2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲 一 圆周角定理 .doc

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1、一圆周角定理对应学生用书P181圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在O中，所对的圆周角和圆心角分别是BAC，BOC，则有BACBOC作用确定圆中两个角的大小关系2圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A，B是O上两点，则弧的度数等于AOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径说明(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2

2、)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”对应学生用书P18与圆周角定理相关的证明例1如图，已知：ABC内接于O，D、E在BC边上，且BDCE，12，求证：ABAC.思路点拨证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明证明如图，延长AD、AE分别交O于F、G，连接BF、CG，12，BFCG，FBDGCE.又BDCE，BFDCGE，FG，ABAC.(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略(2)若已知条件中出现直径，则

3、常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题1.如图，OA是O的半径，以OA为直径的C与O的弦AB相交于点D.求证：D是AB的中点证明：连接OD、BE.因为ADOABE90，所以OD和BE平行又因为O是AE的中点，所以D是AB的中点2已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径求证：BAEDAC.证明：连接BE，因为AE为直径，所以ABE90.因为AD是ABC的高，所以ADC90.所以ADCABE.因为EC，所以BAE90E，DAC90C.所以BAEDAC.3已知O中，ABAC，D是BC延长线上一点，AD交O于E.求证：AB2ADAE.证明：如图，ABAC，.ABDAEB.在ABE与A

4、DB中，BAEDAB，AEBABD，ABEADB.，即AB2ADAE.利用圆周角进行计算例2如图，已知BC为半O的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AEBE.(1)求证：；(2)如果sin FBC，AB4，求AD的长思路点拨BC为半O的直径，连接AC，构造RtABC.解(1)证明：如图，连接AC.BC是半O的直径，BAC90，又ADBC，垂足为D，13.在AEB中，AEBE，12.23，即AA.(2)设DE3x，ADBC，sinFBC，BE5x，BD4x.AEBE，AE5x，AD8x.在RtADB中，ADB90，AB4，(8x)2(4x)2(4)2，解得x1，AD8.与圆周角定理有关

5、的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算4如图，ABC内接于O，ODBC于D，A50，则OCD的度数是()A40B25C50 D60解析：连接OB.因为A50，所以弦BC所对的圆心角BOC100，CODBOC50，OCD90COD40.答案：A5.如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SADAE，求BAC的大小解：(1)证明：由已知条件可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因为ABEADC，所

6、以，即ABACADAE.又SABACsin BAC，且SADAE，所以ABACsin BACADAE.则sin BAC1.又BAC为三角形内角，所以BAC90.对应学生用书P20一、选择题1如图，在O中，BOC50，则A的大小为()A25B50C75 D100解析：由圆周角定理得ABOC25.答案：A2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有()A1对 B2对C3对 D4对解析：由推论1知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.答案：B3RtABC中，C90，A30，AC2，则此三角形外接圆半径为()A. B2C2 D4解析：

7、由推论2知AB为RtABC的外接圆的直径，又AB4，故外接圆半径rAB2.答案：B4.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于P，若CD3，AB4，则tan BPD等于()A. B.C. D.解析：连接BD，则BDP90.CPDAPB，.在RtBPD中，cos BPD，tan BPD.答案：D二、填空题5在O中，已知ACBCDB60，AC3，则ABC的周长是_解析：由圆周角定理，得ADACB60.ABBC.ABC为等边三角形周长等于9.答案：96如图，AB为半圆O的直径，OCAB，OD平分BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则AEO的度数是_解析：因为OD平分BOC，且BOC90，

8、所以BODBOC45，所以OADBOD22.5.在RtAEO中，AOE90，则AEO90OAE67.5.答案：67.57如图所示，已知O为ABC的外接圆，ABAC6，弦AE交BC于D，若AD4，则AE_.解析：连接CE，则AECABC，又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.答案：9三、解答题8.(2012江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.解：连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，

9、B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.9如图，已知ABC内接于圆，D为中点，连接AD交BC于E.求证：(1)；(2)ABACAE2EBEC.证明：(1)连接CD.13，45，ABECDE.(2)连接BD.，AEDEBEEC.AE2BEECAE2AEDEAE(AEDE)AEAD.在ABD与AEC中，D为的中点，12.又ACEACBADB，ABDAEC.，即ABACADAE由知：ABACAE2EBEC.10如图，已知A，B，C，D，E均在O上，且AC为O的直径(1)求ABCDE的值；(2)若O的半径为，AD与EC交于点M，且E，D为弧AC的三等分点，求MD的长解：(1)连接OB，OD，OE，则ABCDE(CODDOEEOAAOBBOC)360180.(2)连接OM和CD，因为AC为O的直径，所以ADC90，又E，D为的三等分点，所以AECAEOA18030，所以OMAC.因为O的半径为，即OA，所以AM1.在RtADC中，ADACcosA2.则MDADAM.