2022年正弦函数余弦函数的性质.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载正弦函数余弦函数的性质 教学目标1把握 ysin xxR,ycos xxR的周期性、奇偶性、单调性和最值 重点 2会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简洁的三角函数问 题难点 3明白周期函数、周期、最小正周期的含义易混点 基础 初探 教材整理 1 函数的周期性阅读教材 P34P35“ 例 2” 以上部分,完成以下问题1函数的周期性1对于函数 fx,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 fxTfx,那么函数 fx就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期2假如在周期函数 fx的全部周期中存在一个

2、最小的正数,那么这个最小正数就叫做 fx的最小正周期2两种特别的周期函数1正弦函数是周期函数, 2k kZ 且 k 0都是它的周期,最小正周期是 2 2余弦函数是周期函数, 2k kZ 且 k 0都是它的周期,最小正周期是 2 函数 y2cos x5 的最小正周期是 _名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解： 函数 y2cos x5 的最小正周期为 T2.【答案】2教材整理 2 正、余弦函数的奇偶性阅读教材 P37“ 摸索” 以下至 P37第 14 行以上内容,完成以下问题1对于 ysin x,xR

3、 恒有 sinxsin x,所以正弦函数 ysin x 是奇函数,正弦曲线关于原点对称2对于 ycos x,xR 恒有 cosxcos x,所以余弦函数 ycos x 是偶函数,余弦曲线关于y 轴对称的奇偶性判定函数 fxsin 2x3 2解： 由于 fxsin 2x3 2cos 2x.且 fxcos2xcos 2xfx,所以 fx为偶函数教材整理 3 正、余弦函数的图象和性质阅读教材 P37P38“ 例 3” 以上内容,完成以下问题函数名称图象与性质ysin x ycos x性质分类名师归纳总结 相同处定义域RR第 2 页,共 22 页值域1,11,1 周期性最小正周期为 2最小正周期为 2

4、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载图象不同处奇偶性奇函数偶函数单调性在在2k ,2k2k 2,2k 2 kZ上是增函kZ上是增函数；数；在 2k ,2k在 kZ上减函2k 2,2k 3 2数对称轴kZ上是减函数xk kZ xk 2 kZ对称k ,0,kZk 2,0中心kZ 最值x2k 2 kZx2k 时, ymax时,ymax1；x2k1；x2k 时, 2 kZ时,yminymin 1 1 判定 正确的打“ ” ,错误的打“ ” 1 如 sin 2 3 6 sin 6,就 2 3是函数期 ysin x 的一个周名师归纳总结 - - -

5、 - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 2函数 ysin x 在第一象限内是增函数3余弦函数 ycos x 是偶函数, 图象关于 y 轴对称,对称轴有无数多条 4余弦函数 ycos x 的图象是轴对称图形,也是中心对称图形 解： 1 .由于对任意 x,sin 2 3x 与 sin x 并不肯定相等2 .ysin x 的单调性针对的是某一区间,不能用象限角表示3.由余弦函数图象可知正确4.由余弦函数图象可知正确【答案】1234小组合作型 三角函数的周期问题及简洁应用1以下函数是以 为最小正周期的函数是 Aysin x Bysin

6、 x2 Cycos 2x2 Dycos 3x1 2函数 ysin 2x 4的最小正周期为 _3求函数 y|sin x|的最小正周期名师归纳总结 12利用周期定义或公式2 T.3利用图象求解第 4 页,共 22 页解：1ysin x 及 ysin x2 的最小正周期为2,ycos 2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载的最小正周期为 ,ycos 3x1 的最小正周期为2法一： ysin 2x 4sin 2x 422 3,所以选 Csin 2（x）,所以最小正周期为 .T24法二：由于函数 ysin 2x 4中 2,所以其最小正周期|

7、|2 2.【答案】1C23作函数 y|sin x|的简图如下：由图象可知 y|sin x|的最小正周期为 . 求三角函数周期的方法：1定义法：即利用周期函数的定义求解2公式法：对形如yAsin x或 yAcos xA, ,是常数, A 0, 0的函数, T2 .| |3观看法：即通过观看函数图象求其周期再练一题 1求以下三角函数的周期：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1y3sin x,xR；2ycos 2x,xR；3ysin 1 3x 4,xR. 解：1由于 3sinx23sin x,由周期函数

8、的定义知, y3sin x 的周期为 2.2由于 cos 2xcos2x2cos 2x,由周期函数的定义知,ycos 2x 的周期为 .3由于 sin 1 3（x6） 4sin 1 3x2 4sin 1 3x 4,由周期函数的定义知, ysin 1 3x 4的周期为 6. 三角函数奇偶性的判定 1函数 ysin 2 015 2 2 016x 是 A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数2已知 aR,函数 fxsin x|a|xR为奇函数,就a 等于 A0 B1 C1 D 1 3判定以下函数的奇偶性：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 -

9、 - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载fx|sin x|cos x. fx1cos xcos x1. 1可先化简解析式再判定奇偶性2可由 fxfx恒成立来求 a.3中留意先求定义域并化简解析式后由定义法判定解：1由于 ysin 2 015 2 2 016xsin 22 016x 1 007 sin 22 016x cos 2 016x,所以为偶函数2函数定义域为 R,由于 fx为奇函数,所以 fxsinx|a| fxsin x|a|,所以 |a|0,从而 a0,应选 A【答案】1B2A 3函数的定义域为 R,又 fx|sinx|cosx|sin x|cos xfx,所以此函数 是

10、偶函数由 1cos x0 且 cos x10,得 cos x1,从而 x2k,kZ,此时 fx0,故该函数既是奇函数又是偶函数1判定函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看 fx与 fx的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2对于三角函数奇偶性的判定,有时可依据诱导公式先将函数式化简后再判定再练一题 21函数 fx2sin 2x 的奇偶性为 A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数2判定函数 fxsin 3 4x3的奇偶性2解： 1fx的定义域是 R

11、.且 fx 2sin 2x2sin 2x fx,函数为奇函数【答案】A 2fxsin 3 4x3 2cos 3 4x,fx cos 4x cos 3 4x,函数 fxsin 3 4x3 2为偶函数求正、余弦函数的单调区间名师归纳总结 1以下函数,在 2, 上是增函数的是 第 8 页,共 22 页Aysin xBycos xCysin 2xDycos 2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2函数 ycos x 在区间 ,a上为增函数,就 a 的取值范畴是_3求函数 ysin 6x 的单调递减区间1可借助于正、余弦函数的单调区间来判定；2

12、可利用 ,a为 ycos x 对应增区间子集求 a 范畴； 3可先化为 y sin x6后,利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解解：1由于 ysin x 与 ycos x 在 2, 上都是减函数,所以排除 A,B由于 2x,所以 2x2.由于 ysin 2x 在 2x,2内不具有单调性,所以排除 C2由于 ycos x 在,0上是增函数,在 0,上是减函数,所以只有 0,b 为常数 的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得2详细求解时留意两点： 要把 x 看作一个整体, 如 0, 0 时,将“ x” 代入正弦 或余弦 函数的单调区间,可以解得与之单调性一

13、样的单调区间；当A0 时同样方法可以求得与正弦余弦函数单调性相反的单调区间再练一题 3求函数 y2cos 3x 4的单调递减区间 解： 令 2k3x42kkZ, 5 解得 122 3kx122 3kkZ, 所 以 函 数 y 2cos 3x4 的 单 调 递 减 区 间 为 2 5 2 123k,123k kZ探究共研型 正、余弦函数的值域与最值问题名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 探究 1精品资料欢迎下载函数 ysin x 4在 x0, 上最小值能否为 1. 不能由于 x0,所以 x4 4,54,由正弦函数图象

14、2可知函数的最小值为2 . 探究 2 函数 yAsin xb,xR 的最大值肯定是 Ab 吗？不是由于 A0 时最大值为 Ab,如 A0 时最大值应为 Ab. 求以下函数的值域：1y32sin 2x；2ycos x 6,x 0, 2；3ycos 2 x4cos x5. 1利用 1sin 2x1 求解2可换元令 zx 6 6,2 3 ,转化为求 ycos z 值域来求解；3可换元,令 cos xt,转化为一元二次函数来解决解：11sin 2x1,22sin 2x2,132sin 2x5,原函数的值域是 1,5名师归纳总结 2由 ycos x 6,x 0, 2可得 x 6 6,2 3,第 11 页

15、,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载由于函数 ycos x 在区间 6,为 1 2, 3 2 .2 3上单调递减,所以函数的值域3ycos 2 x4cos x5,令 tcos x,就 1t1.yt 24t5t2 21,当 t1,函数取得最大值 10；t1 时,函数取得最小值 再练一题 2,所以函数的值域为 2,1041函数 y2cos 2x6,x 6, 4的值域为 _2 函 数 fx 2sin 2 x 2sin x 1 2, x 6,5 的 值 域 为_ 解： 1x 6,4, 2x6 6,2 3 ,cos 2x6 1 2,

16、1 函数的值域为 1,22令 tsin x,名师归纳总结 x 6,5 16,2sin x1,第 12 页,共 22 页即1 2t1.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ft2t精品资料欢迎下载22t1 22 t121,t1 2,1 ,且该函数在1 2,1 上单调递增ft的最小值为 f 21,最大值为 f17 2.7即函数 fx的值域为 1,2 .【答案】11,2 2 1,7 2构建 体系 1判定 正确的打“ ” ,错误的打“ ” 1如 sin60 60 sin 60 ,就 60 为正弦函数 ysin x 的一个周期 2如 T 是函数 fx的周期,就 kT

17、,kN *也是函数 fx的周期 3函数 ysin x,x , 是奇函数 解：1 .举反例, sin40 60 sin 40 ,所以60 不是正弦函数 ysin x 的一个周期2.依据周期函数的定义知,该说法正确名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3 .由于定义域不关于原点对称【答案】1232函数 fx3sin x 2 4,xR 的最小正周期为 A 2 BC2 D4解： 由于 3sin 1 2（x4）43sin 1 2x423sin 1 2x4,即 fx4fx,所以函数 fx的最小正周期为 4.【答

18、案】D 3函数 fxsin x 6的一个递减区间是 A 2, 2B ,0 C 2 3 ,2 3D 2,2 3解： 令 x 6 22k,3 22k ,kZ,得 x 32k,4 32k ,kZ,k0时,区间 3,4 3是函数 fx的一个单调递减区间, 而 2,2 3名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 3,4 3 .应选 D精品资料欢迎下载【答案】D 4比较以下各组数的大小：1cos 150 与 cos 170 ；2sin 5与 sin 7 . 解：1由于 90150170cos 170.7 3 32sin 5sin

19、 25sin 52 2sin 5sin 5 . 2 由于 0 5 5 2,函数 ysin x 在区间 0,2上是增函数,所以 2 7sin 5sin 5,即 sin 5sin 5 . 学业分层测评建议用时： 45 分钟 学业达标 一、挑选题名师归纳总结 1函数 ysin x,x 6,2,就 y 的范畴是 第 15 页,共 22 页A1,1B1 2,1C1 2,3 2D3 2,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载x 6,2 3,所以由图知解： ysin x 的图象如下列图,由于y1 2,1 .【答案】B 2函数 ycos 1 2x 2的奇

20、偶性是 A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数也是偶函数解： 由于 ycos 1 2x【答案】A 2sin 1 2x,所以为奇函数3ysin x|sin x|的值域是 A1,0 B0,1 C1,1 D2,0 0,0sin x1,解：y因此函数的值域为 2,0应选 D2sin x,1sin x0,【答案】D 4以下关系式中正确选项 Asin 11 cos 10 sin 168 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载Bsin 168 sin 11 cos 10Csin 11 sin 168 cos

21、10Dsin 168 cos 10 sin 11解：由诱导公式,得cos 10 sin 80 ,sin 168 sin180 12sin 12,由正弦函数 ysin x 在0 ,90上是单调递增的,所以 sin 11sin 12sin 80 ,即 sin 11sin 1680 时,fxsin 2xcos x就 x0 时,fx_解： 当 x0,fxsin2xcosx,fxsin 2xcos x.fx为奇函数,fxfx,fxsin 2xcos xsin 2xcos x.【答案】sin 2xcos x 三、解答题8求以下函数的值域1y2sin 2x 3,x 6, 6；2fx12sin 2x2cos

22、x. 2解： 16x6,02x33, 0sin 2x31,02sin 2x32,原函数的值域为 0,2名师归纳总结 2fx12sin 2x2cos x2cos 2x2cos x12 cos x1 22第 18 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3 2,当cos x1 2时,fxmin3 2,当 cos x1 时,fxmax3,该函数值域为 3 2,3 . 9已知函数 fx2cos 3x 2 . 1求 fx的最小正周期 T；2求 fx的单调递增区间解： 1由已知 fx2cos 32 x2cos x 2 3,2 就 T4.

23、2当 2k x 2 32kkZ,4 2 即 4k3x4k3 kZ时,函数 fx单调递增,函数 fx的单调递增区间为4k4 3,4k2kZ3才能提升 名师归纳总结 12022 安庆期末 关于函数 fx4sin 2x 3第 19 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载xR,有以下命题：函数 yfx的表达式可改写为y4cos 2x 6；函数 yfx是以 2 为最小正周期的周期函数；函数 yfx的图象关于点 6,0 对称；函数 yfx的图象关于直线 x 6对称其中正确选项 A BC D解： 函数 fx的最小正周期为 ,故 错；fx

24、4sin 2x 34cos 2 2x 34cos 62x 4cos 2x 6,故正确；由 f 64sin 2630,知函数 yfx的图象关于点 6,0 对称,不关于直线 x6对称,故正确,错误名师归纳总结 【答案】B 如函数fx sin x02在区间第 20 页,共 22 页2 2022 常州高一检测- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0,精品资料欢迎下载 3上单调递增,在区间 3, 2上单调递减,就 等于_解：依据题意知 fx在 xsin 31, 3处取得最大值 1, 32k2,kZ,即 6k3 2,kZ.又 00,求 fx的单调递增区间；2当 x 0, 4时,fx的值域为 1,3,求 a,b 的值解： 1由于 a0,名师归纳总结 令 2k 22x 32k 2,kZ, 12,kZ.第 21 页,共 22 页5 得 k12xk12,kZ,所以 fx的单调递增区间是k5 12,k2当 x 0, 4时, 32x 35 6,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就1 2sin 2x31,精品资料欢迎下载由 fx的值域为 1,3知：a0,ab3,.a4,1 2ab1b1；a0,名师归纳总结 或ab1,.a4,第 22 页,共 22 页b5.1 2ab3综上得：a4,b1或a4,b5.- - - - - - -