2022年江苏高考南通数学模拟试卷.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考模拟试卷 1 南通市数学学科基地命题第一卷（必做题,共 160 分）一、填空题：本大题共 14 小题,每道题 5 分,共 70 分 1设 a b R ,a bi2 3 i,其中 i 是虚数单位,就 a b1 i2已知集合 P x x a ,Q y y sin , R 如 P Q ,就实数 a的取值范畴是3为了明白一片 经济林的生长情形,随机测量了其中 100株树木的底部周长（单位：cm ,所得数据如图就在这 100株树木中,底部周长不小于 100cm的有 株r r r r r r r4设向量 a 1, ,b m 1,2,且 a b,如 a

2、b a,第 3 题图就实数 m开头5如下列图的流程图的运行结果是a ,5 S 16将边长为 a的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD a ,a 4 N就三棱锥 D ABC 的体积为YS S a输出 S7设等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,如 a 1 9,a 4 a 6 2a a 1终止当 S 取最大值时,n第 5 题图1 4 48已知,且 cos4,就 cos sin4 4 59如在区间 1,1内任取实数 a ,在区间 0,1 内任取实数 b ,就直线 ax by 0 与圆2 2 x 1 y 2 1 相交的概率为10设函数 f x sin2 x , x , a 的值域是 1

3、 ,1,就实数 a 的取值范畴为6 6 211已知函数 f x 满意：当 x 1,3 时,f x ln x ,当 x 1,1 时,f x 2 1如在区间1 ,33 x 3内,函数 g x f x ax a 0 恰有一个零点,就实数 a 的取值范畴是2 212设椭圆 C : x2 y2 1 a b 0 和圆 O x 2y 2b ,如椭圆 C 上存在点 P ,使得过点 P 引 2a b圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,满意 APB 60,就椭圆 C 的离心率的取值范畴是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13

4、设数列 an 的通项公式为an3n1,就满意不等式n3ina的正整数 n 的集合为21a114设函数f x 3x3x2x ,就满意x2flog1x 0的x的取值范畴是2二、解答题： 本大题共 6 小题,共 90 分. 请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15（本小题满分 14 分）在 ABC 中,A B C 的对边分别为 a b c ,且 b tan A 2 c b tan B （1）求角 A 的大小；uuur uuur（2）设 AD BC , D 为垂足,如 b 2,c 3,求 AD AC 的值16（本小题满分 14 分）如图,四棱锥 P ABCD 中,底

5、面 ABCD 为矩形, PD（1）求证：平面 PCD 平面 ABCD ；（2）如 PC 平面 BDG ,求证： G 为 PA 的中点 17（本小题满分 14 分）BC , G 为 PA 上一点 P GCDBA名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,某城市有一条大路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东偏北 角方向的 OB 位于该市的某高校 M 与市中心 O 的距离 OM 3 13 km,且 AOM现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A ,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且经过高校 M

6、 其中3tan 2,cos,AO 15 km13 B（1）求高校 M 与站 A 的距离 AM ；L（2）求铁路 AB 段的长 AB L18（本小题满分16 分）b0的离心率为L3MyxO2与以原点为圆心、 椭圆 CA设椭圆C:x2y21 ae,直线a2b22O 相切的短半轴长为半径的圆（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 x 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M N ,以线段 MN 为直径作圆 D 如圆 D 与 y 轴2相交于不同的两点 A B ,求 ABD 的面积；（3）如图,A 、A 、B 、B 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 B P 交x 轴于点 F ,直

7、线 A B 交 A P 于点 E 设 A P 的斜率为 k ,EF 的斜率为 m ,求证：2m k为定值EyB 2PA 1B 1OA 2Fx第 18 题图19（本小题满分16 分）g x f x ax2bx ,其中函数yg x 的图象在点1, 1处的切已知函数f x lnx ,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线平行于 x 轴A x 1 ,y 1,B x 2,y2x 1x2,求证：（1）确定 a 与 b 的关系；（2）如a0,试争论函 数g x 的单调性；（3）设斜率为 k 的直线与函数yf x 的图象交于两点1k

8、1x2x 120（本小题满分16 分）设数列a n的前 n 项和为S ,满意a nS nAn2BnCA0,nN*（1）当C1时,b n是否为等比数列；a nn ,如a 13,a 29求实数A B 的值, 并判定数列设b n24如数列an是等差数列,求BA1的值；1in1111,0时,如数列a n是等差数列,a 11,且n* N ,n3（2）当C1a2 i2 a i求实数的取值范畴第二卷（附加题,共40 分）21 选做题 此题包括 A、B、C、D四小题,每道题 10 分；请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答C B名师归纳总结 第 4 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 -

9、 - - - - - - - - A （选修：几何证明选讲）如图,设 AB、 CD 是圆 O 的两条弦,直线 AB是线段CD的垂直平分线已知 AB 6, CD 2 5,求线段 AC 的长度B（选修：矩阵与变换）如点A 2,1在矩阵M1a对应变换的作用下得到点B 4,5,求矩阵 M 的逆矩阵b1C（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中,设圆 C 经过点P（3, ）,圆心是直线6sin33与极轴的交点, 求圆 C 的2极坐标方程D（选修：不等式选讲）名师归纳总结 设a b c 均为正数,abc1求证：1 a11abc第 5 页,共 14 页bc- - - - - - -精选学习资料 - - - -

10、 - - - - - 【必做题】第22 题、第 23 题,每题10 分,共计 20 分.22（本小题满分10 分）2*1,a n13n3a nn4 n6 ,nN*b n2b 2 n411已知数列an满意a 1n（1）求证：数列a nn是等比数列；（2）设b n3n12,nN,求证：当n2,* N 时,b n1a n52 n23（本小题满分10 分）如图,已知点 F 0, p ,直线 luuuurl 的垂线,垂足为 N ,且 NM:y uuur NFp 其中 为常数且uuur uuurFM FNp0, M 为平面内的动点,过M 作（ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）设 Q 是 l 上

11、的任意一点,过 Q 作轨迹 C 的切线,切点为A 、 B 求证： A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列；yM如Q 4,p ,AB20,求 p 的值F名师归纳总结 lONx第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年高考模拟试卷1 参考答案南通市数学学科基地命题第一卷（必做题,共 160 分）一、填空题1. 6 ； 2. 1, ； 3. 70 ； 4. 1； 5. 20； 6. 2 a ； 7. 5 ； 8. 3 15；12 59. 5；10. , ；11. ,6ln3 1；【 解 析 】 当 x 1,1 时,1 1, 3

12、,由条件得,16 6 2 e 3 xf x 2 12ln 12ln x,函数 g x f x ax a 0 恰有一个零点 方程 f x ax a 0x x有唯独解,在直角坐标系内分别作出 y f x 与 y ax a 0 的图象,当直线 y ax 经过点 1,2ln 3 时,a 6ln3 6ln3 ,当直线 y ax 和曲线 f x ln x 相切时,切点为 ,1,此时 a 1,3 e由图象可知,当 1 a 6ln3 时,函数 y f x 与 y ax a 0 的图象由唯独的交点e12. 3,1；【解析】在四边形 OAPB中,APB 60,OAP OBP 90, OA OB b,2OP 2 b

13、 ,由题意得,2b a ,即 2 a 2c 2a ,化解得 c 3,又在椭圆中 e 1,a 23 e 1 13. 1 ,2,3 ；【解析】由于数列 a n 的通项公式为 a n 3 n 1,所以数列2 2 a n 为等比数列,首项为 a 1 3,公比 q 1 3；数列 1 也是等比数列,首项为 2,公比2 2 a n 32 n 3 nq 2 2 不 等 式 n 3 na i 等 价 于 3 n 1 na i, 即 3 1 3 1 2 , 解 之 得3 i 1 a i i 1 i 1 a i i 1 1 2 1 33 22 2 n1,n N,n 只 能 取 1 , 2 ,14. 0,1 2, ；

14、【 解 析 】9 3x x x xf 3 ln3 3 ln3 2 3 3 ln3 2 2ln3 2 0,函数 f x 在 , 上单x 2 0 x 2 0调 递 增 , 且 f 0 0, x 2 f log 1 x 0 log 1 x 0 或 log 1 x 0, 解 得 x 2 或2 2 20 x 1二、解答题15. （1）btanA2cb tanB ,由正弦定理,得sinBsinA2sinCsinBsinB, cosAcosB名师归纳总结 又在ABC 中, sinB0,sinAcosB2sinCcosAcosAsinB ,第 7 页,共 14 页,cosA1,即 sinAB2sinCcosA

15、, 又sinABsinC02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又0A,A3；（ 2） 由余弦定理,a 2b 2c 22 bc cos A ,b 2,c 3,A,3a 7,1BC AD 1AB AC sin A ,即 7 AD 3 2 3,2 2 2AD 3 217,AD AC AD AC cos C AD AD 2 277 . 16.（1）底面 ABCD 为矩形 ,BC CD ,又 PD BC ,CD PD 平面 PCD, PD CD D ,BC 平面 PCD,又 BC 平面 ABCD,平面 ABCD 平面 PCD ；（2）连接 AC ,交 BD 于

16、O ,连接 GO ,PC / / 平面 BDG ,平面 PCA 平面 BDG GO ,PC / / GO ,PG CO,底面 ABCD 为矩形,O 是 AC 的中点,即 CO OA,GA OAPG GA,G 为 PA 的中点 . 17. （1）在 AOM 中,AO 15,AOM 且 cos 3,OM 3 13,132 2 2由余弦定理得,AM OA OM 2 OA OM cos AOM2 2 33 13 15 2 3 13 151313 9 15 15 2 3 15 372.（2）AM62,即高校 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ；cos3,且为锐角,sin2,1313在AOM 中

17、,由正弦定理得,AMsinOM, sinMAO即6 2 23 13,sinMAO2,MAO4,sinMAO213ABO4,tan2 ,sin2,cos1,2 5,55sinABOsin41,又AOB,sinAOBsin10在AOB 中,AO15, 由正弦定理得,sinABsinAO,AOBABO第 8 页,共 14 页即AB15,AB302,即铁路 AB 段的长 AB 为 30 2km 2151018. （1）圆 O 的方程为x2y22 b ,直线yx2与圆 O 相切,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2b ,即b1,又e3,1b23,b

18、,第 9 页,共 14 页2a222a2,椭圆 C 的方程为x2y21；4（2）由题意,可得M1,15,N1,15,2424圆 D 的半径r15,AB215111,41642ABD 的面积为S111 111；2228（3）由题意可知A 1 2,0,A 22,0,B 10, 1,B 20,1,A P 的斜率为 k ,直线A P 的方程为yk x2,yk x2由x2y21,得14 k2x2162 k x16k240,4其中xA2,x P8k24 k2,P8k24 k2,14k2,22114 k就直线B P 的方程为y2 k1x1,2 2k1令y0,就x22k1, 即F22k1,0,2 k12 k1

19、直线AB 的方程为x2y20,由x2y20,解得x4 k2,E4 k2 ,1 24 k1,2k1yk x2y4 k2 kk12 k4kEF 的斜率m22k2 k11 4 k22 k1,42 k12 k12 mk22k1k1（定值）4219. （1）g x f x ax2bxlnxax2bx ,g 12 axx由题意得g112 ab0,b2 a1；0,（2）g 12 axb12ax2 a12ax1x1xxxx当a0时,g x1x0,0,x当x1时,g x 0,函数g x 在 1, 单调减；当 0x1时,g x 0,函数g x 在 0,1 单调增；当0a1时,即11,g 2 a x1x1x2a22

20、ax名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数g x 在 1,1上单调减；x0,0,2a函数g x 在 1 2 a,a和 0,1 单调增；0当a1,g xx2 11 2时,即 2函数g x 在 0, 单调增；x1x当a1时即11,g 2 a x12a22ax函数g x 在 1,1单调减区间；2a函数g x 在 1, 和 0, 1 2 a单调增；（3）由题设x 2x 10,1k11lnx2lnx 11x 2x 1x 2x2x 1x 1x2x 2x 1lnx2lnx 1x2x 1x 111lnx 2x21x 2x 1x 1x 1令h x lnxx

21、1x1,就h x 111xxx1,x 21, xx1时,h x 0,函数g x 在 1, 是减函数,而h 10,x1时,h x h 10x 2x 10,x 21,hx 2lnx2x 210,即lnx 2x 1x 1x 1x 1x 1x 1令H x lnx11 x1,就H 11x21x1,xxx2xx1时,H 0,H x 在 1, 是增函数,x1时,H x H10,Hx 2lnx 2110,x 1x 1x2即11ln x 2x 1x 1由得1k1x 2x2x 1x 120.（1）C1,anS nAn2Bn1,B2,5,第 10 页,共 14 页令n1,可得2a 1AB1,即A令n2,可得a 12

22、 a24A2B1,即 4A2 B名师归纳总结 A1,B3,anS n1n23n1,2222当n21S n11n2 13n11,时,a n22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -,得2a na n1n1n2,1,2,第 11 页,共 14 页ann1an1 n1,即b n1b n1,22又b 1a 1110,b n0,2b n1,数列b n是等比数列；b n12数列a n是等差数列,设a na 1n1 , d S nna 1n n1d ,2a nS nAn2Bn1,dn2a 1dna 1dAn2Bn1,nN*22Ad 2Ba 1d,2a 1

23、d1BA1a 1d1a 11dddd3；222dd222（2）当C0时,anS nAn2Bn数列an是等差数列,a 11,a n1n1 , d S nnn n1d ,2dn21dn1dAn2Bn,22d1,ann ,11a1111n112n n1111n2 a n2n2n n1n1nin1111n1n11,1a2 i2 a in31in1111n31n1n11,12 a i2 a i即n1n2,fn* N ,xn21n21,12令f x x2, 122,n1xxx2当x2时,f 0,f x 在 2, 上是增函数,而 n1n21 min3,3 - - - - - - -精选学习资料 - - -

24、- - - - - - 第二卷（附加题,共 40分）21. A 连接 BC,AB CD 相交于点 E 由于 AB是线段 CD的垂直平分线,所以 AB 是圆的直径,ACB90设 AE x ,就 EB 6 x ,由射影定理得CE 2 AE EB,又 CE 5,即有 x 6 x 5,解得 x 1（舍）或 x 5所以, AC2AEAB 5 630,AC 302 4 2 a 4 2 a 4, a 2, 1 2BM,即,解得,M,1 5 2 b 1 5 2 b 1 5. b 3. 3 11 2 1 2解法一：det M 1 27,M 1 7 7 7 7 . 3 1 3 1 3 17 7 7 7解法二 :设

25、 M 1 c d,由 M 1M 1 0,得 c 3 d 2 c d 1 0e f 0 1 e 3 f 2 e f 0 1c 1 ,7ce 33 df 1,0,解得 d7 2,M 1 17 272 c d 0,e 3 , 3 12 e f 1. 7 7 7f 1 .72C由于圆心为直线 sin sin 与极轴的交点,所以令 0,得 1 ,即圆心是 1,0 ,3 3又圆 C 经过点 P（3, ）,圆的半径 r 3 1 2 3 cos 1,圆过原点,6 6圆 C 的极坐标方程是 2cos（说明：化为一般方程去完成给相应的分数）名师归纳总结 D.由a b c 为正数,依据平均值不等式,得112,1 b

26、112 bc,1 a112ababccac将此三式相加,得211121 ac22 ac,即1 a11abcab1bcbcababc由abc1,就有abc1所以,1 a1abcabcabcbcbcabbcac22.（1）令c nann2,第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就c n1a n1123 n3an4n623 nn3an23ann2k3 c n,3,1nnn1n1c 1a 1210,cn0,cn13,c n数列c n,即ann2是等比数列；（2）由（ 1）得ann23n1,ann3n12,bn3n121,a nn411下面

27、用数学归纳法证明当n2,n* N 时,b n1b n2b 2n52 n当n2时,不等式的左边b 3b 4117,右边413 5,而7 123412555n2时,不等式成立；211；b k假设当nk k2时,不等式成立,即b k1b k2b 2k45k当nk1时,b k1 1b k12b 2k1b k1b k2b 2k b 2k1b 2k24111152 k12 k122k141152 k2k14152k14152k11当nk1时,不等式也成立由可得,当n2,n* N 时,b n1b n2b 2 n411MNMF0,第 13 页,共 14 页52 n23. （1）设M x y ,就N x ,p

28、,NM0,yp ,NFx ,2p ,FM , x yp ,FN , 2 p ,NMNFFMFN ,2 p ypx22 p yp ,x24py ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为x24py ；另解：设M , x y ,就N x ,p ,NMNFFMFN ,NF以MN MF 为邻边的平行四边形是菱形,MFMN ,x2yp2 yp,x24py ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为x24py ；（2）设Q x0,p ,A x 1,2 x 1,B x2,x 22,就4p4p切线 QA 的方程y2 x 1x 1xx 1 ,4p2p名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - p2 x 1x 1x 0x 1,x 122x x 14p20, . ,第 14 页,共 14 页4p2p同理x22x x24p20, 2方法 1:得x 1x 2x 1x 22x 00,x 1x 2,x 1x 22x 00,x 1x22x ,即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列. 方法 2：由得x 1 ,x 是方程x22x x4p20的两根,x 1x 22x ,即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列由得x x 是方程x22x x42 p0的两根,x 1x22x0x 1x 24p2Q4 ,p ,x 1xx248,x 12p2AB20,