2022年求解三角函数最值问题常见的八种策略.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求解三角函数最值问题常见的八种策略例 1 如 | |x,那么函数 f x cos 2 x sin x 的最小值是4A. 2 1 B. 1 2 C. 1 D. 1 22 2 2解 将原函数配方得 f x sin x 1 2 5 . 由于 | |,所以 |si n| x 2 . 当2 4 4 2sin x 2 时, f min 1 2 . 选 D. 2 2小结 配方法是一种对数学式子进行定向变形 配成“ 完全平方” 的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简 .何时配方, 需要我们适当猜测,并且合理运用“ 裂项” 与“ 添

2、项”、“ 配” 与“ 凑” 的技巧,从而完成配方化为一个角的三角函数策略名师归纳总结 例 2已知函数f x 2sinxcosx . 第 1 页,共 5 页1 求f x 的最小正周期 . 2 求f x 在区间, 6 2上的最大值和最小值. 解 1fx2sinxcosx2sinxcosxsin2x ,函数f x 的最小正周期为. 2 由6x232x,3sin 2x1. 2f x 在区间6,2上的最大值为1,最小值为3. 2小 结将 复 杂 的 三 角 函 数 式 化 为 “ 统 一 ” 的 形 式 ：yAsinx,yAcosx,从而探求其周期性、单调性以及最值等性质,这是近几年高考对三角函数考查的

3、重要形式.尽管转化的途径不同,有的用向量运算来转化,有的用三角恒等变形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载yAsinx和来转化,有的就在三角形中进行转化,但实质上都是考查模型yAcosx的应用 .利用换元法策略例 3求函数 yx1x2 的最值 . sin4. 由于解令 xcos , 0,就ycossin20,就有445,故yma（仅当42时）,4y min（仅当45时）. 4如二次函数等小结换元转化、整体代换的方法可以将三角函数问题转化为代数函数问题,也可以利用三角函数通过三角换元转化为三角函数求最值.利用有界性策略sin例 4求函数 y

4、sinx1的最值 . cosx2解将原函数变形为xyx cos2y1,即 sinx12 y2（其 中yarctany） . 1由sinx1,得2yy11 . 将上述式子两边平方,整理得4y0. 123故ymin4,ymax0. 3小结1求函数的值域要重视运用三角函数的有界性 |sinx| 1,|cosx| 1与单调性,并结合函数的图像进行分析；2不仅应当重视直接运用有界性探求三角函数式的取值范畴,而且要善于运用反控的方法,运用函数的有界性构造关于 y 的不等式 组,以探求函数的值域.利用数形结合策略名师归纳总结 例 5求函数 y2sinxx的最值 . . 上式可看作点A cosx,sinx和点

5、B 2,的第 2 页,共 5 页cos解将原函数变形为ysinx0cosx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 连线的斜率, 而点 A是单位圆 x2学习必备欢迎下载2,0 作圆的切y21 上的动点 . 由右图可知, 过点 B线时,斜率有最值. 由几何性质有ymax3,ymin.3. 33小结通过图像进行直观化讨论,结果一目了然利用基本不等式策略2例 6如 x0 ,2 ,就 2tanx+tan2-x 的最小值为 . 以0 ,解由x0,2,可知t a n0 , 2t a n 1 t a nc o tt a n2t a n 1 t a n t a n当且仅当

6、tan2 时取等号,即最小值为2 2 . 小结 由基本不等式求最值可分为三步：第一步,检查字母是否全正 即所求平均值的各个量都是正数 .其次步,凑定值,当凑出的和为定值时,其对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时,其对应各个量的和有最小值 得等号时,才有最值存在,否就,没有最值存在 者缺一不行 .第三步,取等号,即只有当对应各个量取 .以上三步可简化为“ 一正” “二定”“三相等”, 三利用单调性策略名师归纳总结 例 7求函数 ylog21sinl xog21sinx在4x6的最值 . 第 3 页,共 5 页解原函数可化为ylog cosx,此函数在4,0上递增,在0,6上递减,所以 ym

7、ax0,ymin1. 从而运用复合函数2小结将复杂函数的单调性问题转化为两个简洁函数的单调性问题,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的单调性的法就加以解决,这种分解转化策略在数学解题中是特别重要的 .事实上,这是一种建立“ 中途点” 的处理策略,即要实现从A 到 B 的目标,可以将整体任务分解为一个个的“ 小”任务,也就是在起点与终点之间建立“ 接应站“ ,从而减小跨度,降低难度 .利用图像的性质策略例 8求函数 f 24asinxcos2x的最大值和最小值. 212a2.解原函数可化为yf x 2sin2x4 asinx12 sin

8、xa设 sin xt,就1t1,并且 yg t 2ta212a2.34 .当a1 时,如下图所示,有y maxg134 a, ming 1当11 a时,如下图所示,有yming a 12a2 ,ymax为g1 和g 中的 较大者 ,即g134 .y max34 1a0,y max34 0a1. 当a1 时,如下图所示,有y maxg 134a ,y min小结讨论表达式较为复杂的三角函数的值域最值 时,我们通常先对表达式进行化名师归纳总结 简,这种先简化问题,再在最简形状下进行讨论的策略,在数学解题中有着广泛的应用.解第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答此题关键依据图像抓住动对称轴与定区间的关系.此题通过二次函数的图像确定解题思名师归纳总结 路,直观、清楚,表达了数形结合的优越性.同学们要特殊留意,在求二次函数在闭区间上第 5 页,共 5 页的最值时,第一要确定二次函数在闭区间上的增减情形,再确定在何处取得最值.- - - - - - -