2022年根与系数关系知识讲解及练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 韦达定理：对于一元二次方程多练出技巧0巧思出硕果x x ,就ax 2bxca0,假如方程有两个实数根x 1x 2b,x x 2cb0aa说明：（1）定理成立的条件（2）留意公式重x 1x2的负号与 b 的符号的区分a根系关系的几大用处 验根：不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次 方程的两根；例如：已知方程 x 2-5x+6 0,以下是它两根的是（） A 3 ,-2 B. -2, 3 C. -2,-3 D. 3, 2 求代数式的值：在不解方程的情形下,可利用根与系数的关系求关于 x1和 x2的代数式的值,如； 求作新方程：已知

2、方程的两个根,可利用根与系数的关系求出一元二次 方程的一般式 . 求根及未知数系数：已知方程的一个根,可利用根与系数的关系求出另 一个数及未知数系数 . （后三种为主）（1）运算代数式的值名师归纳总结 例 如x x 是方程 1 2x22x20070的两个根,试求以下各式的值：4 |x 1x 2|第 1 页,共 7 页1 2 x 1x 22；2 11；3 x 15x 25；x 1x 2解： 由题意,依据根与系数的关系得：x 1x 22,x x 220071 x 12x 22x 1x 222 x x 1 2 222 200740182 11x 1x 222x x 1 2x 1x 220072007

3、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 x 15x 25x x 2多练出技巧巧思出硕果5 22519725x 1x 22520074 |x 1x 2|x 1x 22x 1x 224x x2 224 20072 2022说明： 利用根与系数的关系求值,要娴熟把握以下等式变形：x 12x 22|x 1x 22 22x x ,11x 1x 2,x 1x 22x 1x 224x x ,x 1x 2x x 2|x 1x 23x 1x24x x2,x x 222 x x 2x x 2x 1x 2,x 13x 23x 2x 13 x x 2x 1x 2等等韦达定理表达

4、了整体思想（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是；例 解方程组 x+y=5 xy=6 解：明显, x,y 是方程 z 2-5z+6 0 的两根 由方程解得 z 1=2,z 2=3 原方程组的解为 x1=2,y1=3 x 2=3,y 2=2 明显,此法比代入法要简洁得多；（3）定性判定字母系数的取值范畴例 一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求 k 的取值范畴；解：设此三角形的三边长分别为a、b、c,且 a、b 为的两根,就c=2 由题意知名师归纳总结 k2-4 2 20,k 4 或 k-4 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

5、- - - - 为所求；多练出技巧巧思出硕果【典型例题】例 1 已知关于 x 的方程x2k1x1k210,依据以下条件,分别求出k 的值41 方程两实根的积为5； 2 方程的两实根x 1,x 满意|x 1|x x 1x ,分析： 1 由韦达定理即可求之；2 有两种可能,一是x 1x 20,二是所以要分类争论解： 1 方程两实根的积为5 k0k3；x x2 kk1241k210k3,k44121524所以,当k4时,方程两实根的积为52 由|x 1|x 得知：当x 10时,x 1x ,所以方程有两相等实数根,故2当x 10时,x 1x 2x 1x 20k101,由于0k3,故k1不合题意,舍去2

6、综上可得,k3时,方程的两实根x 1,x 满意 2|x 1|x 22说明：依据一元二次方程两实根满意的条件,求待定字母的值, 务必要留意名师归纳总结 方程有两实根的条件,即所求的字母应满意100 第 3 页,共 7 页例 2 已知x x 是一元二次方程4kx24kxk的两个实数根- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 是否存在实数多练出技巧x 1巧思出硕果3成立？如存在,求出k 的值；k ,使2x 1x 22x 22如不存在,请您说明理由2 求使x 1x 22的值为整数的实数k 的整数值9x x 1 20,x 2x 1解： 1 假设存在实数k ,使2x

7、1x 2x 12x 23成立2 一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根4 k024 4 k k116k0k0, 4 又x x 是一元二次方程42 kx4 kxk10的两个实数根x 1x 21x x 2k14 k2x 1x 2x 12x 22x 12x 225x x 1 22x 1x 22 k93k9,但5k04k24不存在实数k ,使2x 1x2x 12x23成立22 x 1x 22x 122 x 22x 1x 2244 k4x 2x 1x x 2x x 2k1k1 要使其值是整数,只需k1能被 4 整除, 故k11, 2, 4,留意到k要使x 1x 22的值为整数的实数k 的整数值为2

8、, 3, 5 x 2x 1说明 ：1 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,如能求出,就说明存在,否就即不存在名师归纳总结 2 此题综合性较强,要学会对k41为整数的分析方法第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果一元二次方程根与系数的关系练习题名师归纳总结 A 组第 5 页,共 7 页1一元二次方程1k x22x10有两个不相等的实数根,就k 的取值范畴是 Ak2Bk2,且k1Ck2Dk2,且k12如x x 是方程2x26x30的两个根,就11的值为 x 1x2A 2B2C1 2D9 23已知菱形 A

9、BCD 的边长为 5,两条对角线交于O 点,且 OA、OB 的长分别是关于x的方程2 x2m1 x2 m30的根,就 m 等于 A3B 5C 5 或3D5 或 34如 t 是一元二次方程ax2bxc0 a0的根,就判别式b24 ac 和完全平方式M2atb 2的关系是 AMBMCMD大小关系不能确定5如实数 ab ,且a b 满意a28 a50,b28 b50,就代数式b1a1的a1b1值为 A20B 2C 2 或20D 2 或206假如方程 bc x2ca x ab 0的两根相等, 就a b c 之间的关系是_ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x28x70的两个根,就这个直角三

10、角形的斜边长是_ 8如方程2 x2 k1 xk30的两根之差为1,就 k 的值是_ 9设x x 是方程2 xpxq0的两实根,x 11,x 21 是关于 x 的方程2 xqxp0的两实根,就p = _ , q = _ 10已知实数a b c 满意a62 b cab9,就 a = _ , b = _ , c = _ 11对于二次三项式x210x36,小明得出如下结论：无论x 取什么实数,其值都不行- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由12如n0,关于 x 的方程2 xm2 n x1mn0有两个

11、相等的的正实数根,求m n的4值13已知关于 x 的一元二次方程x 24m1 x2 m101 求证：不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根；2 如方程的两根为x x ,且满意1101 2,求 m 的值x 1x 214已知关于 x 的方程x2k1x1k21的两根是一个矩形两边的长41 k 取何值时,方程存在两个正实数根？2 当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值B 组1已知关于 x 的方程k2 1 x2k3xk10有两个不相等的实数根x x 1 求 k 的取值范畴；2 是否存在实数k ,使方程的两实根互为相反数？假如存在,求出k 的值；假如不存在,请您说明理由2已知关于 x 的方程x23xm0的两个实数根的平方和等于11求证： 关于 x 的方程k3x2kmx2 m6 m2 x40有实数根10的两个实数根,且x x 都大于 13如x x 是关于 x 的方程2 k1 xk21 求实数 k 的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如x 11,求 k 的值多练出技巧巧思出硕果x 22名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页