2022年电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案 .pdf

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1、1 / 19 电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案经济数学基础形成性考核册（一）一、填空题1._sinlim0 xxxx.答案： 1 2.设0,0, 1)(2xkxxxf，在0 x处连续，则_k.答案 1 3.曲线xy+1 在)1 , 1(的切线方程是 . 答案 :y=1/2X+3/2 4.设函数52) 1(2xxxf，则_)(xf.答案x25.设xxxfsin)(，则_)2(f.答案 :2二、单项选择题1. 当x时，下列变量为无穷小量的是（ D ）A)1ln(x B12xx C21xe Dxxsin2. 下列极限计算正确的是（ B ）A.1lim0 xxx B.1lim0 xxx C.1

2、1sinlim0 xxx D.1sinlimxxx3. 设yxlg2，则dy（B ）A12dxxB1dxxln10Cln10 xxdD1dxx4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则 ( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0 xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微5.若xxf)1(，则)(xf（ B ）. A21x B21x Cx1 Dx1三、解答题1计算极限本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括：利用极限的四则运算法则；利用两个重要极限；利用无穷小量的性质( 有界变量乘以无穷小量还是无穷

3、小量) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页2 / 19 利用连续函数的定义。（1）123lim221xxxx分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算解：原式 =)1)(1()2)(1(lim1xxxxx=12lim1xxx=211121（2）8665lim222xxxxx分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算解：原式 =)4)(2()3)

4、(2(lim2xxxxx=21423243lim2xxx（3）xxx11lim0分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算解：原式 =) 11()11)(11(lim0 xxxxx=) 11(11lim0 xxxx=111lim0 xx=21（4）423532lim22xxxxx分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。解：原式 =32003002423532lim22xxxxx（5）xxx5sin3sinlim0分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等

5、，然后四则运算法则和重要极限进行计算解：原式 =53115355sinlim33sinlim535355sin33sinlim000 xxxxxxxxxxx（6）)2sin(4lim22xxx分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页3 / 19 具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算解：原式 =414)2sin(2lim)2(lim)2sin()2)(2(lim222xxxxxxxxx2设函数0sin0,0,1si

6、n)(xxxxaxbxxxf，问：（ 1）当ba,为何值时，)(xf在0 x处极限存在？（2）当ba,为何值时，)(xf在0 x处连续 . 分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。解：（ 1）因为)(xf在0 x处有极限存在，则有)(lim)(lim00 xfxfxx又bbxxxfxx)1sin(lim)(lim001sinlim)(lim00 xxxfxx即1b所以当 a为实数、1b时，)(xf在0 x处极限存在 . （2）因为)(xf在0 x处连续，则有)0()(lim)(lim00

7、fxfxfxx又af)0(，结合（ 1）可知1ba所以当1ba时，)(xf在0 x处连续 . 3计算下列函数的导数或微分：本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种：利用导数 ( 或微分 )的基本公式利用导数 ( 或微分 )的四则运算法则利用复合函数微分法（1）2222log2xxyx，求y分析：直接利用导数的基本公式计算即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页4 / 19 解：2ln12ln22xxyx（2）dcxbaxy，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。解：2)()

8、()()(dcxdcxbaxdcxbaxy=2)()()(dcxcbaxdcxa =2)(dcxbcad（3）531xy，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。解：2312121)53(23)53()53(21)53(xxxxy（4）xxxye，求y分析：利用导数的基本公式计算即可。解：xxxxeexxexy212121)()(分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。（5）bxyaxsine，求yd解：)(cossin)()(sinsin)(bxbxebxaxebxebxeyaxaxaxax=bxbebxaeaxaxcossindxbxbebxaedxydya

9、xax)cossin(（6）xxyx1e，求yd分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。解：212112312312323)1()()(xxexxexeyxxxdxxxedxyyx)23(d2121（7）2ecosxxy，求yd分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算解：222e22sin)(e)(sin)e()(cos2xxxxxxxxxxy（8）nxxynsinsin，求y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页5 / 19 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算解：)(cos)(sin)

10、(sin)(sin)(sin1nxnxxxnnxxynnnxnxxnncoscos)(sin1（9）)1ln(2xxy，求y分析：利用复合函数的求导法则计算解：)1(1(11)1(11212222xxxxxxxy =222212122111111)2)1(211 (11xxxxxxxxxx（10）xxxyx212321cot，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算解：)2()()()2(61211sinxxyx06121)1(sin2ln265231sinxxxx65231sin6121)1)(cos1(2ln2xxxxx652321sin6121cos2ln2xxxxx4.下列

11、各方程中y是x的隐函数，试求y或yd本题考核的知识点是隐函数求导法则。（1）1322xxyyx，求yd解：方程两边同时对x 求导得：) 1()3()()()(22xxyyx0322yxyyyxxyxyy232dxxyxydxyy232d（2）xeyxxy4)sin(，求y解：方程两边同时对x 求导得：4)()()cos(xyeyxyxxy4)()1 ()cos(yxyeyyxxyxyxyyeyxxeyxy)cos(4)(cos(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页6 / 19 xyxyxeyxyeyxy)cos()c

12、os(45求下列函数的二阶导数：本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数（1）)1ln(2xy，求y解：22212)1 (11xxxxy2222222)1(22)1 ()20(2)1 (2)12(xxxxxxxxy（2）xxy1，求y及) 1(y解：212321212121)()()1(xxxxxxy2325232521234143)21(21)23(21)2121(xxxxxxy=1 经济数学基础形成性考核册（二）（一）填空题1.若cxxxfx22d)(，则22ln2)(xxf. 2.xx d)sin(cxsin. 3.若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2cxF)1 (21

13、24.设函数0d)1ln(dde12xxx5.若ttxPxd11)(02，则211)(xxP. （二）单项选择题1. 下列函数中，（D）是 xsinx2的原函数A21cosx2B2cosx2C-2cosx2D-21cosx2 2. 下列等式成立的是（ C ） A)d(cosdsinxxxB)1d(dlnxxxC)d(22ln1d2xxx Dxxxdd1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页7 / 19 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ）Axxc1)dos(2，Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd

14、124. 下列定积分中积分值为0 的是（ D）A2d211xxB15d161xC0dcosxxD0dsinxx5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）A1d1xx B12d1xx C0dexx D1dsinxx(三)解答题1.计算下列不定积分（1）xxxde3（ 2）xxxd)1(2解：原式cexx)3(13ln1d)e3(x解：原式xxxxd212cxxxx252321232121-52342)dx2x(x（3）xxxd242（ 4）xxd211解：原式cxxxxxx221d2)2)(2(2解：原式)2-d(121121xxcx21ln21（5）xxxd22（6）xxxdsin解：原式)d(2

15、22122xx解：原式xdxsin2cx232)2(31cxcos2（7）xxxd2sin（ 8）xx1)dln(解：原式2cos2xxd解：原式xxxd1xx)1ln(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页8 / 19 cxxxdxxx2sin42cos2)2(2cos42cos2cxxxxdxxxx) 1ln()1ln()111()1ln(2.计算下列定积分（1）xxd121（2）xxxde2121解：原式2111) 1(d)1 (dxxxx解：原式)1d(211xex25212)1(21)1(21212112xx

16、21211eeex（3）xxxdln113e1（4）xxxd2cos20解：原式)1d(lnln12123e1xx解：原式xxdsin22120224ln1231ex212cos41)2(2sin412sin21202020 xxxdxx（5）xxxdlne1（6）xxxd)e1 (40解：原式2e1dln21xx解：原式xexdxd4040) 1(4141412121ln21222112eeexdxxxee444404055144)(4eeexdexexx经济数学基础形成性考核册（三）（一）填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8

17、 页，共 19 页9 / 19 1.设矩阵161223235401A，则A的元素_23a.答案： 3 2.设BA,均为 3 阶矩阵，且3BA，则TAB2=_. 答案：723.设BA,均为n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是.答案：BAAB4. 设BA,均为n阶矩阵，)(BI可逆，则矩阵XBXA的解_X.答案：ABI1)(5.设矩阵300020001A，则_1A.答案：31000210001（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（C ）A若BA,均为零矩阵，则有BAB若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,，则OAB2. 设A为43矩阵，B为2

18、5矩阵，且乘积矩阵TACB有意义，则TC为（ A ）矩阵 A42B24C53 D353. 设BA,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ） A111)(BABA，B111)(BABACBAABDBAAB4. 下列矩阵可逆的是（A）A300320321B321101101C0011D22115. 矩阵444333222A的秩是（B）A0B1C2 D3 三、解答题1计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页10 / 19 （1）01103512=5321（2）001130200000（3）21034521=02计算72

19、3016542132341421231221321解72301654274001277197723016542132341421231221321=1423011121553设矩阵110211321B110111132，A，求AB。解 因为BAAB22122)1()1(01021123211011113232A01101-1-0321110211321B所以002BAAB（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（ 2）写成；（ 3）写成；）4设矩阵01112421A，确定的值，使)(Ar最小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

20、归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11 / 19 解：011124213,21201142121311274041042147230490410421当49时，2)(Ar达到最小值。5求矩阵32114024713458512352A的秩。解：32114024713458512352A3,1321141235234585024714142135123615270125903615270024713,2334332000000000012590024712)(Ar。6求下列矩阵的逆矩阵：（1）111103231A解：AI1001110101030012311133121

21、013400137900012312321013402111100012311242394310021111000123113223194310073201018850313219431007320103110019437323111A（2）A =1121243613精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页12 / 19 解：AI10011201012400136133211001120101240310011121341216211001341200310013,201341201621100310012232101

22、00162110031001132210100172010031001A-1 =2101720317设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA解：AI1053012131213100121122211310250113251A132532211BAX= 1101四、证明题1试证：若21,BB都与A可交换，则21BB，21BB也与A可交换。证：11ABAB，22ABAB21212121BBAABABABABABB即21BB也与A可交换。2121212121BBABABABBABBABB即21BB也与A可交换 . 2试证：对于任意方阵A，TAA，AAAATT,是对称矩阵。证：TTTTTTTA

23、AAAAAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页13 / 19 TAA是对称矩阵。TT)(AA=TTTTAAAATAA是对称矩阵。AAAAAATTTTTTAAT是对称矩阵 . 3设BA,均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：BAAB。证：必要性：AAT，BBT若AB是对称矩阵，即ABABT而BAABABTT因此BAAB充分性：若BAAB，则ABBAABABTTTAB是对称矩阵 . 4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且TBB1，证明ABB1是对称矩阵。证：AATTBB1ABBBABBABABBTTTT

24、TTT111ABB1是对称矩阵 . 证毕 . 经济数学基础形成性考核册（四）（一）填空题1.函数)1ln(14)(xxxf的定义域为_。答案：4,2)2, 1(. 2.函数2)1( 3 xy的驻点是_，极值点是，它是极值点。答案：x=1；（ 1，0）；小。3.设某商品的需求函数为2e10)(ppq，则需求弹性pE.答案：pE=2p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页14 / 19 4.行列式_111111111D.答案： 4. 5.设线性方程组bAX，且010023106111tA，则_t时，方程组有唯一解. 答案

25、：.1t（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ B ）AsinxBe xCx 2 D 3 x 2. 设xxf1)(，则)(xff（ C ）Ax1 B21x Cx D2x3. 下列积分计算正确的是（ A）A110d2eexxxB110d2eexxx C0dsin11xxx- D0)d(3112xxx-4. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（ D ）AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(5. 设线性方程组33212321212axxxaxxaxx，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）A0321aaa B0321aaaC0321aa

26、aD0321aaa三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：(1) yxey解: yxeedxdy , dxedyexydxedyexy , ceexy（2）23eddyxxyx解: dxxedyyx23xxdedyy23dxexeyxx3cexeyxx32. 求解下列一阶线性微分方程：（1）3)1(12xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页15 / 19 解:cdxexeydxxdxx123121cdxexexx1ln231ln21cdxxx112cxx221211（2）xxxyy2sin2解:cdxexx

27、eydxxdxx112sin2cdxexxexxlnln2sin2cdxxxxx12sin2cxxdx22sincxx2cos3.求解下列微分方程的初值问题：(1)yxy2e,0)0(y解：yxeedxdy2dxedyexy2ceexy221用0,0 yx代入上式得：cee0021，解得21c特解为：21212xyee (2)0exyyx,0)1 (y解：xexyxy11cdxexeeydxxxdxx11cdxeexexxxlnln1cexcdxexxx11用0, 1 yx代入上式得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 1

28、9 页16 / 19 ce0解得：ec特解为：cexyx1（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（ 2）写成；（ 3）写成；）4.求解下列线性方程组的一般解：（1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx解： A=351223111201213112111011101201123000011101201所以一般解为4324312xxxxxx其中43,xx是自由未知量。（2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx解：5114712412111112A2,151147111112241211132

29、12373503735024121123000003735024121512000005357531024121221000005357531054565101因为秩A秩A=2，所以方程组有解，一般解为432431575353565154xxxxxx其中43,xx是自由未知量。5.当为何值时，线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页17 / 19 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。解：10957332231131224511A31

30、43132121418262039131039131024511224123800000000039131024511121800000000039131015801可见当8时，方程组有解，其一般解为4324319133581xxxxxx其中43,xx是自由未知量。6ba,为何值时，方程组baxxxxxxxxx3213213213221有唯一解、无穷多解或无解。解：baA3122111111113112114011201111ba223330011201111ba根据方程组解的判定定理可知：当3a，且3b时，秩A秩A，方程组无解；当3a，且3b时，秩A=秩A=2 3，方程组有无穷多解；当3a时

31、，秩A=秩A=3，方程组有唯一解。7求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万元） , 求：当10q时的总成本、平均成本和边际成本；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页18 / 19 当产量q为多少时，平均成本最小？解: 625.0100qqqc65. 0 qqc当10q时总成本：1851061025. 0100102c（万元）平均成本：5.1861025.01010010c（万元）边际成本：116105 .010c（万元）25.01002qqc令0qc得2

32、01q202q（舍去）由实际问题可知，当q=20 时平均成本最小。（ 2 ） .某 厂 生 产 某 种 产 品q件 时 的 总 成 本 函 数 为201.0420)(qqqC（ 元 ） ， 单 位 销 售 价 格 为qp01.014（元 /件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解: 201.014qqpqqRqCqRqL2201. 042001.014qqqq2002.0102qqqqL04. 010令0qL，解得：250q（件）12302025002. 0250102502L（元）因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。所以当产量为250件时利润达到最大值1230元。

33、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页19 / 19 （3）投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为402)(xxC(万元 /百台 )试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解: 1004640402264xxdxxc（万元）cxxdxxdxxcxc404022固定成本为36万元36402xxxcxxxc36402361xxc令0 xc解得：6, 621xx（舍去）因为只有一个驻点，由实际问题可知xc有最小值，故知当产量为6 百台时平均成本最低。（4）已知某产品的边际成本)(qC=2（元 /件），固定成本为0，边际收入qqR02.012)(，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解: xxxCxRxL02. 010202. 012令0 xL解得：500 x（件）50055001.01002.0102550500 xxdxxL2250001. 05001055001.055010 =2470-2500=-25（元）当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会减少25元。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页