2022年泛函分析复习与总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 泛函分析复习与总结2022年 6 月 26日星期四10:20-11:50 第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分 . 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间 , 向量空间等 , 也包括空间的性质 , 例如完备性 , 紧性 , 线性性质 , 空间中集合的各种性质等 等；以下几点是对第一部分内容的归纳和总结；一空间（ 1）距离空间（集合 +距离）称为是距离空间,假如对于！ 验证距离的三个条件：X, , 0当且仅当 xy【正x y zXi 【非负性】 , x y0,并且定性】；ii 【对称性】 , x yy x ；

2、, y z ；iii 【三角不等式】 , x y , x y距离空间的典型代表：全部的内积空间；s 空间、 S 空间、全部的赋范线性空间、（ 2）赋范线性空间（线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件： X ,| | 称为是赋范线性空间,假如 X是数域 K . （或 K）上的线性空间, 对于 a K 和 ,x y X ,成立i 【非负性】 |x| 0,并且 |x| 0当且仅当x0【正定性】；|y|；ii 【齐次性】 |ax| |a| |x|；iii 【三角不等式】|xy| |x|1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - -

3、赋范线性空间的典型代表：.n空间（n1,2,3, L ）、n 空间（n 1,2,3, L ）、pl 空间（ 1 p）、L p a b , 空间（1 p）、C a b 空间、C k , a b 空间、 Banach 空间、全部的内积空间（范数是由内积导出的范数）；（3）内积空间（线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件： X , , 称为是内积空间,假如 X是数域 K . （或 K）上的线性空间,对于 a K 和x y z X ,成立i 【非负性】 , 0,并且 , 0 当且仅当 x 0【正定性】；ii 【第一变元可加性】 x y z , , , x z ；iii 【第一变元齐次性】 ax z

4、, a x z ；iv 【共轭对称性】 , , z x ；n n内积空间的典型代表：. 空间（n 1,2,3, L ）、 空间（n 1,2,3, L ）、2l 空间、L 2 , 空间；注. 1 从概念的外延来懂得 , 有如下的关系 : 内积空间 赋范线性空间 距离空间 . 2 内积可导出范数 , 范数可导出距离 , 反之未必 . 例如在赋范线性空间中 , 假如范数满意平行四边形公式 积. , 就由范数可以定义内3 在距离空间中,xkx 0xk,x0k0,当 k0；赋范线性空间中,kx| |x0| kxx 0|0,当 k；内 积 空 间 中 ,kx| |x 0xkx 0,xx 0, 当k. ,

5、范数和内积 . 重点 . ！ 要求会验证距离2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二完备性,稠密性,可分性（ 1）！完备性距离的完备性是指“ 空间中的任何基本列都是收敛的”具有完备性的距离空间称为 完备距离空间；完备的赋范线性空 间称为 Banach 空间 ；完备的内积性空间称为 Hilbert 空间 . 重点 . 验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能；注.距离空间的 * 完备化不是本课程的重点. （ 2）稠密性如 AB , 就称 A 在 B 中稠密 . 当 AB 时 , 也称 A 是 B 的稠密子集 . 关于

6、A 在 B 中稠密的等价命题: A , 使得nxy ; A在 B 中稠密yB , 存在xnB. 0 , U x AS x , （ 3）！可分性假如 B 有可数的稠密子集A , 就称 B 具有 可分性 . 类似地可以定义 可分的距离空间 , 可分的赋范线性空间 , 可分的内积空间 等 . 不具有可分性的空间 B 称为 不行分空间 . 可分空间的典型代表：. n空间（n 1,2,3, L ）、 空间 n（n 1,2,3, L ）、pl 空间（ 1 p）、L p , 空间（1 p）、C a b 空间、C k , a b 空间 . 不行分空间的典型代表：l 空间、L , 空间 . 重点 . 要求会找出

7、详细的可分空间中可数稠子集 . 把握不行分空间的证明方法 . ！不行分空间的证明方法 : 假如空间 X 中含有一个不行数子集 A , 且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数 , 就 X 是不行分的 . （例如 l 中这样的集合是重量为零和 1 的无穷维向量全3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 体；La b , 中这样的集合是 , a t 上的集特点函数全体）三 空间中的集合（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）疏朗集、稠密集；（3）列紧集 ！、完全有界集 ！、紧集 . 详细空间中列紧集的判别条件：a.

8、n和n 或有限维赋范线性空间中：Weierstrass定理（有界集是列紧集） ; b. ！C a b 中： Arzela-Ascoli 定理（一样有界且等度连续）；（4）内积空间中的正交集,！正交基 . Parseval 恒等式、 Bessel 不等式；（5）有限维赋范线性空间的性质：1. 有界集即列紧集；2. 有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的；四 详细的空间 已经学过的详细空间有：.n空间（n1,2,3, L ） ; ）; n 空间（n1,2,3, L ）; pl空间（ 1p）; Lpa b , 空间（ 1pC a b 空间 ; Ck , a b 空间；注. 1. 要求把握每个详细

9、空间中收敛的含义；空间中点列按范数收敛意味着每个重量收敛、味着函数列的一样收敛等等 ；4 例如有限维赋范线性 C a b 点列的收敛意名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. ！要求把握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中 Weierstrass 定理和C a b 空间中的 Arzela-Ascoli 定理）；（3. ！要求把握详细空间中距离或范数完备性的证明方法；p L , 的完备性证明不作要求）4. 会用 Holder 不等式、 Minkowski 不等式、 Cauchy 不等式、Schwartz 不等式和

10、 Bessel 不等式等；5. 详细空间的共轭空间,仅限于要求把握：！pl 空间（ 1 p）的共轭空间（泛函的表示形式,等距同构,证明不作要求） ；Lp , 空间（ 1p）的共轭空间（泛函的表示形式,等距同构,证明不作要求） ；其次部分 映射 算子 泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或详细的映射,算子,泛函等；也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理, 例如共鸣定理,闭图像定理,开映射定理以及泛函延拓定理等等；以下几点是对其次部分内容的归 纳和总结；一 . 泛函分析中的映射 在泛函分析中 , 映射当X Y 是空间时称为算子T:XYK. 或; 当

11、X 是空间 , Y 是数域 Y时称为泛函 ; 当 X 是线性空间时 , 主要考虑线性算子: X ; 0,1 . T axbyaTxbTy , a bK , ,x y泛函分析中的非线性映射: 1. * 压 缩 映 射 : Tx Ty , x y, 其 中 Banach 不动点定理 . 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. * 紧集上的连续泛函 函数的性质 . 二 . 有界线性算子对比数学分析中有限闭区间上的连续（1）L X Y 是由 X 映射到 Y 的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间（特殊是当 Y 是 Ban

12、ach空间时 L X Y 也是 Banach 空间）；（2）有界线性算子列 T k k 0 L X Y 的收敛：| | L X Y 算子列的 按算子范数收敛：kT T ；0算子列的 强收敛 ： 对于每一个 x X ,T k | | Y T 0 x ；（参见 Banach-Steinhaus 定理, P59）（3）重要定理开映射定理、逆算子定理；！共鸣定理 、 ！一样有界定理 、 ！Banach-Steinhaus 定理 ；闭图像定理、！范数等价性定理（P63 引理 1）；注. 重点在于定理的懂得和应用,定理的证明通常不作要求；（4）共轭算子 T *共轭算子的定义（ T * f x : f Tx

13、 ）以及简洁性质；重要实例： * 以 K s t , 为核的积分算子的共轭算子、！左位移（右位移）算子的共轭算子；（5）详细的线性算子！ 以K s t , 为核的积分算子；！ 由变上限积分所定义的算子；微分算子；！ 由 l p到 pl 的左位移（右位移）算子 . 注. 线性算子的有界性等价于连续性 . 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 重点 . 要求把握：验证算子有意义、验证线性性质、验证线性算子是有界的、！会求较为简洁的算子或泛函的算子范数；三. 有界线性泛函（1）X * 的概念和简洁性质 X * L X K

14、. （2）X * 的概念和简洁性质 : 在等距同构（自然投射）的意义下X 可以视为 X * 的子空间 （X X *）,当在等距同构意义下 X与 X * 相等时,称为 自反空间 ；（3）X * 的实例：！pl 空间（ 1 p）的共轭空间（泛函的表示形式,等距同构,证明不作要求）；pL , 空间（ 1 p）的共轭空间（泛函的表示形式,等距同构,证明不作要求）；（3）泛函列的收敛：设 f k k 0 X *,| | X *kf 按算子范数收敛于 0f （称为强收敛） ：kf f ；kf 弱收敛于 0f ： 对于每一个 F X *：F f k F f 0 ；kf 弱* 收敛于 0f： 对于每一个 x

15、X ：kf f 0 x ；注. 1. 当 X 是自反空间时,弱收敛与弱 *收敛等价；2. 对于泛函列的弱收敛,也有相应的（4）点列的收敛：Banach-Steinhaus 定理；在 赋范线性空间X 中,设xkk0X ,x 0；kx 按范数收敛于x （称为强收敛） ：kx| | Xx ；kx 弱收敛于0x ： 对于每一个fX*：f xkfkf 弱* 收敛于0f： 对于每一个 xX ：kf f0 x ；在 Hilbert 空间 H 中,设x kk0H ,x 0,ykx 按范数收敛于x （也称为强收敛） ：kx| | Hx ；kx 弱收敛于0x 等价于对于每一个 yH ,xk, 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （请参考 Frechet-Riesz 表示定理（ P107 定理 3）未学,不要求） ；（4） ！泛函延拓定理及其推论注. 泛函延拓定理及其推论是重点内容,但表达在定理的应用上；（5）* 弱列紧性Alaoglu 定理 （P74）、Eberlein 定理（ P74 定理 9：自反空间的单位球是弱列紧的）请留意：“ ！”表示是本课程所考察的重点内容,须引起特殊留意！“ *”表示 不是 本课程的重点内容或必考内容 .8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页