2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章 2 超几何分布 .doc

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1、2超几何分布 超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数问题1：X可能取哪些值？提示：0,1,2.问题2：“X1”表示的试验结果是什么？P(X1)的值呢？提示：任取2件产品中恰有1件次品P(X1).问题3：如何求P(Xk)？(k0,1,2)提示：P(Xk).超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件是次品从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk)(其中k为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布(1)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(MN)件

2、，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(Xk)(kl，l是n和M中较小的一个)(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列 利用超几何分布公式求概率例1高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率思路点拨若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n5，这5个球中红球的个数X是

3、一个离散型随机变量，X服从超几何分布精解详析若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布由公式得P(X4)0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95%.一点通解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M，N，n，k的取值1一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是()A.B.C. D.解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P.答案：B2设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为_(即定义中的N，M，n)的超

4、几何分布答案：10,3,53从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N10，M4，n3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X1)P(X1)P(X2)P(X3)或P(X1)1P(X0)1.超几何分布的分布列例2(10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X2)思路点拨可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“

5、产品”中所含的“次品”数精解详析由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布其中N8，M3，n3，(2分)所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).(8分)从而随机变量X的分布列为Xk0123P(Xk)所以P(X2)P(X0)P(X1).(10分)一点通解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解当然，本例也可通过古典概型解决4(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表

6、示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，故X的分布列为X123P5某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元令X表示此人选对A饮料的杯数假设此

7、人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求X的分布列；(2)用Y表示新录用员工的月工资，求Y的分布列解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(Xk)(k0,1,2,3,4)则X的分布列为Xk01234P(Xk)(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500.则P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，则Y的分布列为Yk2 1002 8003 500P(Yk)1超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成2在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求

8、出随机变量X取k时的概率P(Xk)，从而列出随机变量X的分布列 1一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是()A.B.C. D.解析：设X表示2名代表中有甲的个数，X的可能取值为0,1，由题意知X服从超几何分布，其中参数为N6，M1，n2，则P(X1).答案：B2在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于()A.B.C. D.解析：黑球的个数X服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P(X 2)P(X2)P(X3).答案：A3某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，

9、则是表示的概率是()AP(X2) BP(X3)CP(X2) DP(X3)解析：6人中“三好生”的人数X服从超几何分布，其中参数为N12，M5，n6，所以P(X3).答案：B4从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为()A. B.C1 D.解析：设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数则P(X3)P(X3)P(X4).答案：D5某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为_解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为.答案：6知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概

10、率为_解析：由题意知小张抽到选择题数X服从超几何分布(N10，M6，n4)，小张抽到选择题至少2道的概率为：P(X2)P(X2)P(X3)P(X4).答案：7一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列解：由题意知，旧球个数X的所有可能取值为3,4,5,6.则P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列为Xi3456P(Xi)8在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况P(X1)，则P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列为Xk01P(Xk)(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖故所求概率P.Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此随机变量Y的分布列为Yk010205060P(Yk)