2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第13章第3讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（考题帮.数学理） .docx

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1、第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差题组 求离散型随机变量的分布列、均值与方差1.2017浙江,8,4分已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2) B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)2.2013湖北,9,5分理如图13-3-1,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)= ()图13-3-1A.126125 B.65 C.168125D.753.2014浙江,

2、12,4分理随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=15,E()=1,则D()=.4.2016山东,19,12分理甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:()“星队”至少猜对3个成语的概率;()“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.A组基础题1.2018惠州市二调,19某学校为了丰富学生的课余生活,以班级

3、为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率p=23,记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.(1)求S6=20且Si0(i=1,2,3)的概率;(2)记=|S5|,求的分布列及数学期望.2.2018广东七校第一次联考,19某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘,下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人,可在下周一当天完成全部采摘任务

4、.无雨时收益为20万元;有雨时,收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;(2)该基地是否应该额外聘请工人,请说明理由.3.2017长沙市五月模拟,18某班级50名学生的考试分数x分布在区间50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=n10-0.4,10nx10(n+1),n=5,6,7,-n5+b,10nx10 000男12476女03962 (1)若某人一天行走的步数超过8 000步被评定为“积极型”,否则被评定为“

5、懈怠型”,根据题意完成下面的 22列联表,并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关?积极型懈怠型 总计男女总计 (2)在小明这40位好友中,从该天行走的步数超过 10 000步的人中随机抽取3人,设抽取的女性有X人,求X的分布列及数学期望E(X).附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.8285.2017合肥市三模,18某供货商计划将某种大型节日商品分别配送到甲、乙两地销售.据以往数据统计,甲、乙两地该商品需求量的频率分布表如下: 甲地需

6、求量频率分布表需求量456频率0.50.30.2 乙地需求量频率分布表需求量345频率0.60.30.1以两地需求量的频率作为两地需求量的概率.(1)若此供货商计划将10件该商品全部配送至甲、乙两地,保证两地不缺货(配送量需求量)的概率均大于0.7,问该商品的配送方案有哪几种?(2)已知甲、乙两地该商品的销售相互独立,该商品售出,供货商获利2万元/件;未售出的,供货商亏损 1万元/件.在(1)的前提下,若仅考虑此供货商所获净利润,试确定最佳配送方案.6.2017郑州市三模,18为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性,并将它们各自量化为1,

7、2,3三个等级,再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养:若w7,则数学核心素养为一级;若5w6,则数学核心素养为二级;若3w4,则数学核心素养为三级.为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下结果:学生编号A1A2A3A4A5(x,y,z)(2,2,3)(3,2,2)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)学生编号A6A7A8A9A10(x,y,z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2) (1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为a

8、,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为b,记随机变量X=a-b,求随机变量X的分布列及其数学期望.答案1.A根据题意,得E(i)=pi,D(i)=pi(1-pi),i=1,2,0p1p212,E(1)E(2).令f(x)=x(1-x),则f(x)在(0,12)上单调递增,所以f(p1)f(p2),即D(1)D(2),故选A.2.B由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3. 8个顶点处的8个小正方体涂有3面,所以P(X=3)=8125;每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有312=36(个)小正方体涂有2面,所以P(X=2)=36125;每个表面去掉四条棱

9、上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有96=54(个)小正方体涂有一面,所以P(X=1)=54125.去掉所述的小正方体,还剩下125-(8+36+54)=27(个)内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,所以P(X=0)=27125.故X的分布列为X0123P2712554125361258125因此E(X)=027125+154125+236125+38125=65.故选B.3.25由题意设P(=1)=p,则的分布列如下:012P15p45-p由E()=1,可得p=35,所以D()=1215+0235+1215=25.4.()记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,

10、记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“星队至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)=34233423+2(14233423+34133423)=23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.()由题意知,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,

11、4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=14131413=1144,P(X=1)=2(34131413+14231413)=10144=572,P(X=2)=34133413+34131423+14233413+14231423=25144,P(X=3)=34231413+14133423=12144=112,P(X=4)=2(34233413+34231423)=60144=512,P(X=6)=34233423=36144=14.可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望EX=01144+1572+225144+3112+4512+

12、614=236.A组基础题1.(1)当S6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由Si0(i=1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首.则所求的概率P=(23)2C42(23)2(13)2+231323C32(23)213=1681.(2)由题意知,=|S5|的所有可能的取值为10,30,50,又p=23,P(=10)=C53(23)3(13)2+C52(23)2(13)3=4081,P(=30)=C54(23)4(13)1+C51(23)1(13)4=3081,P(=

13、50)=C55(23)5(13)0+C50(23)0(13)5=1181,的分布列为103050P408130811181E()=104081+303081+501181=1 85081.2.(1)设下周一无雨的概率为p,由题意得p2=0.36,解得p=0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16.基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16E(X)=200.36+150.24+100.24+7.50.16=14.4(万元),基地的预期收益为14.

14、4万元.(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,则其预期收益E(Y)=200.6+100.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a(万元),综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不额外聘请工人;当成本低于1.6万元时,额外聘请工人;当成本恰为1.6万元时,额外聘请或不聘请工人均可以.3.(1)因为f(x)=n10-0.4,10nx10(n+1),n=5,6,7,-n5+b,10nx10(n+1),n=8,9,所以(510-0.4)+(610-0.4)+(710-0.4)+(-85+b)+(-95+b)=1,解得b=1.9.估计该班的考试平均分数为(510-0.4)55+

15、(610-0.4)65+(710-0.4)75+(-85+1.9)85+(-95+1.9)95=76.(2)由题意可知,考试成绩记为1分,2分,3分,4分,5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,所以P(=7)=C32C11+C31C22C63=310.(3)由(2)知,的所有可能取值为5,6,7,8,9,则P(=5)=C11C22C63=120,P(=6)=C11C21C31C63=310,P(=7)=310,P(=8)=C32C21C63=310,P(=9)=C33C63=

16、120.所以的分布列为56789P120310310310120E()=5120+(6+7+8)310+9120=7.B组提升题4.(1)22列联表如下:积极型懈怠型 总计男13720女81220总计211940K2=40(1312-78)2202021192.5062.706,没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.(2)由已知得,小明这40位好友中,该天行走的步数超过10 000步的人中男性有6人,女性有2人,现从中抽取3人,抽取的女性人数X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C63C83=2056,P(X=1)=C21C62C83=3056,P(X=2)

17、=C61C22C83=656,X的分布列为X012P20563056656E(X)=02056+13056+2656=34.5.(1)由表格可知,当甲地不缺货的概率大于0.7时,至少需配货5件;乙地不缺货的概率大于0.7时,至少需配货4件,所以共有两种方案:甲地配5件,乙地配5件;甲地配6件,乙地配4件.(2)方案一:当甲地配5件,乙地配5件时,记供货商从甲地所获利润为X1万元,供货商从乙地所获利润为Y1万元,则X1,Y1的分布列分别为X1710P0.50.5Y14710P0.60.30.1E(X1)=70.5+100.5=8.5(万元),E(Y1)=40.6+70.3+100.1=5.5(万

18、元),所以选择方案一时,此供货商所获净利润的期望为E(X1)+E(Y1)=8.5+5.5=14(万元).方案二:当甲地配6件,乙地配4件时,记供货商从甲地所获利润为X2万元,供货商从乙地所获利润为Y2万元,则X2,Y2的分布列分别为X26912P0.50.30.2Y258P0.60.4E(X2)=60.5+90.3+120.2=8.1(万元),E(Y2)=50.6+80.4=6.2(万元),所以选择方案二时,此供货商所获净利润的期望为E(X2)+E(Y2)=8.1+6.2=14.3(万元).综上,仅考虑此供货商所获净利润,选择方案二更佳.6.(1)由题意可知,建模能力指标为1的学生是A9;建模

19、能力指标为2的学生是A2,A4,A5,A7,A10;建模能力指标为3的学生是A1,A3,A6,A8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,则P(A)=C52+C42C102=1645.(2)由题意可知,数学核心素养等级是一级的有:A1,A2,A3,A5,A6,A8,数学核心素养等级不是一级的有:A4,A7,A9,A10.X的所有可能取值为1,2,3,4,5.P(X=1)=C31C21C61C41=14;P(X=2)=C31C11+C21C21C61C41=724;P(X=3)=C31C11+C21C11+C11C21C61C41=724;P(X=4)=C21C11+C11C11C61C41=18;P(X=5)=C11C11C61C41=124.随机变量X的分布列为X12345P1472472418124E(X)=114+2724+3724+418+5124=2912.