2022年材料力学公式大全3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 材料力学常用公式1. 外力偶矩运算公式（P功率, n 转速）2. 弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3. 轴向拉压杆横截面上正应力的运算公式（杆件横截面轴力 FN,横截面面积 A,拉应力为正）4. 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力运算公式（夹角 a 从 x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5. 纵向变形和横向变形 （拉伸前试样标距l ,拉伸后试样标距l1 ；拉伸前试样直径 d,拉伸后试样直径 d1）6. 纵向线应变和横向线应变7. 泊松比8. 胡克定律名师归纳总结 9. 受多个力作用的杆件纵向变形运算公式. 第 1 页,共 19 页- -

2、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10. 承担轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形运算公式11. 轴向拉压杆的强度运算公式12. 许用应力,脆性材料,塑性材料13. 延长率14. 截面收缩率15. 剪切胡克定律（切变模量 G,切应变 g ）16. 拉压弹性模量 E、泊松比和切变模量 G之间关系式17. 圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18. 圆轴扭转时横截面上任一点切应力运算公式（扭矩 T,所求点到圆心距离 r ）19. 圆截面周边各点处最大切应力运算公式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - -

3、 - - - - - 20. 扭转截面系数,（a）实心圆（b）空心圆21. 薄壁圆管（壁厚 R0 /10 ,R0 为圆管的平均半径）扭转切应力运算公式22. 圆轴扭转角与扭矩 T、杆长 l 、 扭转刚度 GHp的关系式23. 同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时 或24. 等直圆轴强度条件25. 塑性材料；脆性材料或26. 扭转圆轴的刚度条件 . 27. 受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力运算公式, 28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - -

4、29. 平面应力状态的三个主应力 , , 30. 主平面方位的运算公式31. 面内最大切应力32. 受扭圆轴表面某点的三个主应力, , ,33. 三向应力状态最大与最小正应力34. 三向应力状态最大切应力35. 广义胡克定律36. 四种强度理论的相当应力37. 一种常见的应力状态的强度条件,38. 组合图形的形心坐标运算公式,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 39. 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40. 截面图形对轴 z 和轴 y 的惯性半径 . , 41. 平行移

5、轴公式（形心轴 为 A）zc 与平行轴 z1 的距离为 a,图形面积42. 纯弯曲梁的正应力运算公式 43. 横力弯曲最大正应力运算公式44. 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数. ,45. 几种常见截面的最大弯曲切应力运算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z 的静矩,b 为横截面在中性轴处的宽度）46. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47. 工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力运算公式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 49. 圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.

6、 圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51. 弯曲正应力强度条件52. 几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53. 弯曲梁危急点上既有正应力 又有切应力 作用时的强度条件或,54. 梁的挠曲线近似微分方程55. 梁的转角方程56. 梁的挠曲线方程 . 57. 轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力运算公式58. 偏心拉伸（压缩）59. 弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度名师归纳总结 条件表达式,第 6 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 60. 圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时,

7、合成弯矩为61. 圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度运算公式62.63. 弯拉扭或弯压扭组合作用时强度运算公式64. 剪切有用运算的强度条件65. 挤压有用运算的强度条件66. 等截面瘦长压杆在四种杆端约束情形下的临界力运算公式67. 压杆的约束条件：（ a）两端铰支 =l （b）一端固定、一端自由 =2 （c）一端固定、一端铰支 =0.7 （d）两端固定 =0.5 68. 压杆的长细比或柔度运算公式,69. 瘦长压杆临界应力的欧拉公式名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 70. 欧拉公式的适用范畴71. 压杆

8、稳固性运算的安全系数法72. 压杆稳固性运算的折减系数法73. 关系需查表求得1、材料力学的任务： 强度、刚度和稳固性；应力单位面积上的内力；（1.1）（1.2）表示；表示；平均应力pmFA全应力plim A0pmlim A0FdFAdA正应力 垂直于截面的应力重量,用符号 切应力 相切于截面的应力重量,用符号应力的量纲：线应变国际单位制：Pa N/m2、MPa、GPa图1.2工程单位制：kgf/m2、kgf/cm2单位长度上的变形量, 无量纲,其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小；外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出,而是依据轴的转速n 与传递的功率 P来运算；当功率 P 单

9、位为千瓦（ kW）,转速为 n（r/min）时,外力偶矩为Me9549PN.mF N3-1 n当功率 P 单位为马力（ PS）,转速为 n（r/min）时,外力偶矩为Me7024PN.mn拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力,且为平均分布, 其运算公式为A式中F 为该横截面的轴力,A 为横截面面积；正负号规定拉应力为正,压应力为负；公式（ 3-1）的适用条件：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合,即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；

10、（3）杆件上有孔洞或凹槽时,该处将产生局部应力集中现象,横截面上应力分布很不匀称；（4）截面连续变化的直杆,杆件两侧棱边的夹角 20 时 0拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布,其运算公式为全应力 p cos 3-2 2 正应力 cos（3-3）切应力 1 sin2（3-4）2 式中 为横截面上的应力；正负号规定：由横截面外法线转至斜截面的外法线,逆时针转向为正,反之为负；拉应力为正,压应力为负；对脱离体内一点产生顺时针力矩的 为正,反之为负；两点结论：（1）当0 0 时,即横截面上,达到最大值,即max；当=0 90 时,即纵截面上,=0 90 =0； max2（2）当0 45 时

11、,即与杆轴成0 45 的斜截面上,达到最大值,即12 拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短；受到轴向压力时,轴向缩短,横向伸长；如图 3-2；图 3-2名师归纳总结 b轴 向 变 形l1 ll轴 向 线 应 变ll横 向 变 形第 9 页,共 19 页（3-5）b 1b横向线应变b正负号规定伸长为正,缩短为负；b（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比；即E- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或用轴力及杆件的变形量表示为 l F l 3-6 EA 式中 EA 称为杆件的抗拉（压）刚度,是表

12、征杆件抗击拉压弹性变形才能的量；公式 3-6的适用条件：a材料在线弹性范畴内工作,即 p；b在运算 l 时, l 长度内其 N、E、A 均应为常量；如杆件上各段不同,就应分段运算,求其代数和得总变形；即3泊松比lin1N l i i3-7 E A当应力不超过材料的比例极限时,横向应变与轴向应变之比的肯定值；即3-8 表 1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段阶段图1-5特点点说明中线段弹性阶段oab 比例极限pp为应力与应变成正比的最高应力屈服阶段bc 弹性极限ee为不产生残余变形的最高应力屈服极限ss为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段ce 1ll抗拉强度bb为材料在断裂前所能承担的最

13、大名义应力局部形变阶段ef 产生颈缩现象到试件断裂性能性能指标表 1-2 主要性能指标说明弹性性能弹性模量E 当p 时,E强度性能屈服极限s材料显现显著的塑性变形塑性性能抗拉强度b材料的最大承载才能100%材料拉断时的塑性变形程度延长率l截面收缩率AAA 1100%材料的塑性变形程度强度运算名师归纳总结 许用应力材料正常工作容许采纳的最高应力,由极限应力除以安全系数求得；第 10 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 塑性材料=s；脆性材料=bn sn b其中n n 称为安全系数,且大于1；强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许

14、用应力；对轴向拉伸（压缩）杆件 N（3-9）A 按式（ 1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度运算；2.1 切应力互等定理切应力总是成对产生,它们的大小相等, 方向受力构件内任意一点两个相互垂直面上,同时垂直指向或者背离两截面交线,且与截面上存在正应力与否无关；2.2 纯剪切 单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态,称为纯剪切应力状态；2.3 切应变 切应力作用下,单元体两相互垂直边的直角转变量称为切应变或切应变,用 表示；2.4 剪切胡克定律 在材料的比例极限范畴内,切应力与切应变成正比,即G3-10 E 及泊松式中 G 为材料的切变模量,为材料的又一弹性常数（另两个

15、弹性常数为弹性模量比）,其数值由试验打算；对各向同性材料,E、G 有以下关系GE3-11 2 12.5.2 切应力运算公式式中式中横截面上某一点切应力大小为pTp3-12 IIp为该截面对圆心的极惯性矩,为欲求的点至圆心的距离；圆截面周边上的切应力为m a xT3-13 W tW tIp称为扭转截面系数,R 为圆截面半径；R2.5.3 切应力公式争论（1）切应力公式（3-12）和式（ 3-13）适用于材料在线弹性范畴内、小变形时的等圆 截面直杆； 对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用,其误差在工程允 许范畴内；名师归纳总结 （2）极惯性矩pI和扭转截面系数W 是截面几何特点量,运算公式

16、见表3-3；在面积第 11 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 不变情形下, 材料离散程度高, 其值愈大； 反映出轴抗击扭转破坏和变形的才能 愈强；因此,设计空心轴比实心轴更为合理；表 3-3 实心圆IpD4Ipd4ad32（外径为 d）W td316空心圆1a432（外径为 D,W t41a4DD内径为 d）162.5.4 强度条件 圆轴扭转时,全轴中最大切应力不得超过材料答应极限值,否就将发生破坏；因此,强度条件 为m axTm a x3-14 对 等 圆 截 面 直 杆m a xT m a xW tZW t（3-15）式中为材料的许

17、用切应力；Mz3-16是横截面对中性轴3.1.1 中性层的曲率与弯矩的关系1EI式中,是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；IE轴的惯性矩；3.1.2 横截面上各点弯曲正应力运算公式M y I Z3-17Mxmax式中, M 是横截面上的弯矩；ZI的意义同上； y 是欲求正应力的点到中性轴的距离最 大 正 应 力 出 现 在 距 中 性 轴 最 远 点 处maMmax yxIzma W z（3-18）式中,W zIz称为抗弯截面系数；对于hb 的矩形截面,W z12 bh ；对于直径为Dymax6的圆形截面,W z323 D ；对于内外径之比为ad的环形截面,W z32D31a4；D

18、如中性轴是横截面的对称轴,就最大拉应力与最大压应力数值相等,如不是对称轴, 就最大拉应力与最大压应力数值不相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.2 梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力,其表达式为m a xMm a xW z（3-19）对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如 的工字形截面等） ,其强度条件应表达为T 字形截面、上下不等边式中,t,lmaxMmaxy 1t（3-20a）IzymaxMmaxy2c（3-20b）Izc分别是材料的容许拉应力和容许压应力；y 1,y

19、 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离；3.3 梁的切应力 QS z（3-21）I b z式中, Q 是横截面上的剪力；S 是距中性轴为 y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；zI 是整个横截面对中性轴的惯性矩；b 是距中性轴为 y 处的横截面宽度；3.3.1 矩形截面梁 切应力方向与剪力平行,大小沿截面宽度不变,沿高度呈抛物线分布；切应力运算公式6 Q3bhh2y23Q；（3-22）4最大切应力发生在中性轴各点处,max2A3.3.2 工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分,其合力占总剪力的 板部分来承担；9597%,因此截面上的剪力主要由腹切应 力沿腹板高度的分布亦为 二次曲线

20、；计算公式为QBH2h2b2 hy23-23 h1为上下两翼缘内侧距I b824Fs dh 1d 为腹板宽度近似运算腹板上的最大切应力：max3.3.3 圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点,其竖直重量沿截面宽度相等,沿高度呈抛物线变化；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 最 大 切 应 力 发 生 在 中 性 轴 上 , 其 大 小 为m a xQS zQd22 d4Q8 4 d3I b3Ad64（3-25）圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似；3.4 切应力强度条件梁 的 最 大 工 作 切 应 力

21、 不 得 超 过 材 料 的 许 用 切 应 力 , 即m a xQ m a x S zm a xI b z3-26 式中,Q max 是梁上的最大切应力值；S z max 是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；zI 是横截面对中性轴的惯性矩；b 是 max处截面的宽度；对于等宽度截面,max发生在中性轴上,对于宽度变化的截面,max不肯定发生在中性轴上；4.2 剪切的有用运算名义切应力：假设切应力沿剪切面是匀称分布的,就名义切应力为Q A, 即（3-27）剪 切 强 度 条 件 ： 剪 切 面 上 的 工 作 切 应 力 不 得 超 过 材 料 的许 用 切 应 力Q A（3-28）5.2 挤压的

22、有用运算名义挤压应力假设挤压应力在名义挤压面上是匀称分布的,就bsP bsbsA bs（3-29）式中,A bs表示有效挤压面积,即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影；当挤压面为平面时为接触面面积,的 投影面积；当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上挤 压 强 度 条 件 挤 压 面 上 的 工 作 挤 压 应 力 不 得 超 过 材 料 的 许 用 挤 压 应 力bsPbs（3-30）A bs1, 变形运算 圆轴扭转时, 任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角；相距为 l 的两个横截 面的相对扭转角为名师归纳总结 lTPdxrad 4.4 第 14 页,共 19

23、页0GI- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数,就上式化为TlPrad 4.5 GI图 4.2 式中GIP称为圆轴的抗扭刚度；明显,的正负号与扭矩正负号相同；公式（ 4.4）的适用条件：（1）材料在线弹性范畴内的等截面圆轴,即P；rad （2）在长度l 内, T、G、IP均为常量；当以上参数沿轴线分段变化时,就应分段计 算 扭 转 角 , 然 后 求 代 数 和 得 总 扭 转 角 ； 即inT ili1G iIP i4.6 当 T、IP沿轴线连续变化时,用式 4.4运算；2, 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭

24、转角max不得超过许可的单位长度扭转角 , 即4.7 maxT maxrad/m GIP式m a xT m a x1 8 0（/m）（4.8）GIP2,挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时,得到弯矩与曲率的关系1MEI对于跨度远大于截面高度的梁,略去剪力对弯曲变形的影响,由上式可得1 M xx EI利用平面曲线的曲率公式,并忽视高阶微量,得挠曲线的近似微分方程 ,即名师归纳总结 Mx（4.9）MxdxdxMxdxC（4.10）第 15 页,共 19 页EI将上式积分一次得转角方程为EI再积分得挠曲线方程CxD（4.11）EI- - - - - - -精选学习资料 - - - -

25、 - - - - - 式中, C,D 为积分常数,它们可由梁的边界条件确定；当梁分为如干段积分时,积分常数的确定除需利用边界条件外,仍需要利用连续条件；3,梁的刚度条件 限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值,max,max（4.12）就得到梁的 刚度条件, 即3,轴向拉伸或压缩杆件的应变能llF Nl,可得在线弹性范畴内,由功能原理得VW1F2当杆件的横截面面积A、轴力 FN 为常量时,由胡克定律EAVFN2l（4.14）2EA杆单位体积内的应变能称为应变能密度 ,用 V 表示；线弹性范畴内,得V1（4.15）V ：24,圆截面直杆扭转应变能在线弹性范畴内,由功能原V rW1Me2将

26、M eT与TlP代入上式得V rT2lGI2 GIP（4.16）图 4.5 依据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功,得应变能的密度Vr1r（4.17）25,梁的弯曲应变能 在线弹性范畴内,纯弯曲时,由功能原理得VW1Me2将M eM与Ml 代入上式得 EIVM2l2EI（4.18）图 4.6 横力弯曲时,梁横截面上的弯矩沿轴线变化,此时,对于微段梁应用式（4.18）,积分得全梁的弯曲应变能V ,即VlM2xdx（ 4.19）2EI2截面几何性质的定义式列表于下：名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 静 矩惯性矩

27、惯性半径惯性积极惯性矩S yA zdAIyA z2dAiyIyIyzAyzdAIpAp2dAAS zAydAIzAy2dAizIzA3惯性矩的平行移轴公式IyIyCa2A-1 所示；IzIz C2 bA静矩 ：平面图形面积对某坐标轴的一次矩,如图定义式：SyzdA A,S zAydA（ -1）量纲为长度的三次方；由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标z 和yC；就0,由此可得薄板重心的坐标zCAz CA z dAA zd AS y为z CS yAA同理有yCSzA所以形心坐标z CzCSzSy,yCSz（ -2）AA或SyAA,yC由式（ -2）得知,如某坐标轴通过形心轴,就图形对该轴

28、的静矩等于零,即yCS z0；z C0,就S y0；反之,如图形对某一轴的静矩等于零,就该轴必定通过图形的形心；静矩与所选坐标轴有关,其值可能为正,负或零；名师归纳总结 如一个平面图形是由几个简洁平面图形组成,称为组合平面图形；设第iS zI 块分图形的nA i y Ci,i 1第 17 页,共 19 页面 积 为 nS y i 1A , 形 心 坐 标 为yCi,zCi, 就 其 静 矩 和 形 心 坐 标 分 别 为A iz Ci（ -3）nnyCS zi1A iyCi,z CSyA izci1 n（ -4）AnAA iA ii1i1 -2 惯性矩和惯性半径惯性矩： 平面图形对某坐标轴的二

29、次矩,如图-4 所示；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - IyA z2dA,IzAy2dA（ -5）量纲为长度的四次方,恒为正；相应定义iyIy,izIz（ -6）AA为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径；组合图形的惯性矩；设ziIyi,Izi为分图形的惯性矩,就总图形对同一轴惯性矩为Iyin1Iyi,IzinI（ -7）如以表示微面积 dA 到坐标原点 O 的距离 ,就定义图形对1坐标原点 O 的极惯性矩2 2 2 2I p A dA（ -8）由于 y z所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 I p A y 2 z 2 d A I y I z（ -9）式

30、（ -9）说明,图形对任意两个相互垂直轴的（轴）惯性矩之和,等于它对该两轴交点的极惯性矩；下式IyzAyzdA（ -10）Iyz可能为正,定义为图形对一对正交轴y 、 z 轴的惯性积；量纲是长度的四次方；为负或为零；如y,z 轴中有一根为对称轴就其惯性积为零； -3 平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩 或惯性积 并不相同, 如果其中一对轴是图形的形心轴yc,z c时,如图 -7 所示,可得到如下平行移轴公式IyIyCa2AIzIz Cb2A（ -13）IyzIy Cz CabA简洁证明之：其中IyA z2dAAz Ca2dAAz C2dA2 aAz CdAa2A

31、dAAz CdA为图形对形心轴y 的静矩,其值应等于零,就得IyIy Ca2A同理可证（ I-13）中的其它两式；结论： 同一平面内对全部相互平行的坐标轴的惯性矩,对形心轴的最小；在使用名师归纳总结 惯性积移轴公式时应留意a ,b 的正负号； 把斜截面上的总应力p 分解成与斜截面垂第 18 页,共 19 页直的正应力n和相切的切应力n（图 13.1c）,就其与主应力的关系为n1l22m23n2（13.1）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n2l222m22n2n2（13.2）13在以 n为横坐标、n为纵坐标的坐标系中,由上式所确定的任意斜截面上的正应力 n和切应力 n为由三个主应力所确定的三个圆所围成区域（图 13.2 中阴影）中的一点；由图 13.2 显见1 3 max 2图13.2名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页