2022年椭圆典型例题整理教师版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程；例 1：已知椭圆的焦点是 F10, 1、 F20,1,P 是椭圆上一点,并且 PF 1PF22F1F 2,求椭圆的标准方程；解：由 PF1PF22F1F22 24,得 2a4.又 c1,所以 b 23. 2 2所以椭圆的标准方程是y 4x 31. 2已知椭圆的两个焦点为 F 1 1,0, F21,0,且 2a10,求椭圆的标准方程2 2解： 由椭圆定义知 c1, b5 2124. 椭圆的标准方程为 25 y 241. 二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程；例： 1. 椭

2、圆的一个顶点为A2,其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解：（1）当 A 2,为长轴端点时,a 2,b 1,2 2椭圆的标准方程为：x y 1；4 1（ 2）当 A 2,为短轴端点时,b 2,a 4,2 2椭圆的标准方程为：x y 1；4 16三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程；2 2例求过点 3,2且与椭圆x 9y 41 有相同焦点的椭圆的标准方程2 2x y 9解： 由于 c 2945,所以设所求椭圆的标准方程为 a 2a 251. 由点 3,2 在椭圆上知 a 22 2a 2 51,所以 a 215. 所以所求椭圆的

3、标准方程为 15 y 10 1. 4四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程；例：已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x y 1 0 交于 A、 B 两点, M 为 AB中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程2解： 由题意,设椭圆方程为 x2 y 2 1,ax y 1 0由 x 22,得 1 a 2x 2 2 a 2x 0,2 y 1a2x M x 1 x 2 1 a2,y M 1 x M 12,2 a 1 a2k OM y M 12 1,a 24,xy 21 为所求x M a 4 4五、求椭圆的离心率问题；例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆

4、的离心率名师归纳总结 解：2ca2213 c2a2,e13c2k1由e1,得k4第 1 页,共 5 页c333例 已知椭圆kx28y21的离心率e1,求 k 的值92解： 当椭圆的焦点在x 轴上时,a2k8,b29,得2当椭圆的焦点在y 轴上时,a29,b2k8,得c21k由e1,得19k1,即k5244- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载满意条件的 k 4 或 k 54六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例： 1.如 ABC 的两个顶点坐标 A4,0,B4,0, ABC 的周长为 18,求顶点 C 的轨迹方程；解：顶点 C 到两个

5、定点 A,B 的距离之和为定值 10,且大于两定点间的距离,因此顶点 C 的轨迹为椭圆,并且 2a10,所以 a5,2c8,所以 c4,所以 b 2a 2c 29,故顶点 C 的轨迹方程为2 2 225y 91.又 A、B、C 三点构成三角形, 所以 y 0.所以顶点 C 的轨迹方程为 x 252 2 2y 91y 0答案： x 25y 91y 0 2 22已知椭圆的标准方程是 a x 2y 251a5,它的两焦点分别是 F1,F 2,且 F1F28,弦 AB 过点 F 1,求 ABF2的周长由于 F1F28,即即所以 2c8,即 c4,所以 a 2251641,即 a41,所以 ABF2 的

6、周长为 4a4 41. 2 23设 F 1、F2是椭圆 x 9y 41 的两个焦点 ,P 是椭圆上的点,且PF 1: PF22: 1,求 PF 1F 2 的面积解析： 由椭圆方程,得 a3,b2,c5, PF1PF22a6.又 PF1PF221, PF14,PF22,由 2 24 22 5 2 可知 PF1F2 是直角三角形,故PF1F2的面积为1 2PF1PF21 2 2 44. 七、直线与椭圆的位置问题名师归纳总结 例 已知椭圆x2y21,求过点P1,12 2且被 P 平分的弦所在的直线方程第 2 页,共 5 页2分析一： 已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k,利用条件求k解法一：

7、设所求直线的斜率为k ,就直线方程为y1kx1代入椭圆方程,并整理得2212 k2x22 k2x2 kx21k2k3022由韦达定理得x 122k22k1k2 P 是弦中点,x 12x241故得k12所以所求直线方程为xy30解法二： 设过P1,12 2的直线与椭圆交于Ax 1,y 1、Bx2,y2,就由题意得2 x 12 y 11,22 x 2y21,22x 1x21,y 1y 21.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2 2l 与椭圆x 4y 21得2 x 122 x 2y2y2012将、代入得y 1y21,即直线的斜率为1x 1x2

8、22所求直线方程为2x4y302 22直线 l：kxyk0 与椭圆x 4y 21 的位置关系是 A相交B相离C相切D不确定解析： kxyk0, ykx1,即直线过定点2 21,0,而 1,0点在x 4 y 2 1 的内部,故相交答案： A 3.如直线 yx2 与椭圆2 2my 31 有两个公共点,就m 的取值范畴是 A. , 01, B. 1,3 3, C. , 33,0 D. 1,3 y x2,解析： 此题考查直线与椭圆的位置关系由2 2x my 31消去 y,整理得 3mx24mxm0. 如直线与椭圆有两个公共点,就3m 0,解得m1 且 m 3,应选 B. 4m24m 3m 0,m 3,

9、m1.2 2由x m y 3 1 表示椭圆知, m0 且 m 3.综上可知, m 的取值范畴是答案： B 42022 郑州外国语学校月考已知椭圆2 2x 3 y 21 的左、右焦点分别为F 1, F2,过 F 1 且倾斜角为45的直线 l与椭圆相交于A,B 两点1求 AB 的中点坐标；2求 ABF 2的周长与面积2 2解： 1由x 3y 21,知 a3,b2,c1. F11,0,F 21,0, l 的方程为 yx 1,联立2 2x 3y 21,消去 y 得 5x 26x30. yx1,设 Ax1,y1,Bx2, y2,AB 中点 Mx0, y0,就名师归纳总结 - - - - - - -第 3

10、 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x1 x2 6 5,x1x2 3 5,x0x1x23 5,y0y1y2中点坐标为 M3 5,2 5x11 x21 2x1x2 212 5或 y0x01 3 512 5,2由题意知, F2到直线 AB 的距离 d|1 01| 1 21 2 2 22,|AB|1k2 l x1x224x1x28 3 5, S ABF 21 2|AB|d2 8 3 524 6 5, ABF 2 的周长 4a43. 5已知椭圆4x 2y 21 及直线 yx m. 1当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范畴；2求被椭圆截得的最长弦所在

11、的直线方程解： 1由4x2y21,yxm,得 5x 2 2mx m 210. 由于直线与椭圆有公共点,所以 4m 220m 210. 解得2m52 . 52设直线与椭圆交于 Ax1,y1、Bx2,y2,由 1知, 5x 22mxm 210,由根与系数的关系得 x1x22m 5,x1x21 5m 21设弦长为 d,且 y1y2 x1mx2mx1x2,名师归纳总结 dx1 x22 y1y22yx. 第 4 页,共 5 页2 x1 x222 x1x224x1x2 2 2 4m 254 5 m2 12 5108m 2. 当 m0 时, d 最大,此时直线方程为- - - - - - -精选学习资料 -

12、 - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载八、椭圆中的最值问题2 2例 椭圆 x y 1 的右焦点为 F ,过点 A 1,3,点 M 在椭圆上,当 AM 2 MF 为最小16 12值时,求点 M 的坐标解： 由已知：a 4,c 2所以 e 1,右准线 l：x 82过 A 作 AQ l,垂足为 Q ,交椭圆于 M ,故 MQ 2 MF明显 AM 2 MF 的最小值为AQ ,即 M 为所求点,因此 y M 3,且 M 在椭圆上故 x M 2 3所以 M 2 3,32 27设 P 为椭圆 x 4y 91 上的任意一点,F 1,F 2为其上、下焦点,就 |PF 1|PF 2|的最大值是 _解析： 由已知 a3,|PF 1|PF 2|2a6, |PF1| |PF 2| |PF 1|PF 2| 29. 2当且仅当 |PF 1|PF 2|3 时,式中等号成立故 |PF1| |PF 2|的最大值为 9. 答案： 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页