2 B.-1 C.1 D.27.2016全国卷,13,5分已知向量a=(m,4

3、),b=(3,-2),且ab,则m=.8.2015江苏,6,5分理已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为.9.2015北京,13,5分理在ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=;y=.10.2014北京,10,5分理已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.A组基础题1.2018海南省八校联考,4设D为线段BC的中点,且AB+AC=-6AE,则()A.AD=2AE B.AD=3AE C.AD=2EAD.AD=3EA2.2018河北石家庄二中模拟,5已知点D是ABC所

4、在平面内的一点,且BD=-2DC,设AD=AB+AC,则-= ()A.13 B.-13 C.3 D.-33.2018湖南省永州市一模,3已知a=(1,-1), b=(1,0), c=(1,-2),若a与mb-c平行,则m=( )A.-1 B.1 C.2 D.34.2017陕西省六校高三第三次适应性训练,13已知平面向量a=(2,4),b=(-1,k),且ab,则2a+b=.5.2017南昌市三模,14已知向量a=(m,n),b=(1,-2),若|a|=25,a=b(0),则m-n=.B组提升题6.2018湘东五校联考,10已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OAOB=0,

5、存在实数,满足OC+OA+OB=0,则实数,的关系为()A.2+2=1 B.1+1=1 C.=1 D.+=17.2017长春市第二次质量监测,6在ABC中,D为ABC所在平面内一点,且AD=13AB+12AC,则SBCDSABD=()A.16 B.13 C.12 D.238.2017太原市三模,6在ABC中,AB=3,AC=2,BAC=60,点P是ABC内一点(含边界),若AP=23AB+AC,则|AP|的取值范围为()A.2,210+333 B.2,83 C.0,2133 D.2,21339.2018广东七校联考,14设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,

6、bc,则|a+b|=.10.2018衡水金卷,13已知在ABC中,|BC|=|AB-CB|,AB=(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t=.11.2017郑州市第三次质量预测,16在ABC中,A=3,O为平面内一点,且|OA|=|OB|=|OC|,M为劣弧BC上一动点,且OM=pOB+qOC,则 p+q的取值范围为.答案1.D对于min|a+b|,|a-b|与min|a|,|b|,相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较,它们的大小关系不定,因此A,B均错;而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有

7、max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2,故选D.2.12由于a+b与a+2b平行,所以存在R,使得a+b=(a+2b),即(-)a+(1-2)b=0,因为向量a,b不平行,所以-=0,1-2=0,解得=12.3.233不妨设b=xe1+ye2,则be1=x+y2=1,be2=x2+y=1,因此可得x=y=23,所以|b|=23|e1+e2|=233.4.D由向量的坐标运算得a+b=(4,m-2),由(a+b)b,得(a+b)b=12-2(m-2)=0,解得m=8,故选D.5.A设C(x,y),因为A(0,1),AC=(-4,-3),所以x=-4,y-1=-3,解得x=-4,y=-2

8、,所以C(-4,-2),又B(3,2),所以BC=(-7,-4),故选A.6.D解法一由已知得c=(m+4,2m+2),因为cos=ca|c|a|,cos=cb|c|b|,所以ca|c|a|=cb|c|b|,又由已知得|b|=2|a|,所以2ca=cb,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.解法二易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.7.-6由题意得,-2m-12=0,所以m=-6.8.-3由向量a=(2,1),b=(1,-2),得ma+nb=(2m+

9、n,m-2n)=(9,-8),则2m+n=9,m-2n=-8,解得m=2,n=5,故m-n=-3.9.12-16由题中条件得MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(AB-AC)=12AB-16AC=xAB+yAC,所以x=12,y=-16.10.5因为|a|=1,所以可令a=(cos ,sin ),因为a+b=0,b0,所以0,所以cos+2=0,sin+1=0,即cos=-2,sin=-1,由sin2+cos2=1得2=5,得|=5.A组基础题1.D由D为线段BC的中点,且AB+AC=-6AE,得2AD=-6AE,所以 AD=-3AE,即AD=3EA,故选D.2.D如图D 5-

10、1-2所示,C是线段BD的中点,图D 5-1-2则AD=AB+BD=AB+2BC=AB+2(AC-AB)=-AB+2AC.又AD=AB+AC,由平面向量基本定理可知,=-1,=2,所以-=-3.故选D.3.Aa=(1,-1),b=(1,0),c=(1,-2),mb-c=(m-1,2),又a与mb-c平行, 12=-(m-1),解得m=-1,故选A.4.(3,6)因为a=(2,4),b=(-1,k),且ab,所以2k+4=0,k=-2,所以2a+b=(4,8)+(-1,-2)=(3,6).5.-6a=(m,n),b=(1,-2),由|a|=25,a=b(0),得m2+n2=20,m0,-2 m-

11、n=0,联立,解得m=-2,n=4.m-n=-6.B组提升题6.A解法一取特殊点,取C为优弧AB的中点,此时由平面向量基本定理易得=22,只有A符合.故选A.解法二依题意得|OA|=|OB|=|OC|=1,-OC=OA+OB,两边平方得1=2+2.故选A.7.B由已知,得点D在ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有SABD=12SABC,SACD=13SABC,SBCD=(1-12-13)SABC=16SABC,所以SBCDSABD=13.故选B.8.D解法一因为AB=3,AC=2,BAC=60,所以ABAC=3,又AP=23AB+AC,所以|AP|2=49AB2+4

12、3ABAC+2AC2=42+4+4,因为点P是ABC内一点(含边界),所以点P在线段DE上,其中D,E分别为AB,BC的三等分点,如图D 5-1-3所示,所以013,所以4|AP|2529,所以2|AP|2133,故选D.图D 5-1-3解法二以点A为坐标原点,以AC所在直线为x轴,建立如图D 5-1-4所示的平面直角坐标系,因为AB=3,AC=2,BAC=60,所以AB=(32,332),AC=(2,0),又AP=23AB+AC,所以AP=(2+1,3),所以|AP|2=42+4+4,因为点P是ABC内一点(含边界),所以点P在线段DE上,其中D,E分别为AB,BC的三等分点,所以013,所

13、以4|AP|2529,所以2|AP|2133,故选D.图D 5-1-4解法三如图D 5-1-5,点D为线段AB靠近点B的三等分点,DEAC交BC于点E,因为点P是ABC内一点(含边界),且AP=23AB+AC,所以点P在线段DE上,当点P与点D重合时,|AP|最小,最小值为2,当点P与点E重合时,|AP|最大,因为AB=3,AC=2,BAC=60,所以AD=2,DE=23,ADE=120,由余弦定理得AE=2133,所以|AP|的最大值为2133,所以2|AP|2133,故选D.图D 5-1-59.10由ac,得ac=2x-4=0,解得x=2.由bc,得2y=-4,即y=-2,所以a=(2,1

14、),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|=32+(-1)2=10.10.1依题意,得|BC|=|AC|,故ABC是以AB为底边的等腰三角形,故CDAB,所以CDAB=(3-t,-1)(1,2)=3-t-2=0,解得t=1.11.1,2解法一因为|OA|=|OB|=|OC|,所以O为ABC外接圆的圆心,且BOC=23.以O为坐标原点,建立如图D 5-1-6所示的平面直角坐标系,不妨设圆的半径为1,则B(1,0),C(-12,32),设M(cos ,sin )(023),则OB=(1,0),OC=(-12,32),由OM=pOB+qOC,得cos=p-q2,sin=32q,解得p=c

15、os+13sin,q=23sin,所以p+q=cos +3sin =2sin(+6),由023,知6+656,所以当+6=2,即=3时,p+q取得最大值2;当+6=6或+6=56,即=0或=23时,p+q取得最小值1.故p+q的取值范围是1,2.图D 5-1-6解法二因为|OA|=|OB|=|OC|,所以O为ABC外接圆的圆心,且BOC=23.不妨设圆的半径为1,则|OM|=|OB|=|OC|=1,由OM=pOB+qOC两边平方,得|OM|2=p2|OB|2+q2|OC|2+2pq|OB|OC|cosBOC,即1=p2+q2+2pq(-12),亦即1=p2+q2-pq=(p+q)2-3pq.又由条件知p0,q0,所以0pq(p+q2)2=14(p+q)2,所以(p+q)21,(p+q)2-34(p+q)21,所以1(p+q)24,所以1p+q2.