2022年根轨迹法习题和答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为*G s H s K s 1 s 2 s 4 试证明 s1 1 j 3 在根轨迹上,并求出相应的根轨迹增益 K *和开环增益 K ；解 如点 1s 在根轨迹上,就点 1s 应满意相角条件G s H s 2 k 1 ,如下列图；对于 s 1 j 3,由相角条件G s 1 H s 1 0 1 j 3 1 1 j 3 2 1 j 3 4 02 3 6满意相角条件,因此 s 1 1 j 3 在根轨迹上；将 1s 代入幅值条件：*KG s 1 H（s）11 j 3 1 1 j 3

2、 2 1 j 3 4*解出 ：K * 12,K K 38 24-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下,试求参数 b 从零变化到无穷大时的根轨名师归纳总结 迹方程,并写出b2时系统的闭环传递函数；s 1 0s2b 第 1 页,共 12 页（1）Gss20b（2）G4ss s2sb 解1 Gs b s4bs4 2j4s24s20s2j4 ss Gs201Gs s26 s28- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4-3多练出技巧巧思出硕果j19b 从零变2 G sb 2 s2 s20 =bs1j19s1s2 s2 s10 s s13j s13j s1Gs s3

3、10s4Gs4 s214s40b,试绘制参数2 s已知单位反馈系统的开环传递函数Gs s4s解化到无穷大时的根轨迹,并写出s=-2 这一点对应的闭环传递函数；Gsbs4s s6根轨迹如图；ss 2时b4,16s2 s82ss210 s2s4-4已知单位反馈系统的开环传递函数,试概略绘出系统根轨迹；2 Gss02.sk.05 s12 Gs ks1 s2 s1 1 3 Gs sk*s53 4 Gs k*ss1 ss 1s2s解 Gs s0 .2 sK0.5 s1s s10K21 5 s三个开环极点：p10,p22,p35 实轴上的根轨迹：,5, 2 , 0 渐近线：a0k257,33a231 3

4、分别点：名师归纳总结 1d15d120第 2 页,共 12 页d- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解之得：d10 . 88,d 2多练出技巧巧思出硕果3 . 7863舍去 ； 与虚轴的交点：特点方程为D s3 s2 7 s10 s310 k00令Re Dj7210 kImDj100解得k1010 ）；7与虚轴的交点（0,根轨迹如下列图；G sK s11K s10 5. 0,s2 s12 s s1根轨迹绘制如下：2 实轴上的根轨迹：,1, 分别点：11dd0.5d1解之得：d0. 293,d1. 707；根轨迹如下列图；根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：

5、,53, 32 0,10a5 02322 渐近线：2 k1 a2 分别点：1d11d5d2d用摸索法可得d0. 886；根轨迹如下列图；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果4 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0, 1,-1,-2 2分别点：1d11d11d1d求解得：d1.037,d2.1 37根轨迹如下列图；4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为Gs s 0.02sk0 .01s1k 的值；1 要求： 1 绘制系统的根轨迹；2 确定系统临界稳固时开环增益3 确定系统临界阻尼比时开环增益k

6、的值；解1 Gss0 .02sk0.01 s1 s s5000k1001 50s 实轴上的根轨迹：0, -50,-100,- 分别点：1d150d10d100求解得d121 . 13,d278 .87 渐近线：a50,a60o,180o根轨迹如下列图；名师归纳总结 2 系统临界稳固时k*750000,k15020,要求绘制根轨迹并确3 系统临界阻尼比时k*48112 . 5,k.9624-6 已知系统的开环传递函数为GsH s2s sk*8 s定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范畴；第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解多练

7、出技巧巧思出硕果G sHs2 s sK20 8 s 实轴上的根轨迹：, 0渐近线：042j4j2 8a33a2k313,分别点：1d1j2d1j20d44解之得：d2,d3. 33；与虚轴交点：D s 3 s2 8 s20 sk把sj代入上方程,整理,令其实、虚部分别为零得：Re Djk820ImDj2030解得：k0k250160起始角：由相角条件p263,p363；根轨迹如下列图；全部根为负实根时阶跃响应无超调,此时14 . 8k*16,所以0.74k0.84-7 单位反馈系统的开环传递函数为Gssk2s41 ,1 2s1 7试绘制系统根轨迹,并确定使系统稳固的k 值范畴；解 ：根轨迹绘制

8、如下： 实轴上的根轨迹：.0 ,/4 渐近线：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - a117多练出技巧5巧思出硕果/40.12k1 28a22 与虚轴交点：闭环特点方程为Ds 43 s1s22k10sk10；777把sj代入上方程,令Re DjK1120307 10 7ImDj2 K47解得：K0,K9217根轨迹如下列图；由图可知使系统稳固的K 值范畴为1K97；4-8 已知掌握系统的开环传递函数如下,试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）GsH sK（s2）2 s4 s9 2解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：,2

9、渐近线：名师归纳总结 分别点：d3a23j52j522第 6 页,共 12 页 2k13123a3,2j5d222j5d解之得：d.29d0 .71舍去 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果 与虚轴交点：闭环特点方程为2 2D s s 4 s 9 K（s 2）0把 s j 代入上方程,4 2Re D j 34 81 2 K 0令3Im D j 72 K 8 0解得：21K 96 起始角：90（2 p 1 2 90）（2 k 1）解出 p 1 45 , p 2 135 根轨迹如下列图；4-9 已知系统开环传递函数如下,试分别绘制以a

10、和 T 为变化参数的根轨迹；1 Gs 1/4 sa,a0；2 Gss 0.1s26.T s1 ,T0s2s1 1 ,o 60,180 o解 1 Gs ssa/420 .5 实轴上的根轨迹： 渐近线：a1/3,a 分别点：d1/6根轨迹如下列图；2 Gs 2 T sss10,0 s21026 实轴上的根轨迹： 起始角终止角：名师归纳总结 2 180otgp11tg11p90o180o第 7 页,共 12 页55解得起始角78 7.o2z0oztg11 5tg11180o5解得终止角o 90根轨迹如下列图；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思

11、出硕果4-10 已知系统的开环传递函数如下,试概略绘出相应的根轨迹,并求出全部根为负实根时开环增益k 的取值范畴及系统稳固时k 的值；G sH s sk ss11218 解实轴上的根轨迹：18,1.7分别点：d14 . 22,d 2.6 28渐近线：a.7 5,a90o与虚轴交点：s ,121 . 86j,k*37根轨迹如下列图；d 1处k*.116 .6,d2处k*117 6.,kk*/18095时系统稳固；结论：648k6 .53时全部根为负实根,k2 .4-11 已知系统结构图如下列图,试绘制时间常数 数 T 的变化对系统动态性能的影响；解：Gs Ts310020 s2 sT 变化时系统

12、的根轨迹,并分析参名师归纳总结 作等效开环传递函数G*s1T2 s20s100第 8 页,共 12 页3 s- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧巧思出硕果根轨迹绘制如下：（留意：k*1 /T 实轴上的根轨迹：,10 ,10 , 0 分别点：3d2解得d30；d10依据幅值条件,对应的T0 . 015； 虚轴交点：闭环特点方程为DsT s 3s220s1000s 右半把sj代入上方程,整理,令实虚部分别为零得：ReDj10020ImDj20T30解得：T10.02 起始角：p 160参数 T 从零到无穷大变化时的根轨迹如下列图；请留意根轨迹的方向

13、！ 从根轨迹图可以看出,当0T0. 015时,系统阶跃响应为单调收敛过程；0 .015T0.2时,阶跃响应为振荡收敛过程；T0.2时,有两支根轨迹在平面,此时系统不稳固；如取另外一种等效开环传递函数就解题步骤如下：Gs2 s3 T s100,均终止于原点3 个开20s三条根轨迹中两条起于-10,一条起于 实轴上的根轨迹：,10 ,10 , 0 分别点：3d2解得d30；d10其余步骤与上基本相同,根轨迹相同,只是-10 处为两个开环极点,原点处为环零点,根轨迹方向与图中一样；4-12 掌握系统的结构如下列图,试概略绘制其根轨迹k*0；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12

14、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解多练出技巧巧思出硕果此系统为正反馈系统,应绘零度根轨迹；实轴上的根轨迹：d1,2,1 分别点：d321解得d0.5 起始角：依据相角条件,得p 1imi,jnj2 k,p3180；116060p2根轨迹如下列图；4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G s k 1s,试绘制其根轨迹,并求出s s2 使系统产生重实根和纯虚根的 k 值；解 由开环传递函数的表达式知需绘制 0 根轨迹； 实轴上的根轨迹：,2 0 , ,1 ；1 1 1 分别点：d d 2 d 1解得：d1 0 . 732 , d 2 .2 732将 s d 1 0 . 73

15、2 , s d 2 2 . 732 代 入幅值条件得：Kd1.0 54, Kd27 . 46 与虚轴交点：闭环特点方程为名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 把s多练出技巧巧思出硕果D s ss2 K 1s0j代入上方程,整理,令实虚部分别为零得：ReDj2K0ImDj2K0解得：K00K1 . 412根轨迹如下列图,复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心,开环零点到分别点的距名师归纳总结 离为半径的圆；系统产生重实根的K为 0.54,7.46,产生纯虚根的K为 2；第 11 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果Ok 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页