2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第一章 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 .doc

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1、1分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理1李娜为了备战2014年澳大利亚网球会开赛，需要从北京到A地进行封闭式训练，每天有7次航班，5列动车问题1：李娜从北京到A城的方法可分几类？提示：两类，即乘飞机、乘动车问题2：这几类方法都能完成“从北京到A城”这件事吗？提示：都能问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？提示：7512(种)2若你班有男生26人，女生24人，从中选一名同学担任班长问题4：不同的选法的种数为多少？提示：262450.分类加法计数原理(加法原理)完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，

2、完成这件事共有Nm1m2mn种方法.分步乘法计数原理1李娜从北京到A城需在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有5列动车问题1：李娜从北京到A城需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到B城，从B城到A城问题2：这几个步骤中的某一步能完成“从北京到A城”这件事吗？提示：不能必须“从北京到B城”“从B城到A城”这两步都完成后才能完成“从北京到A城”这件事问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？提示：7535(种)2若你班有男生26人，女生24人，从中选一名男生和一名女生担任班长问题4：不同的选法的种数为多少？提示：2624624.分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要经过n个

3、步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法1分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情2分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积 分类加法计数原理例1高二一班有学生50人，男生30人；高二二班有学生60人，女生30人；高二三班有学生55人，男生35人(1)从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高二一

4、班、二班男生中，或从高二三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思路点拨(1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席；(2)完成的一件事是从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解精解详析(1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法：第一类，从高二一班选一名，有50种不同的方法；第二类，从高二二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二三班选一名，有55种不同的方法故任选一名学生任学生会主席的选法共有506055165种不同的方法(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法：第一类，

5、从高二一班男生中选，有30种不同的方法；第二类，从高二二班男生中选，有30种不同的方法；第三类，从高二三班女生中选，有20种不同的方法故选一名学生任学生会体育部长共有30302080种不同的方法一点通如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总种数1上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有()A500种B5 000种C55

6、种 D10种解析：选法为10202555种答案：C2(福建高考)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14B13C12 D10解析：因为a，b1,0,1,2，可分为两类：当a0时，b可能为1或0或1或2，即b有4种不同的选法；当a0时，依题意得44ab0，所以ab1.当a1时，b有4种不同的选法，当a1时，b可能为1或0或1，即b有3种不同的选法，当a2时，b可能为1或0，即b有2种不同的选法根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有443213.答案：B3在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？解：依据“十位数字大于

7、个位数字”进行分类，令十位数字为 m，个位数字为n，则有当 m1时，n0，有1个；当 m2时，n0,1，有2个；当 m3时，n0,1,2，有3个；当 m9时，n0,1,2,38，有9个所有这样的两位数共有123945个.分步乘法计数原理例2(1)(山东高考)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252C261 D279(2)有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，有不同的取法_种思路点拨(1)先排百位，然后排十位，最后排个位注意百位数字不能为0.(2)要从盒子里任取红、白、黄小球各一个，应分三

8、个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故须采用乘法原理精解详析(1)十个数字组成三位数的个数为91010900.没有重复数字的三位数有998648，所以有重复数字的三位数的个数为900648252.(2)完成这件事可分三步：第一步：取红球，有6种不同的取法；第二步：取白球，有5种不同的取法；第三步：取黄球，有4种不同的取法根据分步乘法计数原理，共有N654120种不同的取法答案(1)B(2)120一点通利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完成后，才能完成这件事4现有4件不同款式的上衣和3

9、条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为()A7 B12C64 D81解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步：选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法故共有4312种不同的配法答案：B5将3封信投到4个邮筒，所有投法有()A24种 B4种C64种 D81种解析：分三步完成投信这件事第一步投第1封信有4种方法，第二步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N44464种方法答案：C6从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶

10、数解：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三步完成：第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法依据分步乘法计数原理，共有43224个满足要求的三位数(2)分三步完成：第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法故共有23212个三位数的偶数.两个计数原理的应用例3(12分)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1

11、种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法思路点拨本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类精解详析法一：分为两类：第一类：当花坛A，C中种的花相同时有431336种；第二类：当花坛A，C中种的花不同时有432248种共有364884种法二：分为四步：第一步：考虑A，有4种；第二步：考虑B，有3种；第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种共有43(1322)84种一点通综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步分类是根据完成方法的不同类别，分步是根

12、据一种方法进程的不同步骤7已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为()A18 B16C14 D10解析：分为两大类：第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标由分步乘法计数原理，有326个不同的点第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标由分步乘法计数原理，有428个不同的点由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N6814个答案：C8有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有_种不同的选法解析：分为三类，每一类

13、再分两步第一类选中文、英文书各一本有7535种选法，第二类选中文、法文书各一本有7321种选法，第三类选英文、法文书各一本有5315种选法，所以总共有35211571种不同的选法答案：719电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：确定幸运观众可分两类：第一类：幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30292017 400种结果；第二类：幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有2030191

14、1 400种结果根据分类加法计数原理，共有17 40011 40028 800种不同的结果1两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事有n类不同的办法，关键词是“分类”完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复2.“分类”“分步”应注意(1)分

15、类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 1一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有()A37种B1 848种C3种 D6种解析：根据分类加法计数原理，得不同的取法为N12141137(种)答案：A2从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 abi，其中虚数有()A30个 B42个C36个 D35

16、个解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部 b 有6种选法；第二步，实部 a 有6种选法由分步乘法计数原理知，共有虚数 6636 个答案：C3现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有()A756种 B56种C28种 D255种解析：推选两名来自不同年级的两名学生，有N91212797255(种)答案：DABCD4.用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有()A12种 B24种C48种 D72种解析：先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3

17、种涂法，涂B有2种涂法由分步乘法计数原理，共有433272种涂法答案：D5为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有_种解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N324372(种)答案：726如图，AC，有_种不同走法解析：AC的走法可分两类：第一类：AC，有2种不同走法；第二类：ABC，有224种不同走法根据分类加法计数原理，得共有246种不同走法答案：67设椭圆1，其中a，b1,2,3,4,5(1)求满足条件的椭圆的个数；(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数解：(1)由椭

18、圆的标准方程知ab，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5420个椭圆(2)要使焦点在x轴上，必须ab，故可以分类：a2,3,4,5时，b的取值列表如下：a2345b11,21,2,31,2,3,4故共有123410个椭圆8某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6212种因此有N81220种不同的选法